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#1 02-05-2020 12:46:12

CoachTonio
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Préparer sa prépa dès maintenant

Bonjour,

Je suis tombé sur ce forum hier soir alors que je cherchais des énigmes de raisonnement (trains, baignoires, problèmes des âges, etc ..) et j'ai trouvé pas mal de topics sympas avec énigme notamment.

J'ai crée ma propre chaîne Youtube (Coach Tonio) pour apporter bénévolement pendant le confinement et sans doute après des conseils, exercices et éléments de cours pour des élèves qui souhaitent apprendre dès le lycée les "vraies maths".

On y apprend à aller bien plus loin que les " formules " , on y résout des exercices à prise d'initiative, on y réfléchit sur les objets et surtout on prend plaisir à raisonner (ce qu'on fait je trouve de moins en moins au lycée).

De temps en temps je résout quelques énigmes pour leur apprendre à poser un problème comme le problème des âges : " J'ai le double de l'âge que tu avais quand j'avais ton âge. Quand tu auras mon âge la somme de nos âges fera 54 ans "

Parfois je propose des raisonnements purement sur les objets et les concepts :

1) " Le produit de deux suites croissantes est il croissant ? "
2) " Si u est croissant alors la suite v définie par v = 9u2-11u+5 est elle croissante ? "

Mais aussi des exercices à prise d'initiative (intégrales avec valeur absolue, intégrales avec trigonométrie , inéquations difficiles)

Amoureux des maths, n'hésitez pas à me donner votre avis voir me proposer des idées de thèmes et exercices.
Cela me fera très plaisir.

A tout de suite (ici et / ou sur ma chaîne)

Coach Tonio


Je poste une vidéo de maths par jour sur ma chaîne Youtube Coach Tonio. Mathématiques pour envisager une prépa. (Scientifique et Economique)

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#2 02-05-2020 12:59:08

yoshi
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Re,

Plus déroutante (donc encore meilleure) est la formulation :
J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez...

De plus haut vol est celle-ci :
Un champ en forme de disque a pour rayon R.
On a attache une chèvre à un piquet planté sur le cercle avec une corde de longueur x
Donner l'expression de x en fonction de R, lorsque la chêvre peut brouter exactement la moitié de l'aire du champ ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 02-05-2020 13:08:30

CoachTonio
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Pour le problème des âges j'y réponds dans cette vidéo https://www.youtube.com/watch?v=80tAfGlRg0I (J'espère que ça ne sera pas mal vu de mettre un lien vers ma vidéo). Tout commentaire sur ma démonstration / ma rédaction est la bienvenue.

Je pense écrire sur cette page chaque jour le thème de ma vidéo du jour à l'écrit (Avec la permission des membres du forum).

J'espère que mon contenu vous apportera quelque chose.


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#4 02-05-2020 13:10:27

CoachTonio
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Yoshi, ça me fera un super défi pour mes 200 abonnés ! Je pense pouvoir le mettre en défi.
Si tu en connais d'autres (avec baignoires, trains, etc je suis preneur)


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#5 02-05-2020 13:48:05

CoachTonio
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

@Yoshi, " J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez... " Il manque pas une donnée pour finir le Problème ?


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#6 02-05-2020 14:07:15

yoshi
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Préparer sa prépa dès maintenant

Peut-être seras-tu intéressé de constater qu'ici, en la matière, nous ne sommes pas manchots non plus :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=12552

Quant à ce problème des âges, j'y ai, moi, déjà répondu en 2013 et de 2 façons :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 989#p37989

Je veux bien prendre ta pub, si tu prends la nôtre : sinon, c'est du pillage en règle...
Le pb de la  chèvre, je l'avais proposé il y a très longtemps à un copain prof de maths en Maths Sup qui m'avait dit :
je ne connaissais pas, mais je vais la donner en exo dès demain !

D'autres énigmes ?
En voilà quelques unes (y a encore du rabe !...) :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1951
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=8186
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=6006
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 154#p32154
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=2000
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 995#p20995

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#7 02-05-2020 14:57:17

CoachTonio
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Dans la mesure ou je posterais régulièrement du contenu sur ce forum, contenu qui pourra alimenter discussions et dynamisme je pense que cela peut être bénéfique aux deux plateformes ! J'ai regardé, votre contenu ici est de très bonne qualité. Les gens sont passionnés, réguliers et les exercices / énigmes sont cools.

