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#1 04-03-2020 16:52:56

Tmota
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Action de groupe en application

Bonjour

je travaille avec les notions suivantes :

1) Action de groupe :
On dit que le groupe $G$ opère sur l'ensemble $E$ lorsqu'il existe une application :

$ \begin{array}{ll}
\phi : &G\times E \longrightarrow E \\
   &(g,x) \longrightarrow g.x
\end{array}$

vérifiant :
a) $1.x=x$, pour tout $x\in E$
b) $g.(g'.x)=(gg').x$ pour tout $(g,g',x)\in G^2\times E$

2) Orbite :
On définit l'orbite de $x$ sous l'action de $G$ par l'ensemble :

$G.x=\{g.x\mid g\in G\}$

3) Stabilisateur :
On définit le stabilisateur de $x$ sous l'action de $G$ par l'ensemble :

$G_x=\{g\in G\mid g.x=x\}$

4) Centre :
On définit le centre du groupe $G$ par l'ensemble :

$Z(G)=\{h\in G\mid\forall g\in G\,,gh=hg\}$

5) Indice :
On sait que dans le cas où $G$ est fini, alors on a l'égalité :

$card(G)=card(G.x)\times card(G_x)$

6) Equation aux classes :
Avec toutes ces notations, on peut écrire les égalités suivantes :
a) $card(E)=\sum_{i=1}^r card(G.x_i)$ où $G.x_1,\cdots,G.x_r$ sont toutes les orbites de $E$ deux à deux distinctes.
b) $card(G)=card(Z(G))+\sum_{i=1}^r card(G.h_i)$ où $G.h_1,\cdots,G.h_r$ sont toutes les orbites de $G$ deux à deux distinctes.

----- Je voudrais mettre en application les 6 points précédents dans l'exercice suivant :

Exercice a écrit :

On note $G$ un groupe fini (non forcément abélien) d'ordre $h$ et soit $p$ un nombre premier divisant $h$.
On note $S=\{(a_1,\cdots,a_p)\in G^p\mid a_1\cdots a_p=e\}$ où $e$ désigne le neutre de $G$.
On note $\gamma$ le $p$-cycle $\gamma=(1,2,\cdots ,p)$.

1) Action de groupe :
Le groupe $G=<\gamma>$ opère sur l'ensemble $E=S$ au moyen de l'application

$ \begin{array}{ll}
\phi : &<\gamma>\times S \longrightarrow S \\
   &(\gamma^k,(a_1,\cdots ,a_p)) \longrightarrow \gamma^k.(a_1,\cdots ,a_p)
\end{array}$

définie par $\gamma^k.(a_1,\cdots ,a_p):=(a_{\gamma^k(1)},\cdots ,a_{\gamma^k(p)})$.

Vérifions-le.
a) On prouve que, pour tout $x\in E$, $1.x=x$
Soit ici $Id.(a_1,\cdots ,a_p):=(a_{Id(1)},\cdots ,a_{Id(p)})=(a_{1},\cdots ,a_{p})$.

b) On prouve ensuite que $g.(g'.x)=(gg').x$ pour tout $(g,g',x)\in G^2\times E$.
Soit $\gamma^u\in <\gamma>$ pour un certain $u$ dans $\mathbb{Z}$.
Soit $\gamma^v \in <\gamma>$ pour un autre $v$ dans $\mathbb{Z}$.
Soite $(a_1,\cdots ,a_p)\in S$.

D'une part :
$\begin{array}{ll}
\gamma^u.(\gamma^v.(a_1,\cdots ,a_p))&=\gamma^u.(a_{\gamma^v(1)},\cdots ,a_{\gamma^v(p)})\\
&=(a_{\gamma^u\gamma^v(1)},\cdots ,a_{\gamma^u\gamma^v(p)})\\
&=(a_{\gamma^{u+v}(1)},\cdots ,a_{\gamma^{u+v}(p)})\\
\end{array}$

D'autre part :
$\begin{array}{ll}
(\gamma^u\gamma^v).(a_1,\cdots ,a_p)&=\gamma^{u+v}.(a_1,\cdots ,a_p)\\
&=(a_{\gamma^{u+v}(1)},\cdots ,a_{\gamma^{u+v}(p)})\\
\end{array}$

On a donc bien :
$\gamma^u.(\gamma^v.(a_1,\cdots ,a_p))=(\gamma^u\gamma^v).(a_1,\cdots ,a_p)$.

