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#1 02-05-2020 08:43:57
- Bingo04
- Invité
Régularisation de fonctions.
Bonjour,
Soit [tex]f[/tex] une fonction continue qui admet une suite régularisante [tex] f \star \chi_{ \epsilon }[/tex] pour tout [tex]\epsilon > 0[/tex].
Quant est ce que j'ai droit d'écrire, [tex] \displaystyle \int f = \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \int (f \star \chi_{ \epsilon } ) = \displaystyle \int \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } ( f \star \chi_{ \epsilon } )[/tex] ?
Merci d'avance.
#2 02-05-2020 11:45:20
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 047
Re : Régularisation de fonctions.
Bonjour,
Par exemple, si $f$ est intégrale (mais dans ce cas tu n'as même pas besoin que $f$ est continue).
F.
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#3 02-05-2020 16:28:23
- Bingo04
- Invité
Re : Régularisation de fonctions.
Pardon. Je n'ai pas compris ce que tu veux dire Fred. :-)
#4 02-05-2020 20:13:33
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 047
Re : Régularisation de fonctions.
Dès que f est integrable tu peux écrire cette formule.
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#5 02-05-2020 23:55:06
- Bingo04
- Invité
Re : Régularisation de fonctions.
Dès que f est integrable tu peux écrire cette formule.
Merci beaucoup Fred. ;-)
Pour me rassurer un peu, est ce que tu peux me démontrer ça ? ... Parce moi, je ne sais pas pourquoi si [tex]f[/tex] est intégrable ( d'après ce que tu a affirmé dans le message précédent ), alors, on peut écrire, [tex] \displaystyle \int \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } ( f \star \chi_{ \epsilon } ) = \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \int (f \star \chi_{ \epsilon } ) [/tex] ?
Merci infiniment. :-)
#6 03-05-2020 19:44:04
- Bingo04
- Invité
Re : Régularisation de fonctions.
Fred,
Il faut peut être montrer que,
$ \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^+ } || f - ( \chi_{ \epsilon } \star f ) ||_{ L^{1} } = 0 $.
Non ?
#7 03-05-2020 22:22:51
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 047
Re : Régularisation de fonctions.
Je ne vais pas refaire le cours sur les suites régularisantes : c'est effectivement ce qu'il faut prouver, et ce n'est pas si facile.
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