Pour l'instant ma chaîne est petite (j'ai commencé il y a un mois et 4 jours. De part ma petitesse je ne sais pas quelle pub je peux te faire pour le moment mais si je peux rendre service n'hésite pas à me dire.

PS : Le piquet dans le problème de la chèvre, il est situé au centre du champs ?


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#8 02-05-2020 15:15:14

yoshi
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Non, j'ai dit sur le cercle...
Le cercle c'est la frontière du disque_champ.
Si tu préfères, tu peux appeler ça le bord circulaire, ou la circonférence ou le pourtour du champ...
S'il était placé au centre, quel serait l'intérêt du problème ? Autant demander la couleur du cheval blanc d'Henri IV...
Bon, ce n'est pas un  problème tous publics, le niveau requis est >TS (ou >= pour les TS haut-niveau), ni celui des échelles...

"Faisable" en 3e :

« Quel âge avez-vous ? » demande un élève à son professeur.
    Celui-ci répond par une énigme :
    « Il y a 5 ans, je dépassais des deux-tiers de ton âge le quadruple de celui-ci.
         Dans 1 an, il faudra multiplier ton âge par 16/5 pour trouver le mien !
».

    Quels âges ont-ils donc ?

La pub ? Rien de bien méchant : un simple lien vers nos forums suffirait... ;-)

Dernière modification par yoshi (02-05-2020 15:47:47)


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#9 02-05-2020 17:23:07

CoachTonio
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Yoshi a écrit :

La pub ? Rien de bien méchant : un simple lien vers nos forums suffirait... ;-)

C'est fait sous la vidéo des âges.
Je fais ma pub chez toi, j'essaie moi même d'apporter à ma mesure du trafic vers chez toi. Politesse d'usage, c'est normal.

Yoshi a écrit :

De plus haut vol est celle-ci :
Un champ en forme de disque a pour rayon R.
On a attache une chèvre à un piquet planté sur le cercle avec une corde de longueur x
Donner l'expression de x en fonction de R, lorsque la chêvre peut brouter exactement la moitié de l'aire du champ ?

Je vais y travailler ! J'avais mal lu. Mais effectivement il y a une différence entre disque et cercle !

Je vais poster régulièrement sur ce topic les énoncés des thèmes de mes vidéos (avec votre Permission) et partager des liens vers le forum. J'espère que cela profitera à nos communautés réciproques (même si le mot est un peu galvaudé)

Il y a moyen de contacter les gens en MP ici d'ailleurs ?

Coach Tonio


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#10 02-05-2020 18:09:43

yoshi
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

nan...
pas prévu par le moteur du forum, c'est vrai que ça manque...

@Yoshi, " J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez... " Il manque pas une donnée pour finir le Problème ?

Bin, non, puisque la 2e phrase n'est pas modifiée : j'ai vu que, ma 2e phrase ne donnant pas 54 ans mais 63,  ça collait aussi...
Quand je dis 2 façons :
1. je l'avais résolu comme toi et en posant a = différence des âges (c'est plus simple)
2. en posant "classiquement" $x$=âge du plus vieux, et $y$=âge du plus jeune

Le 2e problème d'âge soumis est pénible pour des 3e à cause des fractions (qu'est-ce qu'ils détestent ça à cet âge-là !)...
Alors du temps où j'étais encore en activité, une fois établies les équations, je leur recommandais avant tout calcul de s'en débarrasser...

J'espère que cela profitera à nos communautés réciproques (même si le mot est un peu galvaudé)

considère ça comme un accord de partenariat : nous avons 34 pages d'énigmes : probabilistiques, calculatoires ou logiques :

Tiens encore pour la route :
il y a longtemps, lorsque le moteur à explosion n'existait pas, dans un village un vieil homme lègue ses biens à celui de ses fils qui sortirait vainqueur d'une course de chevaux, mais une course de... lenteur !
Un parcours avait été tracé.
La fortune avait été léguée à celui de ses fils dont le cheval passerait... en dernier la ligne d'arrivée !
Les deux enfourchèrent donc leur chevaux, mais après un temps certain, d'un commun accord, pour éviter de prendre racines, s'en furent soumettre leur problème au vieux sage du village.
Celui-ci les écouta, réfléchit et leur donna la solution en 3 mots...
Alors les deux fils se mirent à sprinter, sautèrent sur les chevaux et partirent ventre à terre...
Quel conseil avaient-ils reçu ?...

