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#1 08-07-2007 20:03:59

yoshi
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Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonsoir,

Cette question me semble être un prolongement du problème de" l'ensemble ordonné" de John.

Donc, un joueur A est muni d'une carte (à deux faces) composée d' un As noir et d'un Huit rouge collées dos à dos, et B d'une carte (à deux faces) composée d'un Deux rouge et d'un Sept noir, aucun des deux ne voyant la carte de l'autre bien sûr...
Les deux joueurs se montrent simultanément l'une des faces de leur carte.
A gagne si les deux couleurs coincident, et B l'emporte dans l'autre cas.
La valeur du gain est toujours égale, en euros, à la valeur de la carte du gagnant.
Simple, n'est-ce pas ?

Mais Martin Gardner ajoute :
<< Le jeu semble équitable (sa valeur est nulle) puisque A peut gagner 8 + 1 = 9 € (en fait, c'était des Francs) et B : 7 + 2 = 9 €.... >>
Je m'arrête là !
Et je pose ma question : ce jeu paraît équitable, dit Martin Gardner. A-t-il ajouté qu'il l'est réellement ?
Si oui, pourquoi ?
Si non, en faveur de qui penche-t-il  et quelle stratégie optimale doit employer chaque joueur l'un pour maximiser ses gains, l'autre pour minimiser ses pertes ?

@... bientôt !


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#2 08-07-2007 21:07:51

cléopatre
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonsoir Yoshi !

Alors il y a une chance sur quatre que A montre l'as noir et que B montre le 7 noir ---> A gagne 1
Il y a 1 chance sur 4 pour que A montre le huit rouge et que B montre le 2 rouge ---> A gagne 8
Il y a 1 chance sur 4 pour que A montre l'as noir et que B montre le 2 rouge ---> B gagne 2
il y a 1 chance sur 4 pour que A montre le 8 rouge et que B montre le sept noir ---> B gagne 7

Cela parait donc équitable... Mais cela dépendra de comment joue A et B. C'est ainsi que je vais réfléchir.

A prémière vue, le jeu est favorable pour B car lorsque les deux montrent la carte qui vaut le plus de points c'est à dire le 8 pour A et le 7 pour B, c'est B qui gagne.

Cependant, on pourrait aussi penser que B est désavantagé car il se sentira obliger de jouer le 7 pour ne pas perdre 8 points d'un coup et B jouera l'as pour ne pas perdre 7 point d'un coup. Cependant, c'est A qui gagnera si il joue tous les deux pour ne pas perdre un maximum de points en un seul coup.

D'après ce raisonnement, j'en conclus que c'est A qui a l'avantage sur B car si ils jouent tous les deux pour ne pas perdre beaucoup de points en un seul coup c'est à dire A joue l'as et B joue le 7 alors c'est le A qui gagnera.

Bonne nuit

Dernière modification par cléopatre (08-07-2007 21:23:38)


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#3 09-07-2007 07:18:50

yoshi
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Salut,

Je vais être indisponible pour toute la journée...
J'espère que John avec sa pertinence coutumière (ou d'autres d'ailleurs) pourra intervenir...

Je peux te dire que cette énigme est bien plus difficile qu'il n'y paraît et que tu réponds bien trop vite : il y a un peu de juste dans ce que tu dis et beaucoup de faux.

Ce que je peux dire :
- le jeu n'est pas équitable...
- il est toujours en faveur du même (lequel ?)

Rappel question :
- quelle stratégie optimale doit employer chaque joueur l'un pour maximiser ses gains, l'autre pour minimiser ses pertes ?

@+


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#4 09-07-2007 11:10:05

cléopatre
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonjour Yoshi !!

Je vois de quel d'exo est celui ci. J'ai fait le même exo en Pré-prépa Maths. Il fallait comparer l'espérance des deux et je l'avoues : c'est plutôt le prof qui nous l'a fait.

Bises de Cléo


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#5 09-07-2007 17:03:51

yoshi
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonjour Cléopâtre,

Il ne faut pas te décourager : j'ai été trop "sec" dans ma réponse, pressé par le temps...
Cette énigme sort un peu des sentiers battus, dans sa stratégie, on doit intégrer l'aléatoire (le prochain, "la carte cachée" -j'ai fini par lever mes doutes-, est bien pire encore)...
Equitable ou non équitable (et j'ai moi-même mis un moment à réagir) ça se juge sur les gains, pas sur les victoires possibles (sur les possibilités de victoire, il n'y a rien à redire sur ton analyse) et il faut prendre en compte le facteur humain : jouer avec un schéma (même inconscient) mental permet à son adversaire de contrer plus facilement.