Et donc on a bien défini une action du groupe $G=<\gamma>$ sur l'ensemble $E=S$.

Qu'en pensez-vous ?

La suite dans les prochains posts.

Encore merci de votre aide précieuse.

Dernière modification par Tmota (04-03-2020 22:47:40)

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#2 04-03-2020 20:55:43

Tmota
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Re : Action de groupe en application

Je poursuis avec les points 2) et 3).

2) Orbite :
Ici, l'orbite de $x=(a_1,\cdots,a_p)$ sous l'action de $G=<\gamma>$ est l'ensemble :

$\begin{array}{ll}
<\gamma>.x&=\{\gamma^u.(a_1,\cdots,a_p)\mid \gamma^u\in <\gamma>\}\\
&=\{(a_{\gamma^{u}(1)},\cdots ,a_{\gamma^{u}(p)})\mid \gamma^u\in <\gamma>\}\\
\end{array}$

3) Stabilisateur :
Et le stabilisateur de $x=(a_1,\cdots,a_p)$ sous l'action de $G=<\gamma>$ est l'ensemble :

$\begin{array}{ll}
<\gamma>_{(a_1,\cdots,a_p)}&=\{\gamma^u\in <\gamma>\mid \gamma^u.(a_1,\cdots,a_p)=(a_1,\cdots,a_p)\}\\
&=\{\gamma^u\in <\gamma>\mid (a_{\gamma^{u}(1)},\cdots ,a_{\gamma^{u}(p)})=(a_1,\cdots,a_p)\}\\
&=\{\gamma^u\in <\gamma>\mid a_{\gamma^{u}(1)}=a_1\,,\cdots \,,a_{\gamma^{u}(p)}=a_p\}\\
\end{array}$

Qu'en pensez-vous ?

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#3 04-03-2020 20:59:02

Tmota
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Re : Action de groupe en application

Le point 4) me donne plus de fil à retordre :

4) Centre :
Le centre du groupe $G=<\gamma>$ est l'ensemble :

$Z(<\gamma>)=\{\gamma^v\in <\gamma>\mid\forall \gamma^u\in <\gamma>\,,\gamma^u\gamma^v=\gamma^v\gamma^u\}$

Or cette égalité s'écrit $\gamma^u\gamma^v=\gamma^v\gamma^u \Leftrightarrow \gamma^{u+v}=\gamma^{v+u}$ qui est tout le temps vrai.

Est-ce moi ou j'ai l'impression d'avoir raté quelque chose ?

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#4 04-03-2020 21:06:04

Tmota
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Re : Action de groupe en application

Pour le point 5), je trouve que c'est assez direct :

5) Indice :
On sait que $G=<\gamma>$ est fini. En effet, par définition :

$<\gamma>=\{\gamma^k\mid k\in\mathbb{Z}\}$

Or $\gamma$ étant un $p$-cycle, on a $\gamma^p=Id$.
On procède à la D.E. de $k$ par $p$ pour obtenir $k=pq+r$ avec $0\le r<p$.
Ainsi, on a $\gamma^k=\gamma^r$
Par conséquent, on a $<\gamma>=\{\gamma^r\mid r\in[[0,p-1]]\}$ et donc $card(<\gamma>)=p$.

On peut donc écrire :


$\begin{array}{ll}
card(<\gamma>)&=card(<\gamma>.(a_1,\cdots,a_p))\times card(<\gamma>_{(a_1,\cdots,a_p)})\\
p&=card(<\gamma>.(a_1,\cdots,a_p))\times card(<\gamma>_{(a_1,\cdots,a_p)})
\end{array}$

Et comme $p$ est premier, cela impose :
$card(<\gamma>.(a_1,\cdots,a_p))=p$ ou $card(<\gamma>.(a_1,\cdots,a_p))=1$

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#5 04-03-2020 21:07:09

Tmota
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Re : Action de groupe en application

Et pour le point 6), cela se gâte !
Il y a des choses qui m'échappent.