Connais-tu celle des dix-sept vaches à répartir entre 3 personnes : la moitié à la première,  le tiers à la 2e et le neuvième à la 3e ?

Pour ma part, j'ai pas mal pioché dans un bouquin d'énigmes de Sam Lloyd...


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#11 02-05-2020 18:24:27

CoachTonio
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

#Yoshi,

L'élève moyen de seconde ne sait pas du tout manipuler trois fractions et la mise en équation n'est plus faite dans les programmes de collège.
La notion de système d'équation a disparu.

Niveau énigme j'en connais pas tellement mais je pense que ça permet de développer la créativité et apprendre aux élèves que les maths c'est avant tout des idées, exprimées en français.

Et devenir bon en maths passe avant tout par comprendre le français, ses subtilités et exprimer clairement son raisonnement. Quand j'étais ado (y'a pas si longtemps que ça) on me disait : " Progresse en français car si tu veux devenir bon en maths tu auras besoin de bien comprendre la subtilité du langage ". ça m'a fait rire.
Plus tard à la fac j'ai eu un grand professeur (en Topologie) et il me disait que pour lui une bonne copie était une copie qui respirait la clarté (tant sur le fond, que sur la forme. Tout compte : le soin, la clarté du langage, l'utilisation intelligente des quantificateurs, la vérification des hypothèses, etc).
C'est ce que les étudiants ont le plus de mal à faire et je n'ai cherché à le développer qu'à partir de la 3eme année de licence.

Ces petites énigmes démontrent l'importance du français (elles sont rares sur ma chaîne Youtube) car j'évoque plus les notions du programme de terminale / Première mais elles complètent mon enseignement. Elles aident à penser, créer, raisonner et rédiger et c'est le plus important je pense.

PS : Ma vidéo de demain sera la démonstration de l'inégalité triangulaire. !


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#12 02-05-2020 20:00:51

yoshi
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Re,

L'élève moyen de seconde ne sait pas du tout manipuler trois fractions et la mise en équation n'est plus faite dans les programmes de collège.
    La notion de système d'équation a disparu.

Oui, je sais, et c'est bien regrettable
J'ai même vu des annales de récentes de Brevet des Collèges ou une équation du type $ax+b=cx+d$ ,était proposée sous forme de QCM : il fallait choisir entre 3 propositions de solution...
Je vous plains mes collègues de Lycée, vous devez s'arracher les cheveux...

Bien d'accord sur l'importance du français dans les capacités mathématiques : il y a longtemps que je le dis.
Je pense aussi qu'il est intéressant après une étude théorique d'avoir une 2e partie où elle s'utilise dans une situation concrète. J'ai tellement
entendu : mais ça sert à quoi les maths dans la vie, j'serais pas prof de maths...

Savoir raisonner et analyser froidement un exercice : peu à l'entrée en 2nde, du temps où j'étais en service en était capables...
Ça c'est vu de façon criante avec le sujet suivant (1 h) parmi ceux qui avaient été cueillis à froid par le sujet suivant : ce fut la Berezina... (et je n'en avais pas été surpris au vu du sujet, mais plutôt consterné...

Devoir surveillé n°1

Exercice 1
Simpifier
             $\dfrac{3\sqrt 5+\sqrt{20}}{\sqrt{45}\left(2+\dfrac 5 6-\dfrac 3 4\right)}$                   $\dfrac{4-3^{3^3-7\times2^2}}{\sqrt{7^2-3^2}}\div \dfrac{\left(1-\dfrac 1 2+\dfrac 1 4\right)^2}{\sqrt{3^4+3^2}}$



Exercice 2
         a) Ecrire $2578^2$ sous la forme $a×10^5+b$, où a et b sont des nombres entiers.

         b) En déduire la valeur  exacte de $2578^4$




Exercice 3
         Calculer la valeur exacte du volume d'un cube d'arête $2\sqrt 3−1$



Exercice 4
         Calculer les 5 premiers nombres premiers de la forme $2^n–1$

Aujourd'hui, ce serait la berezina pareil, mais jusqu'à quel niveau ?

