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#1 16-04-2020 20:38:39

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 178

Passage à la limite

Bonjour

Considérons l'équation
\begin{equation}
\partial_t u (t , x) + v (t, x) \cdot \nabla u ( t, x) = \kappa
\Delta u (t , x) + F ( t, x, u (t , x) ) \qquad \mbox{dans} \ \
\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d...…(0.1)
\end{equation}
pour la fonction inconnue $ u (t, x) $ qui doit satisfaire
à la condition initiale
\begin{equation}
u (0 , x) = u_0 ( x) \qquad \mbox{dans} \ \ \mathbb{R}^d ….(2)
\end{equation}
Dans (0.1) $ v (t, x) $ et $ F ( t, x, u ) $ sont des fonctions donn\'ees et $ \kappa $ est une constante strictement positive.

Nous désignons par $u^{[\kappa]}(t,x)$ la solution de l'équation  (0.1) avec la condition initiale (0.2).



Rappelons que l'équation de transport
\begin{equation}
\partial_t u (t , x) + v (t, x) \cdot \nabla u ( t, x) =
F ( t, x, u (t , x) ) \qquad \mbox{dans} \ \
\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^d ,.....(0.3)
\end{equation}
qui correspond à l'équation (0.1) avec $ \kappa = 0 $, peut être r\'esolue, sous des conditions assez générales, par la méthode des caract\'eristiques.
Nous désignons par $ u^{[0]} (t,x) $ la solution de l'\'equation (0.3) avec la condition initiale (0.2).



Alors j'ai définit une famille de solutions $u^{[\kappa,n]}$ de (0.1) qui converge vers $u^{[\kappa]}(t,x)$ quand $n \to +\infty$ et une famille de solutions $u^{[0,n]}(t,x)$ de (0.3) qui converge vers $u^{[0]}(t,x)$.
J'ai montré aussi que $u^{[\kappa]}(t,x)$ converge vers $u^{[0]}(t,x)$ quand $\kappa \to 0$.

Ma question est comment montrer que $\nabla u^{[\kappa]}(t,x)$ converge vers $u^{[0]}(t,x)$ quand $\kappa \to 0$ et que $\Delta u^{[\kappa]}(t,x)$ converge vers $\Delta u^{[0]}(t,x)$ quand $\kappa \to 0$? Afin de conclure que la solution de (0.1) converge vers la solution de (0.3) quand $\kappa \to 0$? S'il vous plaît

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Bien cordialement

Dernière modification par ccapucine (16-04-2020 20:41:52)

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