Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Lucas1234

Invité

Etude minimum global

Bonjour,

Je souhaite montrer que si une fonction f : R^n -> R est de classe C^2 possède un unique point stationnaire en a et que ce point stationnaire est un minimum local strict de f, alors c'est un minimum global de f.
Est ce que vous avez des idées sur comment faire ?

Merci ce votre aide.

Fred

Administrateur

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Re : Etude minimum global

Bonjour
 
  Tu es sûr que cette propriété est vraie. Je n'ai ni preuve de ton résultat, ni contre-exemple, mais il ne me semble pas clair qu'il soit vrai.

F.

Roro

Membre expert

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Re : Etude minimum global

Bonjour,

Essayes de voir ce qui se passe sur cette fonction $f(x,y) = a(x)b(y)$ avec $\displaystyle a(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}$ et $\displaystyle b(y)=2y^2-\frac{y^4}{4}$ ?

Roro.
P.S. Je n'ai pas vraiment fait les calculs mais il est possible que ça donne un contre exemple...

Dernière modification par Roro (19-04-2020 15:49:10)

Lucas1234

Invité

Re : Etude minimum global

Re bonjour,

Roro, j'ai regardé et j'ai trouvé plusieurs points stationnaires donc pas un contre exemple.

Fred

Administrateur

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Re : Etude minimum global

Mais tu n'as pas répondu à ma question. Tu es sûr que c'est vrai???

Lucas1234

Invité

Re : Etude minimum global

Presque sûr oui, mais pas à 100%

Roro

Membre expert

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Re : Etude minimum global

Bonsoir,

Effectivement, je n'avais vraiment rien vérifié...

Deuxième chance : l'exemple suivant : $f(x,y)=y^4+x^2(1+y)^3$ est une fonction qui admet un seul point stationnaire (0 qui est un minimum) mais ce minimum n'est pas global.

Roro.

Lucas1234

Invité

Re : Etude minimum global

Bien vu !

Merci Roro