En soi, techniquement, il n'y avait rien là qu'un élève de 3e ne connaisse...
C'était aussi une gestion du temps : l'heure (55 min) était sérieusement amputé par les exos 1 et 4.
Le 1, sur les retours que j'avais eu, beaucoup n'avaient pas su par où le prendre... Je n'avais pas été surpris.
Le 4. il était répétitif mais assez long et là aussi la maîtrise avait été défaillante : ils avaient besoin d'une liste de nombres premiers, peu avaient pensé à l'établir avant de se lancer...

Le 2. déjà que les $(a+b)^2$ n'était pas toujours connu, ajouter là-dedans de puissances 5, et demander à beaucoup d'élèves moyens de voir le rapport entre la puissance 2 et la puissance 4, n'avait pas été si évident que cela...

@+


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#13 02-05-2020 20:22:57

CoachTonio
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Les 4 premiers exercices que tu proposes tu pourras les trouver en 3ème à Stanislas et même la bas ils auront du mal (J'ai eu un élève en cours particulier très brillant à Stanislas qui aurait galéré sur ces 4 exercices)

J'ai eu mon Brevet des collèges en 2004 (c'était pas la pré histoire non plus) mais le niveau c'est dégradé depuis.

J'ai un ancien livre de maths (qui date des années 60) ou les notions de groupe, d'anneaux, de corps, d'ensemble, de relations, de fonctions, d'applications, d'injection, de surjection etc étaient présentes dès la 3eme.

Est ce que c'était intelligent de voir ça aussi tôt ? je ne crois pas. Il faut un minimum de maturité pour ces concepts.
Mais entre les maths de 3eme des années 1960 et celles de 2020 .... on est d'accord qu'on est passés du coq à l'âne.

Alors on peut déplorer, critiquer mais on peut apporter des solutions et c'est ce que nous autres, " pédagogues " on essaie de faire.
La critique n'est pas si grave quand elle est suivie par l'apport de solutions.

@ +


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#14 03-05-2020 12:48:48

CoachTonio
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Dimanche 3 mai, Preuve de l'inégalité triangulaire

Bonjour !

Aujourd'hui je démontre dans cette vidéo du jour https://www.youtube.com/watch?v=FGMeI0GkV24 l'inégalité triangulaire   $  \lvert a+b \rvert \leq \lvert a \rvert + \lvert b \rvert  $ avec   $ a,b \in \mathbb{R} $

Quelques prérequis avant de démarrer :


a)    Définition de la valeur Absolue
b)    ${\lvert a \rvert}^2=a^2$
c)    $\lvert a \rvert \lvert b \rvert =\lvert ab \rvert $
d)    $ ab \leq \lvert ab \rvert $

Si vous avez des commentaires / questions, n'hésitez pas à me les poser ici ;)


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#15 03-05-2020 14:04:37

yoshi
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Bonjour,

Ce n'est pas Bigmaths (quoique c'est flatteur... Merci !), mais Bibmath !
Première réaction instinctive sur la forme de la forme...
orange ou rose pâle sur fond gris noir : très pénible à lire.
Il est bien établi que la lecture la plus confortable est avec du noir (ou couleur foncée) sur fond blanc.
J'ai déjà rencontré des écritures rose pâle ou jaune/orange pâle sur fond blanc, c'était tout aussi pénible à lire...

J'y retourne, suivre la démo...
Bon c'est bien... et bref !

@+

Dernière modification par yoshi (03-05-2020 16:13:37)


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#16 03-05-2020 14:42:45

CoachTonio
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Haha, les instincts sont faits pour être retenus (le plus souvent mon cher Yoshi).

C'est amusant, la plupart de mes élèves adorent l'écriture blanche sur noir ! (moi même je préfère à 100%) mais comme disait l'autre " Les gouts sont avant tout des ... dégouts ! "

Alors parlons du fond ! Tu as apprécié la démo ? tu en connais d'autres ? Si tu en connais d'autres, balance !


