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Bingo04

Invité

Régularisation de fonctions.

Bonjour,

Soit [tex]f[/tex] une fonction continue qui admet une suite régularisante [tex] f \star \chi_{ \epsilon }[/tex] pour tout [tex]\epsilon > 0[/tex].
Quant est ce que j'ai droit d'écrire, [tex] \displaystyle \int f = \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \int (f \star \chi_{ \epsilon } ) = \displaystyle \int \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } ( f \star \chi_{ \epsilon } )[/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Régularisation de fonctions.

Bonjour,

  Par exemple, si $f$ est intégrale (mais dans ce cas tu n'as même pas besoin que $f$ est continue).

F.

Bingo04

Invité

Re : Régularisation de fonctions.

Pardon. Je n'ai pas compris ce que tu veux dire Fred.  :-)

Fred

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Re : Régularisation de fonctions.

Dès que f est integrable tu peux écrire cette formule.

Bingo04

Invité

Re : Régularisation de fonctions.

Dès que f est integrable tu peux écrire cette formule.

Merci beaucoup Fred.  ;-)

Pour me rassurer un peu, est ce que tu peux me démontrer ça ? ... Parce moi, je ne sais pas pourquoi si [tex]f[/tex] est intégrable ( d'après ce que tu a affirmé dans le message précédent ), alors, on peut écrire, [tex] \displaystyle \int \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } ( f \star \chi_{ \epsilon } ) = \displaystyle  \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \int (f \star \chi_{ \epsilon } ) [/tex] ?

Merci infiniment.  :-)

Bingo04

Invité

Re : Régularisation de fonctions.

Fred,
Il faut peut être montrer que,
$ \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^+ } || f - ( \chi_{ \epsilon } \star f ) ||_{ L^{1} } = 0 $.
Non ?

Fred

Administrateur

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Re : Régularisation de fonctions.

Je ne vais pas refaire le cours sur les suites régularisantes : c'est effectivement ce qu'il faut prouver, et ce n'est pas si facile.