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#6 04-03-2020 22:28:14

Fred
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Re : Action de groupe en application

Tmota a écrit :

Le point 4) me donne plus de fil à retordre :

4) Centre :
Le centre du groupe $G=<\gamma>$ est l'ensemble :

$Z(<\gamma>)=\{\gamma^v\in <\gamma>\mid\forall \gamma^u\in <\gamma>\,,\gamma^u\gamma^v=\gamma^v\gamma^u\}$

Or cette égalité s'écrit $\gamma^u\gamma^v=\gamma^v\gamma^u \Leftrightarrow \gamma^{u+v}=\gamma^{v+u}$ qui est tout le temps vrai.

Est-ce moi ou j'ai l'impression d'avoir raté quelque chose ?

Un groupe monogène est abélien, donc son centre est égal au groupe tout entier.

F.

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#7 04-03-2020 22:47:16

Tmota
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Re : Action de groupe en application

Fred a écrit :

Un groupe monogène est abélien, donc son centre est égal au groupe tout entier.

F.

Ah oui, merci ! Donc $Z(<\gamma>)=<\gamma>$ !

Que pensez-vous des autres points évoqués ?

Pouvez-vous m'aider sur le point 6 ?

Dernière modification par Tmota (04-03-2020 23:03:35)

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#8 04-03-2020 23:03:16

Tmota
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Re : Action de groupe en application

Pour moi, les équations du point 6 s'écrivent :
a) $card(S)=\sum_{i=1}^r card(<\gamma>.x_i)$

où $<\gamma>.x_1,\cdots,<\gamma>.x_r$ sont toutes les orbites de $E=S$ deux à deux distinctes.

b)\begin{array}{ll} card(<\gamma>)&=card(Z(<\gamma>))+\sum_{i=1}^r card(<\gamma>.h_i)\\
&=card(<\gamma>)+\sum_{i=1}^r card(<\gamma>.h_i)\\
\end{array}

où $<\gamma>.h_1,\cdots,<\gamma>.h_r$ sont toutes les orbites de $G=<\gamma>$ deux à deux distinctes.
et qui conduit à $\sum_{i=1}^r card(<\gamma>.h_i)=0$ ?

J'ai du mal sur la conclusion.

Remarque :
J'arrive à montrer que l'application suivante est une bijection :
$ \begin{array}{ll}
f : &S \longrightarrow G^{p-1} \\
   &(a_1,\cdots,a_p) \longrightarrow (a_1,\cdots,a_{p-1})
\end{array}$
J'en déduis donc que $card(S)=card(G^{p-1})=h^{p-1}$.

Et je dois démontrer le th. de Cauchy, à savoir le nombre de solutions de l'équation $x^p=e$ dans $G$ est un multiple de $p$.

Dernière modification par Tmota (04-03-2020 23:04:44)

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#9 05-03-2020 07:35:22

Fred
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Re : Action de groupe en application

Bonjour,

  Je pense que tu te méprends en imaginant que b) est toujours vrai. Cette formule est l'équation aux classes lorsque le groupe G opère sur lui-même par conjugaison (et même dans ce cas, il ne faut considérer que les orbites de cardinal supérieur ou égal à 2).

F.

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#10 05-03-2020 10:21:27

Tmota
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Re : Action de groupe en application

Fred a écrit :

Bonjour,

  Je pense que tu te méprends en imaginant que b) est toujours vrai. Cette formule est l'équation aux classes lorsque le groupe G opère sur lui-même par conjugaison (et même dans ce cas, il ne faut considérer que les orbites de cardinal supérieur ou égal à 2).

F.

Arf oui, je viens de relire le théorème plus attentivement. Ici, on fait opérer $G=<\gamma>$ sur $E=S$. Donc nous ne sommes pas dans les conditions de ce théorème (pour le point b)).