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#17 03-05-2020 16:10:11

yoshi
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Re,

Haha, les instincts sont faits pour être retenus (le plus souvent mon cher Yoshi)

Je peux résister à tout... sauf à la tentation. Oscar Wilde

Alors parlons du fond ! Tu as apprécié la démo ?

Yoshi a écrit :

Bon c'est bien... et bref !

tu en connais d'autres ? Si tu en connais d'autres, balance !

#Balance ta démo...

D'autres démos de quoi ? de l'inégalité triangulaire ? Si oui, j'ai sûrement oublié, mais ça finira peut-être par remonter à la surface...

Sinon, je connais une utilisation de l'inégalité triangulaire  :
Etant donné un segment [BC] du plan, si un point A est "plus près de B que C", prouver que  alors AC > AB...

Sinon je connais aussi une démo - plutôt une construction (x 2), mais "simplette", donc qui ne retiendrait pas l'attention du Maître, ni de ses disciples...
Je te la (les) livre, t'en fais ce que tu veux...
Via le dessin suivant : https://www.cjoint.com/c/JEdpcTaxJBW
1. Où placer M et N sur $(D)$ et $(\Delta)$ -$ (MN) \perp (D) \text{ et }(\Delta)$ tels que AM + MN + NB soit minimum
2. Où placer M et N  sur $(D)$ et $(\Delta)$ -$ (MN) \perp (D) \text{ et }(\Delta)$ tels que AM = NB

@+

[EDIT]

solution (cf post #10) course de lenteur et vaches à partager

1.Echangez vos chevaux
2. Le sage du coin prête une dix-huitième vache, le temps du partage...
18 * 1/2 = 9
18 * 1/3 = 6
18 * 1/9 = 2
9 + 6 + 2 = 17
Et il reprend sa vache prêtée...
Qu'est-ce que c'est que ce tour de passe-passe ?
Réponse :
$\frac 1 2 +\frac 1  3 +\frac  9 = \frac{9}{18}+\frac{6}{18}+\frac{2}{18}=\frac{17}{18}$

Dernière modification par yoshi (03-05-2020 16:16:48)


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#18 03-05-2020 16:54:03

CoachTonio
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

C'est intéressant ton histoire de lieu géométrique ! Doit y avoir moyen d'utiliser le produit scalaire ou autre, non ?


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#19 03-05-2020 17:14:26

yoshi
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Re,

Non, c'est bien plus simple que ça, j'ai dit "simplette" = se fait avec des outils de 4e...
Pense donc à faire (mentalement) le dessin sur ta moquette, agrippe-la au niveau de $(\Delta)$ et ramène $(\Delta)$ sur (D) : la réponse à chaque question est alors évidente : tu sais tout de suite où placer M.
Y a plus qu'à ramener la moquette en arrière et tu sais placer N...
Mais ça, ce ne sont pas des maths...
Je m'en voudrais de te priver du plaisir de trouver les constructions géométriques rigoureuses et leurs justifications... ^_^

@+


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#20 03-05-2020 17:29:57

CoachTonio
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

@Yoshi,

Je regarde un peu les mathématiques proposées au BAC dans d'autres pays (comme le Maroc qui semble garder un très bon niveau en maths).
Tu vois la différence de niveau.

Je pense faire prochainement quelques exos du Bac Marocain, histoire de faire des choses plus corsées.
Et peut être des trucs de concours Général.


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#21 03-05-2020 18:26:03

yoshi
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Tu peux aussi chercher les sujets de Bac C vieux de 30 ans et +, voire MathElem : j'en avais récupéré un bon paquet sur laoile...

Sinon, t'as plissé la moquette ?


