Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 05-03-2020 16:12:26

Mira_7251
Membre
Inscription : 05-03-2020
Messages : 1

Thème d'exposé (mathématiques)

Bonjour,
je suis étudiante en 3ème année licence Mathématiques, je suis un peu perdue concernant le choix d'un sujet d'exposé en relation avec les maths.
Pourriez vous m'aider en me proposant un sujet svp ??
Merci beaucoup.

Dernière modification par Mira_7251 (05-03-2020 16:13:19)

Hors ligne

#2 05-03-2020 16:39:42

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Thème d'exposé (mathématiques)

Bonjour,


Une idée comme une autre : les nombres, ces inconnus...
Et là, tu as de quoi faire :
- leur évolution, leur répartition : $\mathbb N,\;\mathbb Z, \;\mathbb D,\;\mathbb Q,\; \mathbb R$, l'introduction de i, puis de $\mathbb C$
l'emploi de i devenu j dans les calculs avec le courant alternatif
- pairs et impairs, premiers (que, pour blaguer, je définissais à mes élèves comme des nombres... pères), abondants, parfaits etc...
- l'emploi des entiers naturels, dans les carrés dits magiques (et leur classification selon la forme de leur dimension : cf http://www.bibmath.net/carres/index.php … oi=carres)
- le nombre d'or (qui fascina peintres et sculpteurs)...

Il y a de quoi parler des heures...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#3 06-03-2020 23:53:37

holomorphy
Invité

Re : Thème d'exposé (mathématiques)

Salut,
tu peux t'inspirer de sujets de TIPE (exposés à faire en prépa) donnés sur plusieurs forum. Par exemple: théorie spectrale des graphes, methodes d'approximation des equations differentielles, les fractales, la cryptographie.

#4 07-03-2020 10:50:18

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Thème d'exposé (mathématiques)

Salut,

un sujet qui m'a toujours passionné.
Le monde dans lequel nous vivons est entouré d'incertitudes de tous ordres, c'est une banalité de le dire.
Dans bien des domaines, il convient d'être en capacité de prévoir, pour pouvoir agir pour ne pas subir.
Techniquement, on construit des modèles censés répliquer la réalité observée pour éviter les effets adverses de situations non anticipées et désagréables.
Construire le modèle est déjà un joli travail en soi ("tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable," ça a bercé plus de 30 ans d'une des composantes de ma vie professionnelle).
Mais, pour être plus proche de ce qu'on observe, il faut en outre modéliser la ou les variables aléatoires constitutives du hasard du sujet modélisé, ces trucs qu'on ne maîtrise pas car soumis au hasard, déterminer leur distribution de probabilité, puis, les simuler.
Théoriquement, c'est simple : si $X$ suit une loi de probabilité dont la distribution est donnée par $F(x)$, on simule différentes valeurs de X en prenant $F^{-1}(u)$, avec $U$ qui suit une loi uniforme. On est certain que le résultat suit la loi de $X$.
Il faut donc simuler une loi uniforme.

Mais pratiquement, le problème majeur en matière de simulation est le suivant : comment simuler une variable aléatoire uniforme en étant certain que la simulation réplique parfaitement la loi uniforme, sans biais ni erreur en particulier ?

Je m'explique : si on utilise un générateur de nombres aléatoires simple (voire simpliste) tel qu'au bout de 10, 100, 1.000 voire 10.000 tirages aléatoires (quand on développe des outils de calculs suivant des méthodes dites de Monte Carlo, on peut être conduit  à procéder à plus de 100.000 tirages aléatoires), il reprend le même chemin de nombres déjà  fournis, la simulation est fortement biaisée et ses résultats entachés d'erreur qui peuvent conduire parfois à des catastrophes économiques ou industrielles. Un exemple de loi parfaitement aléatoire est la suite des décimales du nombre $\pi$ qui suit une loi uniforme. C'est la nature qui est à la manœuvre, et donc la question est de trouver comment faire aussi bien que la nature.

Il y a des mètres linéaires de littérature sur le sujet, qui est passionnant et bien entendu, fortement lié aux mathématiques. Pour ce que j'en sais, il est loin d'être épuisé et les domaines concernés sont vastes, certains insoupçonnés : finance, assurance, informatique, météorologie (les tempêtes en particulier), aéro et hydro dynamique, génétique, politique, ...

Je me souviens avoir un jour expliqué à un copain buraliste qui commercialise les produits de la Française des jeux que les tirages du Loto et de l'Euromillions étaient soumis à des contrôles permanents très stricts (poids et forme des boules, usure  des boules et du mécanisme de sélection de la boule, ...) pour s'assurer que les tirages suivent bien une loi uniforme, chaque boule devant avoir la même probabilité d'être tirée. Idem pour la roulette d'un casino.
A l'inverse, les jeux de grattages ne sont pas vraiment soumis au hasard, comme expliqué ici !.

En matière de modèles développés grâce à l'outil informatique (un progrès technique majeur, incontestablement, comme la machine à vapeur ou l'électricité), c'est le même problème : comment être sûr que le générateur de nombres aléatoires réplique parfaitement une loi uniforme.

Les générateurs fournis par certains automates commerciaux de calcul sont (très) biaisés, d'autres (rares) très performants. A toi de découvrir pourquoi, et peut être, d'en fabriquer un :-)
Si ça t'intéresse, on peut en parler.
Up to you !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#5 07-03-2020 12:37:43

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Thème d'exposé (mathématiques)

Bonjour,

Pour rebondir sur ce qu'a dit freddy
Concernant les générateurs de nombres pseudo-aléatoires, un algo assez fiable, le Blum_Blum_Shub est expliqué ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Blum_Blum_Shub
http://www.acrypta.com/telechargements/bbs.pdf
http://moais.imag.fr/membres/jean-louis … orrige.pdf

Un amateur de Python l'a implémenté dans ce langage :
https://python.jpvweb.com/python/mesrec … enalea_bbs

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#6 08-03-2020 09:24:28

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Thème d'exposé (mathématiques)

Salut,

pour compléter les idées ci-dessus, j'ai envie d'ajouter qu'il y a un vaste champ sur la sécurité informatique du blockchain en développement, et notamment à la base des cryptomonnaies actuelles dont il faut se méfier comme de la peste tant que les autorités monétaires n'auront pas fait le net là-dessus, ça pue l'arnaque à plein nez, les gogos vont enrichir les petits malins, et aussi toute l'arithmétique modulaire à la base des procédés modernes de cryptage (je ne veux pas dire de bêtises, pardon d'avance).

Ne pas oublier :" Les mathématiques sont la reine des sciences, l'arithmétique, la reine des mathématiques" !

J'ai l’impression qu'elle s'est évaporée, pas grave, ça peut profiter à d'autres !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

Pied de page des forums