J'ai lu un truc édifiant :
aux USA, un ordinateur avait été programmé pour jouer à pile ou face, mais aussi pour analyser le système de jeu de l'humain partenaire : l'humain a toujours perdu les matches (en plusieurs tours, sûrement de l'ordre de la centaine pour que ce soit significatif)...

<< Il n'est pas nécessaire d'espérer pour entreprendre, ni de réussir pour persévérer ! >> dit la sagesse populaire...

@+


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#6 10-07-2007 19:17:53

john
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Hello cléo,
Juste quelques mots-clés :
Stratégie, minimax... et tu vas entrer dans le monde des décideurs.
A+

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#7 10-07-2007 19:58:24

yoshi
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonsoir,

J'ai découvert ça aussi à cette occasion : théorème de Von Neumann paraît-il...
Je vais chercher à en savoir plus sur cet homme et son théorème.

Maintenant, je voudrais rappeler que les énigmes ne s'adressent pas à la seule Cléopâtre, sinon cela confinerait à l'acharnement "thérapeutique",.
Donc pour paraphraser une maxime qui a eu son "heure de gloire : ""amateurs de tous poils, manifestez-vous !"...

@+


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#8 10-07-2007 22:25:07

cléopatre
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonsoir !

Il a raison John, je vais peut etre m'en aller sur le minimum et le maximum. Il doit y avoir un truc avec l'amplitude j'ai envie de dire : 7-2=5 et 8-1=7.. Enfin je verrais ça.

BIses de Cléo

Dernière modification par cléopatre (10-07-2007 23:25:51)


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#9 11-07-2007 07:21:02

yoshi
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonjour,


B, peut paraît-il, "gagner un euro tous les trois coups, en utilisant une b=onne stratégie". (sic)

Je reprends les résultats donnés par Cléo dans sa première réponse, sous forme d'un petit tableau :
                         
                          B
                   7 N      2 R
                ------------------
                !    1    !   -2   !
   As Noir   !          !         !
A              ! -------! ------ !
   8 Rouge !          !         !
                !    -7   !    8   !
                -----------------

La stratégie, pas évidente, à employer est mixte, et repose en partie sur l'utilisation du hasard
Les diagonales montrent que c'est un jeu de valeur nulle ; restent les lignes et les colonnes...
La soustraction est une bonne opération...

Après quoi, John, se (et nous) fera un plaisir de rebondir.


@+


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#10 11-07-2007 08:54:27

cléopatre
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonjour !

Sérieusement, sans partir dans des calculs assez enquiquinant, je ne vois pas comment résoudre ce problème. J'aimerais bien voir la solution sans calcul de l'espérance.

Bises de Cléo


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#11 11-07-2007 10:13:31

yoshi
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonjour,

A la fois simple et compliqué.
Le bouquin dit (et ajoute qu'il ne justifiera pas) :
Soustraction des lignes :
-7-8 = -15
1 - (-2) = 3
Là, il fait 15/3 = 1/5
Verdict (du livre) : la meilleure stratégie consiste pour A à présenter une fois son AS contre 5 fois son 8..
Recommandation (!) : utiliser un dé pour être sûr du caractère aléatoire et présenter l'AS s'il tire 1, 2, 3, 4, 5 et 8 s'il tire 6...
Soustraction des colonnes :
1-(-7)=-8
-2-8 = -10
Là, il fait 8/10 = 4/5 et dit : la meilleure stratégie, pour B, consiste à présenter 4 fois son 2 pour 5 fois son 7.
Recommandation (!à : utiliser un générateur de nombres aléatoires, ou un dé à 9 faces) et jouer le sept avec une sortie de 1, 2, 3, 4, 5 et le deux dans les quatre autre cas.
Recommandation pour appliquer es recommandations : ne pas montrer les résultats du tirage aléatoire à son partenaire...
En donnant les valeurs suivantes au tableau de mon précédent post :
a b
c d
la valeur du jeu (solde moyen) pour A est : (ad - bc)/(a + d - b - c)
Soit ici -1/3 : tant que A emploie sa meilleure tactique (la proportion 1 pour 5 de mélange des deux présentations), il lilite ses pertes à 1/3 d'euro par tour.
Réciproquement, tant que B joue ses cartes dans la proportion 5/4, il s'assure un gain minimum de 1/3 d'euro par tour....