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#22 03-05-2020 18:35:26

CoachTonio
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

J'ai commencé par passer l'aspirateur ;)


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#23 03-05-2020 19:17:17

yoshi
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Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Avec un masque ?
Au fait, pas de programmation ou d'algorithmique avec tes élèves ?
--------------------------------------------
Tiens, ckado :  Séries C et  E :
Lille  1989

EXERCICE I (4 points)
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal [tex](O\;;\;\vec{u}\;;\;\vec{v})[/tex]. On notera A le point d'affixe -1+2i et B le point d'affixe 2-i.
1. Déterminer et représenter dans le plan P l'ensemble E1 des points M de P d'affixe z = x + iy tels que :
   [tex]z^2-(1-2i)^2 = \bar z^2 - (1+2i)^2[/tex]
   où [tex]\bar z[/tex] désigne le conjugué de z. Vérifier que A et B appartiennent à E1.
2. Déterminer et représenter dans le plan P l'ensemble E2 des points M de P d'affixe z = x + iy tels que :
    [tex](z-(1+i))(\bar z -(1-i))=5[/tex]
    Vérifier que A et B appartiennent à E2.

EXERCICE II (4 points)
Soit ABC un triangle isocèle du plan tel que AB = AC. On note I  le milieu de [BC] et on donne AI = 4a et BC = 2a, où a est un réel strictement positif. L'unité de longueur dans le plan étant le centimètre, on prendra a = 2 pour la figure demandée au 1.
On note G le barycentre du système {(A,2), (B,1), (C,1)}.
1. En utilisant le point G déterminer l'ensemble des points M du plan tels que :
   [tex]||2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=||2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}||[/tex].
   Faire une figure où l'on représentera le triangle ABC et l'ensemble E.
2. k étant un nombre réel, déterminer l'ensemble des points M du plan tels que       
   [tex]2MA^2+MB^2+MC^2=ka^2[/tex].
   On discutera selon les valeurs de k.

PROBLÈME (12 points)
                                                       PARTIE I
On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormal [tex](O\;;\;\vec{i}\;;\;\vec{j})[/tex], le cercle [tex]\Gamma[/tex] de centre O et de rayon 1. Soit A le point de coordonnées (1,0) et A' le point de coordonnées (-1,0).
1. Par tout point H du segment [AA'], distinct de A et A', on mène la perpendiculaire [tex]\Delta[/tex] à la droite (AA').
    La droite [tex]\Delta[/tex] coupe le cercle [tex]\Gamma[/tex]  en M et M'. On pose [tex]\overline{OH}=x[/tex].
    Calculer en fonction de x l'aire du triangle AMM'.
2. Soit f la fonction numérique définie sur [-1 ; +1] par :
    [tex]f(x)=(1 - x)\sqrt{1-x^2}[/tex]
    et soit C sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm.
    a) Étudier la dérivabilité de f en -1 et +1.
        En déduire les tangentes à la courbe C aux points d'abscisses -1 et +1
    b) Dresser le tableau de variations de f ; on y précisera f(0).
    c) Tracer la courbe C
    d) Montrer que le triangle AMM' d'aire maximale est équilatéral.
4. Justifier que l'équation [tex]f(x) = 1[/tex] admet exactement deux solutions [tex]\alpha \text{ et }\beta  (\alpha<\beta)[/tex].
    Déterminer [tex]\beta[/tex] et donner, en la justifiant, une valeur décimale approchée par défaut à  [tex]10^{-3}[/tex] près de [tex]\alpha[/tex]

                                                        PARTIE 2

Etude des intégrales [tex]I_n[/tex] définies pour n entier naturel non nul par :
          [tex]I_n=\int_0^1\;(1-x^n)\sqrt{1-x^2}\;dx[/tex]
On pose :
          [tex]J_0=\int_0^1\;\sqrt{1-x^2}\;dx[/tex]
et pour n entier naturel non nul :
          [tex]J_n=\int_0^1\;x^n\sqrt{1-x^2}\;dx[/tex]
1.En utilisant des considérations d'aires, justifier que [tex]J_0={\pi \over 4}[/tex].
2. a) Calculer [tex]J_1[/tex]
    b) En déduire la valeur de [tex]I_1[/tex] et donner une interprétation géométrique du résultat trouvé.
3. a) Étudier le sens de variation de la suite [tex](J_n)_{n\,\in\,\mathbb N^*}[/tex]
    b) En déduire que les suites [tex](J_n)_{n\,\in\,\mathbb N^*}\text{ et }(I_n)_{n\,\in\,\mathbb N^*}[/tex] convergent.
4. a) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul , on a :
        [tex]0\leq J_n\leq\int_0^1\;x^n\;dx[/tex]
    b) En déduire [tex]\lim\limits_{n \to +\infty}J_n \text{ puis }\lim\limits_{n \to +\infty}I_n[/tex]

