PPCM de 3 nombres avec restes

bonnes · 27-03-2020 13:57:04

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre ce problème de 4 ème:
Trouver un nombre qui donne 16 pour reste quand on le divise par 24 ou par 32 et 8 pour reste quand on le divise par 20.
Merci de votre aide.

yoshi · 27-03-2020 14:54:19

Bonjour,

Pas évident en 4e...
Un nombre qui, divisé par 20, donne un reste de 8 est un multiple de 20, +8
En foi de quoi, il est terminé par un 8.

Un nombre qui, divisé par 24 ou 32, donne un reste de 16 est un multiple commun à 24 et 32, +16
Et je vais chercher le plus petit de ces multiples communs.
Soit on tatonne et on tombe sur 96 assez vite
Soit on raisonne
24 = 3 * 8
32 = 4 * 8
Et on voit que 24 * 4 = 32 * 3= 96 c'est le ppcm de 24 et 32
Mais on voit que 96+16 = ..2 terminé par 2 ça ne marche pas, c'est 8 qu'il faut...
Donc en ajoutant 16, pour avoir 8 comme terminaison, il me faut un nombre terminé par 2
Donc on cherche un multiple de 96 terminé par 2.
Tout multiple du PPCM sera multiple de 24 et 32...
Et la Table de 6 m'apprend que 6 * 2 =12 et 6 * 7 = 42
Cela vous fait déjà 2 nombres :
96 * 2 + 16 = 192+16 = 208 = 20 * 10 + 8
96 * 7 + 16 = 672+16 = 688 = 20 * 34 + 8
Les deux suivants sont :
96 * 12 + 16 = 1152 + 16 = 1168 = 20 * 58 + 8
96 * 17 + 16 = 1632 + 16 = 1648 = 20 * 82 + 8
Et il y en a d'autres...

Questions ?

@+

bonnes · 27-03-2020 22:24:46

Franchement, je vous dis BRAVO et merci de tout coeur.
Bien cordialement et restez confiné.
Michel

yoshi · 27-03-2020 22:48:35

Re,

Puis-je suggérer un exercice surprenant avec le PPCM
Trouver un nombre :
qui a pour reste 1 quand on le divise par 2
qui a pour reste 2 quand on le divise par 3
qui a pour reste 3 quand on le divise par 4
qui a pour reste 4 quand on le divise par 5
qui a pour reste 5 quand on le divise par 6
qui a pour reste 6 quand on le divise par 7
qui a pour reste 7 quand on le divise par 8
qui a pour reste 8 quand on le divise par 9

C'est d'abord un problème d'observation : il y a quelque chose à voir...
Et à partir de là il, faut raisonner juste et effectuer 3 misérables calculs...

Exo bien plus simple que le vôtre... Si, si, je vous assure !

@+

freddy · 28-03-2020 15:13:56

yoshi a écrit :

Bonjour,
Pas évident en 4e...
Un nombre qui, divisé par 20, donne un reste de 8 est un multiple de 20, +8
En foi de quoi, il est terminé par un 8.
Un nombre qui, divisé par 24 ou 32, donne un reste de 16 est un multiple commun à 24 et 32, +16
Et je vais chercher le plus petit de ces multiples communs.
Soit on tatonne et on tombe sur 96 assez vite
Soit on raisonne
24 = 3 * 8
32 = 4 * 8
Et on voit que 24 * 4 = 32 * 3= 96 c'est le ppcm de 24 et 32
Mais on voit que 96+16 = ..2 terminé par 2 ça ne marche pas, c'est 8 qu'il faut...
Donc en ajoutant 16, pour avoir 8 comme terminaison, il me faut un nombre terminé par 2
Donc on cherche un multiple de 96 terminé par 2.
Tout multiple du PPCM sera multiple de 24 et 32...
Et la Table de 6 m'apprend que 6 * 2 =12 et 6 * 7 = 42
Cela vous fait déjà 2 nombres :
96 * 2 + 16 = 192+16 = 208 = 20 * 10 + 8
96 * 7 + 16 = 672+16 = 688 = 20 * 34 + 8
Les deux suivants sont :
96 * 12 + 16 = 1152 + 16 = 1168 = 20 * 58 + 8
96 * 17 + 16 = 1632 + 16 = 1648 = 20 * 82 + 8
Et il y en a d'autres...
Questions ?
@+

Limpide, brillant, bluffant, bravo !

yoshi · 28-03-2020 15:26:51

@freddy
N'en jette plus, la cour est pleine...^_^
C'est trop sympa de ta part.

freddy · 28-03-2020 16:06:57

yoshi a écrit :

@freddy
N'en jette plus, la cour est pleine...^_^
C'est trop sympa de ta part.

