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#1 09-07-2007 11:18:12

cléopatre
Membre active
Inscription : 24-10-2006
Messages : 359

Théorème de logique et assertions [Résolu]

Bonjour à toutes et à tous !

INTRODUCTION:

Cela fait pas mal de temps que je n'ai pas posté dans cette partie du forum... Voilà c'est un petit cours en MPSI où j'ai besoin d'éclaircicement. En effet, je viens de m'acheter un livre sur MPSI et il y a des exercices résolus, le cours, etc... Je voudrais que vous m'expliquez quelques petites subtilités sur ce sujet.
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QUESTIONS SUR LE COURS SUR LES ELEMENTS DE LOGIQUES:

1) Pourquoi (p implique q) si et seulement si (non p ou q) ?

2) Pourquoi (non p ou non q) ssi ( non ( p et q))
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Merci d'avance et à très vite.

Dernière modification par cléopatre (09-07-2007 11:18:21)


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#2 09-07-2007 11:53:45

galdinx
Modo gentil
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Messages : 506
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Re : Théorème de logique et assertions [Résolu]

Bonjour

Je vais essayer de t'expliquer en prenant d'abord un exemple

Je prends la proposition "Nicolas est un garçon"  qu'on peut traduire par "Nicolas impliqe garcon"
Ainsi p = Nicolas et q = garcon et donc p implique q

Par la logique on comprend bien que si ce n'est pas un garcon alors ca ne peut pas etre Nicolas.

p= Nicolas donc non p = ce n'et pas nicolas
q=garcon donc non q = ce n'est pas un garcon

on a bien alors non q implique non p


on a donc (p implique q) implique (non q implique non p)

Par le meme raisonnement on peut montrer que (non q implique non p) implique (p implique q)

On a donc bien l'équivalence : (p implique q) ssi (non q implique non p)



Il existe une démonstration mathématique(j'avoue ne plus m'en souvenir exactement) qui doit être avec ton cours mais l'esprit est la...


Pour la 2ème question je vais la  par contre te le démontrer mathématiquement (de mémoire) à l'aide de table de vérités.

Pour mémoire les tables de vérités de "ou" et "et" ou 0 représente un état bas et 1 un état haut
   A   B     A ou B    A et B
   0   0          0          0
   0   1          1          0
   1   0          1          0
   1   1          1          1


On a : si A =0 alors (non A) =1 et si A = 1 alors (non A) = 0

ainsi obtient ainsi les tables suivantes :

   P   Q      non P    non Q   (non P ou non Q)
   0   0          1          1                  1
   0   1          1          0                  1
   1   0          0          1                  1
   1   1          0          0                  0

   P   Q      P et Q    non (P et Q)
   0   0          0               1
   0   1          0               1 
   1   0          0               1
   1   1          1               0

On constate ainsi que les tables de (non p ou non q) et de non (p et q) sont identiques et donc équivalentes


Par l'exemple :

p = (a=1)  donc non p = (a <> 1)     (ou <> est le signe "différent de")
q = (b=1)    donc non q = (b <> 1)

(non p ou non q) : a <> 1 OU b <> 1
non(p et q ) : non ( a = 1 et b=1) donc a <>1 ou b <> 1


Voila j'ai essayé d'etre le plus clair possible, s'il te manque des explications n'hézite pas a redemander


++

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#3 09-07-2007 12:10:55

cléopatre
Membre active
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Messages : 359

Re : Théorème de logique et assertions [Résolu]

Merci de m'avoir répondu dans de bref délai. J'ai tout compris ce que tu m'as epxliqué.

Cependant, tu m'as montré que (p implique q) ssi (non q implique non p)...

et moi je voulais savoir pourquoi (p implique q) si et seulement si (non p ou q).

Surement que ces deux équivalence sont les même mais c'est justement ça que je ne comprends pas..

Pour la deuxième, j'ai compris et de faire le tableau, c'est peut etre long mais au début je pense que ça peut aider.

Merci encore et bises.


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#4 09-07-2007 12:25:45

galdinx
Modo gentil
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Messages : 506
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Re : Théorème de logique et assertions [Résolu]

Re

Désolé j'avais mal lu mais c'est encore plus simple ;)


On cherche a démontrer que "(p implique q) ssi (non p ou q)"

On montre d'abord l'implication "=>"

On prend donc comme hypothèse (p implique q)

Je pose A  = non p et B = q

donc non (non p ou q) = non (A ou B) = (non A) et (non B) = p et (non q)

Or (p implique q) donc "si on a p, on a q" donc on ne peut pas avoir a la fois "p" et "non q"

On démontre donc que non(non p ou q) et faux donc que (non p ou q) est vraie.

On a donc bien (p implique q) => (non p ou q)


On montre par la suite et de facon similaire l'implication <= mais ej pense que ca doit te suffir dans la compréhension de l'équivalence.


+++

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#5 09-07-2007 12:29:58

cléopatre
Membre active
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Messages : 359

Re : Théorème de logique et assertions [Résolu]

Parfait, merci de m'avoir répondu à mes petits soucis. Je reviendrais très vite pour d'autres notions de MPSI car je suis en révision pour l'année prochaine.

Bisous et à très vite.


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#6 10-07-2007 16:37:40

logicien
Invité

Re : Théorème de logique et assertions [Résolu]

Vu le niveau de logique de la prépa je pense qu'il suffit de prendre les tables de vérité. C'est vite fait, et ça évite les erreurs. De plus, tu n'as pas les outils pour démontrer réellement les équivalences. La démonstration de Galdinx est au fond une utilisation cachée des tables de vérités (juste, mais trop compliqué à mon goût). Le plus simple donc : tu fais la table de vérité de (A->B) et celle de (nonA ou B) et tu vois que ce sont les mêmes.

#7 10-07-2007 22:31:08

cléopatre
Membre active
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Re : Théorème de logique et assertions [Résolu]

Bonjour logicien et bienvenue !

Ben oui... Cela me suffit largement.

@+


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