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Mireille

Invité

Probabilité d'un évèment

Bonjour, si $(\Omega,\mathcal{F},P)$ est un espace probabilisé, $(\mathcal{F_n})_n$ une suite de sous-tribus de $\mathcal{F},$ $(u_r)_r$ une suite de nombres réels positifs convergeant vers $0$. Supposons que :
$$\forall r \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ \forall K \in \sigma(\mathcal{F_i,i \leq n}),\  \forall Q \in \sigma(\mathcal{F_i},i>n+r),\ |P(K \cap Q)-P(K)P(Q)|\leq u_r.$$
Vérifier que, pour tout événement asymptotique $K$ de $\mathcal{F_n},$ $P(K)= 0 \ $ ou $ \ 1.$
Je pense qu'une façon pour la vérifier est de prouver que $p(K)-P(K)^2=0$

S'il vous plaît, pouvez-vous me donner une piste pour continuer la vérification ?
Merci.

Arthur

Invité

Re : Probabilité d'un évèment

Je ne suis pas un spécialiste, donc il faut prendre tout ce que je dis avec des pincettes !
Je vais juste faire parler mon intuition, en espérant que cela entraine d'autres réponses plus rigoureuses.

Je pense qu'asymptotique se refere a n -> infini.
Donc si on prend deux evenements de la filtration a l'infini, l'inegalite est verifie pour tout r entier naturel.
On prend deux fois le meme evenement que l'on appelle K, on fait tendre r vers 0 et on en déduit égalité que vous recherchez, qui permet de conclure sur le résultat voulu.

LCTD

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Re : Probabilité d'un évèment

Bonjour,

$ \lim_{r \to +\infty}\ |P(K \cap Q)-P(K)P(Q)|\leq \lim_{r \to +\infty}u_r$
soit  $ \lim_{r \to +\infty}\ |P(K \cap Q)-P(K)P(Q)|\leq 0$
soit quand r tend vers $+\infty$ on a $P(K \cap Q)=P(K)P(Q)$  donc  $P(K)=\dfrac{P(K \cap Q)}{P(Q)}$ qui est la probabilité de K sachant Q ( probabilité conditionnelle), je crois que  cela vaut 0 ou 1

LCTD

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Re : Probabilité d'un évèment

Bonjour,

avec P(Q) non nul.

Mireille

Invité

Re : Probabilité d'un évèment

Il faut faire attention, aux tribus considérés