Mon ami, je suis sincère !

yoshi · 28-03-2020 16:48:59

Salut,

Tu vois une autre façon de faire ?
De toutes façons en 4e, c'est raide : ou, depuis ma retraite, le niveau des 4e a été boosté (ça se saurait) ou je vois mal un môme de cet âge produire ce raisonnement...

@+

freddy · 28-03-2020 17:46:48

yoshi a écrit :

Salut,
Tu vois une autre façon de faire ?
De toutes façons en 4e, c'est raide : ou, depuis ma retraite, le niveau des 4e a été boosté (ça se saurait) ou je vois mal un môme de cet âge produire ce raisonnement...
@+

Je ne suis même pas certain qu’un terminale d’aujourd’hui sache faire, alors un quatrième ...

freddy · 28-03-2020 21:16:10

yoshi a écrit :

Re,
Puis-je suggérer un exercice surprenant avec le PPCM
Trouver un nombre :
qui a pour reste 1 quand on le divise par 2
qui a pour reste 2 quand on le divise par 3
qui a pour reste 3 quand on le divise par 4
qui a pour reste 4 quand on le divise par 5
qui a pour reste 5 quand on le divise par 6
qui a pour reste 6 quand on le divise par 7
qui a pour reste 7 quand on le divise par 8
qui a pour reste 8 quand on le divise par 9
C'est d'abord un problème d'observation : il y a quelque chose à voir...
Et à partir de là il, faut raisonner juste et effectuer 3 misérables calculs...
Exo bien plus simple que le vôtre... Si, si, je vous assure !
@+

Salut,

bon, alors, je tente.

Pour $p$ variant de 2 à 9, le nombre $N$ recherché est de la forme $N= \alpha_p\times p + (p-1)=(\alpha_p+1)\times p-1$.
Donc le nombre $N+1$ est divisible par chaque nombre $p$, donc N est tel que $N+1=2\times 3\times 4\times 5 \cdots\times 9=9!$
Conclusion $N=9!-1=362.879$, sauf erreur.

yoshi · 28-03-2020 21:50:44

Oui, c'est juste, mais quel est le plus petit nombre...
(Donné à des 3e, donc pas de factorielle, dans le cadre du nouveau programme, donc, même si j'étais border line dans ma lecture des programmes de l'époque, pas par moi : j'aurais pas osé !).
Comment ça "sauf erreur" ?
Un p'tit coup de Python :

for i in range(2,10):

    print(362879, " divisé par",i,"reste :",362879%i)

qui donne :

362879 divisé par 2 reste : 1
362879 divisé par 3 reste : 2
362879 divisé par 4 reste : 3
362879 divisé par 5 reste : 4
362879 divisé par 6 reste : 5
362879 divisé par 7 reste : 6
362879 divisé par 8 reste : 7
362879 divisé par 9 reste : 8

@+

freddy · 28-03-2020 22:00:32

Re,

oui, tu as raison, je ne me suis pas foulé.
Donc $N+1 = 2^3\times 3^2\times \ 5\times 7=2.520$ soit $N=2.519$, sauf erreur :-)

yoshi · 28-03-2020 22:03:39

Oui, c'est aussi ce que j'ai trouvé...
Conclusion : certains collègues débordent d'optimisme malgré le (grâce au ?) confinement...

bonnes · 29-03-2020 11:11:18

Bonjour,
Malgré ton aide, j'ai un autre exercice (dans la même application) que je n'arrive pas à résoudre:
En comptant les élèves d'une école par 9,10 et 12 il en reste respectivement 8, 9 et 11. En le comptant par 11, il n'en reste pas. Trouver le nombre d'élèves de l'école.
Merci pour ton aide.
Michel

freddy · 29-03-2020 11:26:51

Salut,

je vais laisser faire yoshi, mais un truc est immédiat : ton nombre d'élèves est un multiple de 11, c'est une indication importante.

freddy · 29-03-2020 13:09:46

Re,

après, si tu regardes bien, ton sujet est très proche de celui posé par yoshi. En clair, le nombre $N$ que tu cherches est tel que $N+1$ est un multiple commun à 9, 10 et 12 ... Attention, il y a une contrainte supplémentaire :-)

Dernière modification par freddy (29-03-2020 13:12:37)

freddy · 29-03-2020 13:34:49

bonnes a écrit :

Bonjour,
Malgré ton aide, j'ai un autre exercice (dans la même application) que je n'arrive pas à résoudre:
En comptant les élèves d'une école par 9,10 et 12 il en reste respectivement 8, 9 et 11. En le comptant par 11, il n'en reste pas. Trouver le nombre d'élèves de l'école.
Merci pour ton aide.
Michel

Es-tu sûr de l’énoncé ?

yoshi · 29-03-2020 14:26:25

Bonjour,

C'est une version simplifiée du problème que j'avais soumis...
Oublions pour un temps la division par 11 et reprenons...