Voilà, j'ai recopié bêtement en attendant qu'un "spécialiste" de la théorie des jeux, passe par là...

@+

PS : je me demande si je poste le suivant, bien que plus intéressant parce que nécessitant une part de bluff et du raisonnement, quand je mesure la complexité des réponses sur un jeu aussi simple...
Des amateurs ? Qui veut voir quand même ?


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#12 11-07-2007 11:02:33

cléopatre
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Re Yoshi !

J'attends avec impatience la réaction de John car la simplicité du calcule m'impressione vraiment ! En plus, c'est assez général donc on pourra l'appliquer pour d'autres problèmes.

Même si je ne réponds pas, j'essai de comprendre car ce problème n'était pas de mon niveau. Je n'aurais jamais penser à faire ça.

Bises de Cléo


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#13 11-07-2007 11:06:04

yoshi
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Re,

Rassure-toi : moi non plus !!!  :-(

Ce n'est "que" (!) l'oeuvre  d'universitaires américains, spécialistes de la "théorie des jeux"...

@+

[EDIT]
Pour Von Neumann voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann
Pour Rufus Isaacs (ce jeu lui est dû) : http://en.wikipedia.org/wiki/Rufus_Isaa … _theorist)


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#14 11-07-2007 12:40:07

cléopatre
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Re !

Je vais tout de suite jeter un coup d'oeil et passer à la traduction la page en anglais ;).

C'est très intéressant. Moi je dis qu l'on attend la petite touche de John et après tu lance la prochaine énigme. Même si surement je ne vais pas trouver, j'essairais tout de même de la comprendre et pourquoi pas de la trouver.

Bises de Cléopatre


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#15 11-07-2007 13:19:58

yoshi
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

RE,

Cléopâtre a écrit :

Je vais tout de suite jeter un coup d'oeil et passer à la traduction la page en anglais ;)

Alors là vraiment, bravo, t'as  peur de rien.... ;-)

@+


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#16 12-07-2007 11:54:04

john
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Hello,

[Pardon pour cette réponse tardive mais le calcul numérique et moi... ]

On affecte aux décisions de A et B supposées indépendantes des probabilités subjectives p et q :
    p = Pr('A décide N1')
    q = Pr('B décide N7').

Tableau des gains de A
             |              A          |   
             |      N1    |   R8    |   
--------------------------------------------
     N7    |    1         |    -7    |     q   
B  --------------------------------------
     R2    |    -2        |     8    |    1-q
----------------------------------------
             |    p         |  1-p    |      1   

On exprime l'espérance de gain de A à partir du tableau :
E(GA) = pq - 7.(1 - p).q - 2.p.(1 - q) + 8.(1 - p).(1 - q) = 18.p.q - 10.p - 15.q + 8
Un pur jeu au hasard (p = q = 1/2) laisse effectivement Gain = Perte = 0.

L'optimum est obtenu lorsque les dérivées partielles par rapport à p et q sont nulles.
d'où p = 5/6 et q = 5/9.

On interprète aussi ce résultat en mettant cette espérance sous la forme :
E(GA) = 18.p.q - 10.p - 15.q + 8 = 18.(p - 5/6).(q - 5/9) - 1/3
Si A se débrouille pour réaliser p = 5/6, alors, quoi que fasse B, sa perte moyenne sera limitée à 1/3.
De même, si B se débrouille pour réaliser q = 5/9, alors, quoi que fasse A, son gain moyen sera de 1/3.
On voit aussi que si l'un des 2 joueurs s'écarte de cette stratégie ça ne lui rapportera rien de plus. Mais si l'autre s'aperçoit de cette modification de stratégie... et on peut alors discuter encore longtemps.
Bye

Dernière modification par john (12-07-2007 13:20:34)

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#17 12-07-2007 12:00:27

cléopatre
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonjour John !

C'est bien ce qui me semblait... J'ai déjà fait ce problème mais j'avais pa envie de refaire tous les calculs de l'espérance... Mais c'est une méthode à connaître.

