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w79exz

Invité

Matrice symétrique/antisymétrique

Bonjour,
Je bloque sur 2 questions de mon problème :
- Montrer que Sym=Ker(A)=Im(S) et que Asym=Ker(S)=Im(A)
(Sym et Asym des matrices carrées quelconques symétrique et antisymétrique dans R)

- Que valent SoS, AoA, SoA et AoS ?

On a S(M)=1/2(M+tM) et A(M)=1/2(M-tM)

Je sais que Ker est l’espace des solutions de l’équation f(x )=0 et Im est l’espace des vecteurs de la
forme y=f(x). Mais je n'arrive pas à trouver le lien avec les matrices symétrique/antisymétrique.

Merci d'avance

Roro

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Re : Matrice symétrique/antisymétrique

Bonjour,

Deux questions qui devraient t'aider à répondre :

1) Qu'est ce qu'une matrice symétrique pour toi ?

2) Que signifie A(M)=0 pour une matrice M ?

Une fois que tu auras répondu à ces deux questions, dis nous ce que tu en déduis et qu'est ce qui te pose problème ensuite.
Roro.

w79exz

Invité

Re : Matrice symétrique/antisymétrique

Une matrice symétrique c'est une matrice carrée égale à sa transposée, donc A(M) pour une matrice symetrique =0, vu que ker est un sous-espace vectoriel AX=0 donc Sym=ker(A).
Pour l'image de S on utilise la définition de symétrique pour dire que S(M) vaut M. Est-ce que c'est bon?

w79exz

Invité

Re : Matrice symétrique/antisymétrique

Je pense que j'ai trouvé pour cette question merci.
Mais par contre SoA et AoS doit nous donner quelque chose qu'on connait?

Roro

Membre expert

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Re : Matrice symétrique/antisymétrique

Bonsoir,

J'imagine donc que tu as déterminé $S\circ S$ ainsi que $A\circ A$.

Pour calculer $A\circ S$ ou $S\circ A$, tu peux utiliser la première question :

1/ Pour toute matrice $M$ on a $S(M) \in \mathrm{Sym}$

2/ Pour tout matrice symétrique $N\in \mathrm{Sym}$ on a $A(N)=0$

Que penses-tu alors de $A(S(M))$ ?

Idem pour $S(A(M))$, en utilisant que $A(M)$ est toujours antisymétrique, et que l'image par $S$ d'une matrice antisymétrique est nulle...

Roro.

Dernière modification par Roro (03-05-2020 21:37:57)