Division par : 9 reste : 8
Division par : 10 reste : 9
Division par : 12 reste : 11

Je disais à mes élèves que lorsqu'on fait des mathématiques, il ne faut surtout pas oublier de ressortir les 3 verbes :
Observer, Comparer, Déduire.
Je vais observer la première ligne et qu'y vois-je ? division par 9 8 comme reste..
Comme j'ai l'esprit en éveil, je vois que sur les 9 restes possibles (à savoir 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8) c'est le dernier qui est retenu...
Et je vois que 8+1 = 9 ou plus précisément 8 = 9-1 ...
Et là, je me dis : tiens ! c'est amusant...
Serait-ce vrai chaque fois.
Et je vais comparer avec les 2 autre lignes...
Oui...
Quelle coïncidence !
En maths les coïncidences, ne sont justement pas une coïncidence...
On va donc le formuler autrement :
dans la division par 9, 10 et 12 le reste est 9-1, 10-1, 12-1
qui se formule encore autrement en employant les mots devraient faire tilt !
Le nombre cherché est un multiple commun à 9, 10 et 12, moins 1...

Et la division par 11 ?
Parmi les multiples 9 10, et 12 il y en, a un qui est le plus petit...
C'est par lui qu'il faut commencer...
Si vous enlevez 1, il y a gros à parier (99 chances sur 100) qu'il ne sera pas aussi multiple de 11 (je ne sais pas, je n'ai pas fait le calcul, je le ferai après la fin du message) ; de plus la mention de la division par 11 de l'énoncé n'aurait pas grand intérêt...
Donc il nous en faut un plus grand...
Pas d'autre choix que tester, parmi les multiples du plus petit multiple, quel est celui qui, après soustraction de 1, va être multiple de 11...

N-B : il n'est pas vraiment indispensable de faire les divisions par 11 : un peu de calcul mental suffit et va aussi vite.
Quelques exemples :
4325 :
Je fais deux additions : 3+5 = 8 ; 4+2 = 6
et une soustraction 8-6 = 2 ne se divise pas par 11...
479563
3+5+7 =15
6+9+4 = 19-15 =4 pas multiple de 11
(Je dois trouver un multiple de 11 : 0,11,22,33... après soustraction)
57981 --> (1+9+5)-(8+7) = 0 multiple de 11. Effectivement 57981 =5271 * 11
La règle dit : la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair doit être un multiple de 11.
(Faire la soustraction dans le sens somme plus grande - somme plus petite)

Est-ce que c'est plus clair ?

Sinon, questions ?

@+

bonnes · 29-03-2020 16:13:11

Merci pour ces compléments. Je vous suis très reconnaissant. Sans votre aide, je ne m'en serai pas sorti.
Prenez soin de vous.
Michel

freddy · 30-03-2020 09:30:06

Salut,

Pour finir, il semblerait que le nombre d’élèves soit égal à 539, c’est à dire $3\times 180-1$, car le PPCM de N+ 1 $= 180=2^23^25$.
Pour une école, c’est déjà une taille raisonnable !

L'autre jour, j'ai eu un doute car j'ai démarré beaucoup trop haut, genre 1.080, et après quelques essais, je ne trouvais pas de solution immédiate. Du coup, j'ai eu un doute sur le sujet et cherchais une méthode pour l'invalider. Cette nuit, confinement oblige, je suis reparti à la racine et en trois étapes, j'ai eu une première solution. Il y en a d'autres, mais celle là me semble convenable.