Comment peux tu expliquer la réponse de Yoshi ? Elle m'a l'air plus simple mais pour l'exactitude je suis assez surpris.

BIses de Cléo


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#18 12-07-2007 12:07:51

yoshi
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Salut,

John a écrit :

E(GA) = pq - 7.(1 - p).q - 2.p.(1 - q) + 8.(1 - p).(1 - q) = 18.p.q - 10.p - 15.q + 8

Peux-tu expliquer ?

@+


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#19 12-07-2007 14:17:09

cléopatre
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonjour !

C'est un simple calcul d'espérance : 1 * (p*q) + (-7) * (1-p)*q + (-2) * p * (1 - q) + 8 * (1 - p) * (1 - q)

La valeur du gain multiplié par les propabilités...

@ +


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#20 12-07-2007 16:14:30

john
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Effectivement cléo. mais tu réponds à la question... par la question. Or yoshi n'a pas fait beaucoup de proba. dans ses jeunes années. Alors "petit cours" pour lui et tous les autres :
L'espérance, c'est la moyenne d'une distribution de probabilité...
------------------------------------------------------------------
Exemple
Voici la suite des 7 notes d'un élève : {5, 0, 7, 7, 8, 7, 8}
La "fréquence d'apparition" de la note k dans cette suite, est donnée par la fonction d(k), définie par :
    d(0) = 1/7 (la fréquence du zéro est de 1 fois sur 7)
    d(5) = 1/7
    d(7) = 3/7
    d(8) = 2/7
    d(n) = 0 partout ailleurs.
La somme des d(k) vaut 1. C'est la distribution des fréquences de notes de cet élève.
Comme on peut le vérifier, la moyenne M des notes est donnée par la somme des k*d(k) :
M = 5.(1/7) + 7.(3/7) + 8.(2/7) + 0.(1/7) = 42/7 = 6.
Lorsque la distribution de fréquences devient une distribution de probabilité, la moyenne prend le nom d'espérance.
Partant du tableau des gains de A et connaissant la probabilité de chacune des cases du tableau, on peut calculer le gain moyen de A, c-à-d l'espérance de gain de A. La probabilité de la case 'A décide R8' ET 'B décide N7' est (1 - p).q car les décisions sont indépendantes. La contribution de cette case à l'espérance de gain de A est de -7.(1 - p).q. En faisant la somme des contributions de toutes les cases du tableau, on obtient le gain moyen.
Clair ?

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#21 12-07-2007 16:24:48

john
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Pour répondre à la question de cléo. : Un marteau pilon pour écraser une mouche...

L'espérance de gain de A est une forme quadratique qui s'écrit matriciellement :
E[GA] = [q, 1-q]*[[1, -7],[-2, 8]]*[[p],[1-p]]
Pour les notations :
[q, 1-q] est une matrice ligne de 2 termes.
[[p],[1-p]] est une matrice colonne de 2 lignes à 1 seul terme.
(yoshi va se régaler à transformer ça avec latex !!!)
Or :
[q, 1-q] = [q, 1]*[[1, -1],[0, 1]]
et de même :
[[p],[1-p]] = [[1, 0],[-1, 1]]*[[p],[1]]
En remplaçant, on a :
E[GA] = [q, 1]*[[1, -1],[0, 1]]*[[1, -7],[-2, 8]]*[[1, 0],[-1, 1]]*[[p],[1]]
En effectuant le produit :
E[GA] = [q, 1]*[[18, -15],[-10, 8]]*[[p],[1]]
En dérivant par rapport à p :
dE/dp = [q, 1]*[[18, -15],[-10, 8]]*[[1],[0]] = [q, 1]*[[18],[-10]] = 0 => q = 5/9
En dérivant par rapport à q :
dE/dq = [1, 0]*[[18, -15],[-10, 8]]*[[p],[1]] = [18, -15]*[[p],[1]] = 0 => p = 5/6

En regardant de plus près la transformation des coefficients du tableau des gains de A, on retrouve les "opérations mystérieuses" de la solution transmise par yoshi. Je ne crois pas me tromper beaucoup en disant qu'il n'y a pas d'autre explication.
A+

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#22 12-07-2007 16:30:00

cléopatre
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonsoir John !

Merci John, tout est clair maintenant pour moi !