                                                        PARTIE 3

Déterminatiion de la valeur exacte de [tex]J_n[/tex] en fonction de n.
1. a) Démontrer que la fonction v définie sur [0 ; 1] par :
        [tex]v(x)={-}{1 \over 3}(1-x^2)\sqrt{1-x^2}[/tex],
        a pour fonction dérivée sur [0 ; 1[, v' telle que [tex]v'(x)=x\sqrt{1-x^2}[/tex].
       On admet que ce résulat reste vrai sur [0 ; 1].
    b) A l'aide d'une intégration par parties faisant intervenir la fonction v, démontrer que pour tout entier naturel [tex]n\geq 3[/tex], on a :
        [tex](n+2)J_n=(n-1)J_{n-2}[/tex]
        Vérifier que cette formule est encore valable pour n = 2.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout p entier naturel non nul, on a :
    [tex]J_{2p}=\dfrac{1\times 3 \times \cdots\times(2p-1)}{4 \times 6 \times \cdots\times(2p+2)}\times \dfrac{\pi}{4}[/tex]
    et
    [tex]J_{2p+1}=\dfrac{2\times 4 \times \cdots\times 2p}{3 \times 5 \times \cdots\times(2p+3)}[/tex]

Et comme, je ne vais pas les retaper, voici un lien vers 76 sujets série Mathématiques Élémentaires année 1967 :

https://www.apmep.fr/Annee-1967-mathematiques

Enjoy !

@+


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#24 04-05-2020 00:06:32

CoachTonio
Membre
Inscription : 02-05-2020
Messages : 38

Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Avec un masque ? J'ai réussi à ne pas prononcer une fois ce mot depuis le début du confinement, ne me fais pas perdre ce pari ;)

Au fait, pas de programmation ou d'algorithmique avec tes élèves ? Oui, dans le futur.

Tiens, ckado :  Séries C et  E :
Lille  1989

J'avais - 2 ans, et c'est clair qu'en 30ans les choses ont légèrement évoluées(qui a dit que le mot évolution était forcément de signe +?).

Mais c'était de la bel ouvrage ces sujets et il y a moyen de les faire sortir d'outre tombe (Pas Forcément pour Halloween, et sans masque)

@ +


Je poste une vidéo de maths par jour sur ma chaîne Youtube Coach Tonio. Mathématiques pour envisager une prépa. (Scientifique et Economique)

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#25 04-05-2020 08:17:59

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Préparer sa prépa dès maintenant

Re,

J'ai même une autre compil pdf de 180 pages...
C'est pt'êt idiot, mais juste en les lisant, je ressens un sentiment de satisfaction...
Et personne à l'époque n'aurait eu l'idée de faire une pétition disant : c'était trop dur...

Et pourtant, dans mon centre d'examen en 1966 (eh oui, j'ai "quelques" km au compteur...) personne n'a "chouiné", malgré
90 reçus à l'écrit (Math, Physique, Français, LV1) sur 330 : nous, les 90, avions eu notre chance au tirage, restait à l'avoir au grattage : oral obligatoire avec Math, Physique, Fr, LV1, Bio, Histoire et Geo (un sujet de chaque) il me semble (là, mes souvenirs sont flous) qu'il y avait eu l'épreuve d'EPS et tous les recalés avaient un exam de rattrapage en septembre (oh, les joyeuses vacances !)

Ma Math Elem (c'était la 2e année de mixité) dans un Lycée de  jeunes-filles : 4 x 2 mecs volontaires pour aller "renforcer" les 31 nanas parce que dans le bahut de garçons : 2 Math Elmen de 49 (ramenées donc à 45)... Ça laisse rêveur les p'tits "d'jeunes" s'pas.
Horaire hebdo : Maths 9 h, Physique-Chimie 5 h 30... De quoi aussi rêver maintenant...
Mais autant dire que les autres matières, n'avaient pas trop notre attention (c'était une erreur).

@+


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