Dernière modification par freddy (30-03-2020 09:57:12)

yoshi · 30-03-2020 10:25:27

Re,

C'est que j'ai trouvé, les tests Python sont conformes.
C'est le plus petit nombre...
[HS]
Peux-tu aller jeter un oeil (et tu le reprends après hein...) j'ai la sensation que mes réponses ne verront pas de retour, alors j'aimerai avoir l'avis de[/HS]l'expert en probas sur ce que j'ai fini par faire (conçu cette nuit aussi).
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 475#p84475
Merci.
[/HS]

@+

jpp · 30-03-2020 10:51:18

salut ;

Condition (1)

le nombre N tel que sa division par 3 nombres a , b & c donne respectivement les restes : a-1 , b-1 & c-1 est le ppcm de a , b & c diminué de 1 .
soit : N = ppcm(9,10,12) - 1 = 3² x 2² x 5 - 1 = 179 .

Condition (2) : le nombre recherché possède une autre propriété : il est divisible par 11 .
on divise 179 par 11 : 179 = 16 x 11 + 3 ; le reste vaut 3 .
Si on ajoute une ou plusieurs fois le ppcm , on ne change rien à la première condition .
on divise le ppcm 180 par 11 : 180 = 16 x 11 + 4 ; le reste vaut 4
On voit de suite que : ( 179 + 2 x 180 ) / 11 = 16 x 11 + 3 + 16 x 11 + 4 + 16 x 11 + 4 = 48 x 11 + ( 3 + 4 + 4 ) = 48 x 11 + 11 = 49 x 11
le plus petit nombre recherché est donc M = 179 + 2 x 180 = 539 .

freddy · 30-03-2020 12:46:51

Salut JPP,

ouaip, le truc est bien de regarder les congruences successives de $N+1$ modulo 11, en testant à quel moment elle est égale à 1, puisqu'ensuite, on sait que le terme $N$ trouvé sera congru à 0 modulo 11.

Donc, on a $180 \equiv 4 \mod 11$ et on déduit tout de suite que $3\times 180 \equiv 1 \mod 11$ puisque $12 \equiv 1\mod 11$.
C'est un peu ce que j'ai fait, de tête, cette nuit, en attendant que le sommeil veuille bien revenir …
Ce serait bien qu'on ait plus de demandes d'aide, ça occuperait un peu l'esprit :-)

Dernière modification par freddy (30-03-2020 18:01:55)

bonnes · 31-03-2020 21:57:19

Bonsoir,
Malgré votre aide, je bute encore sur ces problèmes de ppcm.
Voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre:
Un enfant compte ses timbres-poste par 12, par 16 et par 20. Il lui en reste 8 à chaque fois. En les comptant par 13, il ne lui en reste pas. Combien possède-t-il de timbres ?
Voici mon début de raisonnement:
Ce nombre de timbres sera à la fois:
1° Multiple de 12, 16 et 20 + 8 soit: 3x16x5 = 240 + 8 = 248
2° Multiple de 13.
J'essaye avec différents multiples de 13 à partir de 13 x 20 = 260, mais je ne trouve pas de multiple qui réponde au critère 1°.
Je vous remercie encore pour votre aide.

freddy · 01-04-2020 01:06:09

Salut,

ce qui est intéressant dans cet énoncé est que le nombre N cherché est tel que N/4 se comporte comme suit :
divisé par 3, il reste 2 ; divisé par 4, il reste 2 et divisé par 5, il reste encore 2.
Mais puisque 3, 4 et 5 sont premiers entre eux, on peut convoquer ici le théorème des restes chinois ;-)

Dernière modification par freddy (01-04-2020 01:33:41)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 27-03-2020 13:57:04

PPCM de 3 nombres avec restes

#2 27-03-2020 14:54:19

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#3 27-03-2020 22:24:46

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#4 27-03-2020 22:48:35

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#5 28-03-2020 15:13:56

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#6 28-03-2020 15:26:51

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#7 28-03-2020 16:06:57

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#8 28-03-2020 16:48:59

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#9 28-03-2020 17:46:48

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#10 28-03-2020 21:16:10

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#11 28-03-2020 21:50:44

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#12 28-03-2020 22:00:32

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#13 28-03-2020 22:03:39

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#14 29-03-2020 11:11:18

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#15 29-03-2020 11:26:51

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#16 29-03-2020 13:09:46

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#17 29-03-2020 13:34:49

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#18 29-03-2020 14:26:25

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#19 29-03-2020 16:13:11

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#20 30-03-2020 09:30:06

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#21 30-03-2020 10:25:27

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#22 30-03-2020 10:51:18

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#23 30-03-2020 12:46:51

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#24 31-03-2020 21:57:19

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

#25 01-04-2020 01:06:09

Re : PPCM de 3 nombres avec restes

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