Bises et @+


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#23 12-07-2007 17:50:39

yoshi
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonjour,

John a écrit :

L'espérance de gain de A est une forme quadratique qui s'écrit matriciellement :
[tex]E[GA] = \begin{pmatrix} q & {1-q} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1 & {-7} \\ {-2} & 8 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} p \\ {1-p} \end{pmatrix}[/tex]

(yoshi va se régaler à transformer ça avec latex !!!)

Or :
[tex] \begin{pmatrix} q & {1-q} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & {-1} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]

et de même :
[tex] \begin{pmatrix}p \\ {1-p}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ {-1} & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}p \\ 1\end{pmatrix} [/tex]

En remplaçant, on a :
[tex]E[GA] = \begin{pmatrix}q & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & {-1} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & {-7} \\ {-2} & 8 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ {-1} & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}p \\ 1\end{pmatrix}[/tex]

En effectuant le produit :
[tex]E[GA] = \begin{pmatrix}q & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}18 &{-15}\\{-10} & 8\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}p \\1\end{pmatrix}[/tex]

En dérivant par rapport à p :
[tex]{dE \over dp}= \begin{pmatrix}q & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}18 &{-15}\\{-10} & 8\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}18 \\{-10}\end{pmatrix}=0\Rightarrow q={5 \over 9}[/tex]

En dérivant par rapport à q :
[tex]{dE \over dq}= \begin{pmatrix}1 & 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}18 &{-15}\\{-10} & 8\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}p \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18 &{-15}\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}p \\ 1\end{pmatrix}=0 \Rightarrow p={5 \over 6}[/tex]

(De mon temps, on appelait ces matrices uniligne, unicolonne et carrée...)
Donc, voilà John, défi relevé (j'espère que je n'ai pas laissé traîner de coquille) !


Un mot de commentaire encore.
Cleo a bien de la chance et/ou du talent pour avoir tout compris : j'en bée d'admiration...
Je suis certainement bouché, mais je ne vois pas "mes" opérations mystérieuses : je ne vois pas à quoi correspondent dans tes calculs les rapports effectués entre les "amplitudes", en valeurs absolues, 3/15 et 8/10...
Je voudrais pouvoir donner un sens mathématique, voire concret, à ces quotients...

@+


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#24 12-07-2007 19:42:36

john
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Merci yoshi pour le latex, je savais que tu ferais ça bien. Va falloir que je m'y mette sérieusement !
En regardant de plus près, je viens de m'apercevoir que, pour une fois, je ne me suis PAS planté. Une erreur s'est en effet glissée dans le message de yoshi :

yoshi a écrit :

A la fois simple et compliqué.
Le bouquin dit (et ajoute qu'il ne justifiera pas) :
Soustraction des lignes :
-7-8 = -15
1 - (-2) = 3
Là, il fait 15/3 = 1/5
Verdict (du livre) : la meilleure stratégie consiste pour A à présenter une fois son AS contre 5 fois son 8..

En réalité A doit décider 5 fois N1 contre 1 fois R8 et on a bien p = Pr('A décide N1') = 5/6. L'auteur aurait pu justifier simplement ses calculs mystérieux sur le résultat suivant :
La stratégie de A est optimale si son gain est indépendant de ce que fait B et réciproquement (résultat obtenu 8 messages plus haut) c-à-d si le gain de A est indépendant de q. Pour cela, il suffit que le coefficient de q dans le gain de A soit nul.
Rappel du tableau des gains de A
             |              A           |   
             |      N1    |   R8    |   
----------------------------------------
     N7    |    1         |    -7    |     q   
B  --------------------------------------
     R2    |    -2        |     8    |    1-q
----------------------------------------
             |    p         |  1-p    |      1   
La ligne de calcul -7-8 se rapporte au gain de la colonne R8 soit (-7q -8q).(1-p) = -15.q.(1-p)
La ligne 1 - (-2) se rapporte au gain de la colonne N1 soit (1q -(-2)q).p = 3.q.p
Le gain de A est indépendant de q si 3.q.p -15.q.(1-p) = 0 soit p/(1-p) = 15/3 = 5/1 cqfd.
A+

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#25 13-07-2007 06:39:17

yoshi
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Re : Enigme : jeu de valeur nulle = jeu équitable ?

Bonjour,

Vérification faite : mea culpa...
Il est bien écrit dans le livre : présenter 5 fois son As contre une fois son 8...

@+


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