Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 20-03-2020 22:46:08

dimou
Invité

Extremum fonction de 3 variables a valeur dans R

Salut,
Alors l'enoncé est le suivant:
Soit q une fonction definie sur R3 par q(x,y,z)=5x²+5y²+6z²+2xy+8xz+8yz
a) Montrer que q ne prend que des valeurs strictement positives sur R3-{0}
b)Soit f(x,y,z)=q(x,y,z)/(x²+y²+z²) def sur R3-{0}
Montrez que f est bornée et atteint ses bornes. Les déterminer!

Pour la question a je m'en suis sorti avec un changement de base en utilisant le fait que q(x,y,z)=tXMX en diagonalisant M qui est une mat symetrique comme pour les coniques a peu pres en trouvant que les valeurs propres sont positives.

Le probleme est pour la b j'essai de calculer quand le grad de f s'annule mais ce sont des calculs tres compliqués.
N'y aurais t'il pas une autre solution?
Merci d'avance

#2 20-03-2020 23:56:20

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 584

Re : Extremum fonction de 3 variables a valeur dans R

Salut,

  Je pense que tu dois continuer à travailler avec la réduction de ta forme quadratique. Considère $(u_1,u_2,u_3)$ une base orthonormale de $\mathbb R^3$ constituée de vecteurs propres pour $M$, associées aux valeurs propres respectives $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$.
Si tu prends $X$ un vecteur de $\mathbb R^3$, et que tu l'écris dans cette base, à quoi est égal $q(X)$?
Le dénominateur de $f$ lui s'exprime indifféremment dans la base canonique ou dans cette base orthonormée.

F.

Hors ligne

Pied de page des forums