Par contre, le point a) reste valable. Je viens de relire encore les conditions d'application de l'équation aux classe lorsque $G$ opère sur $E$. Je pense qu'on peut écrire :

$card(S)=\sum_{i=1}^r card(<\gamma>.x_i)$

où $<\gamma>.x_1,\cdots,<\gamma>.x_r$ sont toutes les orbites de $E=S$ deux à deux distinctes.

Ensuite, je viens de reprendre l'application :

$ \begin{array}{ll}
f : &S \longrightarrow G^{p-1} \\
   &(a_1,\cdots,a_p) \longrightarrow (a_1,\cdots,a_{p-1})
\end{array}$

C'est bien une bijection et il s'en suit que $card(S)=card(G^{p-1})=h^{p-1}$.

En reportant dans l'équation aux classe, j'obtiens que :

$h^{p-1}=\sum_{i=1}^r card(<\gamma>.x_i)$

Et je suis bloqué ici, je ne fais pas le lien avec la recherche de solutions dans $G$ de l'équation $x^p=e$ et le fait que ce soit un multiple de $p$.

Pouvez-vous m'aider ?

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#11 05-03-2020 22:48:55

Fred
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Re : Action de groupe en application

Re-

  Comme tu l'as dit, tu as $card(<\gamma>.x)=1$ ou $p$. Il faut que tu vois que si c'est égal à $1$, alors on a forcément $x_1=x_2=...=x_p$, et que dans ce cas $x_1^p=e$. Autrement dit, tu peux mettre en bijection l'ensemble des éléments de ton groupe vérifiant $x^p=e$ avec l'ensemble des orbites à un seul élément. Si $N$ est le cardinal de l'ensemble des éléments vérifiant $x^p=e$,
alors tu as $h^{p-1}=N+\sum_{\textrm{orbites de cardinal au moins 2}}card(<\gamma>.x)$. Comme une orbite de cardinal au moins 2 a pour cardinal $p$, tu as finalement une équation du type $h^{p-1}=N+kp$. Comme $h^{p-1}$ et $kp$ sont divisibles par $p$, il en est de même de $N$.

F.

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#12 06-03-2020 10:59:12

Tmota
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Re : Action de groupe en application

Bonjour,

je vais essayer de comprendre ceci :

Fred a écrit :

Re-

  Comme tu l'as dit, tu as $card(<\gamma>.x)=1$ ou $p$. Il faut que tu vois que si c'est égal à $1$, alors on a forcément $x_1=x_2=...=x_p$, et que dans ce cas $x_1^p=e$.

F.

On suppose que $card(<\gamma>.x)=1$.

Cela signifie que, pour $x\in S$, l'ensemble $<\gamma>.x:=\{y\in S\mid \exists \gamma^k\in <\gamma>\mid y=\gamma^k.x\}$ n'a qu'un seul élément.

Je vais noter $z\in S$ cet unique élément.

Alors on sait que $\exists \gamma^k\in <\gamma>\mid z=\gamma^k.(a_1,\cdots ,a_p)=(a_{\gamma^k(1)},\cdots ,a_{\gamma^k(p)})$.

Ensuite, comme $\gamma=(1,2,\cdots ,p)$, alors $\forall k\in[[1,p]]$ :

$\gamma^k(1)=k+1$
$\gamma^k(2)=k+2$

$\cdots$

$\gamma^k(p-k)=p$
$\gamma^k(k)=1$

$\cdots$

$\gamma^k(p)=k$

Et donc $z=\gamma^k.(a_1,\cdots ,a_p)=(a_{k+1},\cdots ,a_p,a_1,\cdots ,a_{k})$.

Et là je suis coincé :/
Pourquoi cela conduit à $a_1=\cdots =a_p$ ?

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#13 06-03-2020 15:28:40

Tmota
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Re : Action de groupe en application

Je suis bête. Je ne maîtrises pas la définition d'une orbite ! En fait, c'est :

$G.x=\{g.x\mid g\in G\}$

On calcule les "itérés" de g.
Ici, cela donne :

$\begin{array}{ll}
G.x&=<\gamma>.x\\
&=<\gamma>.(a_1,\cdots ,a_p)\\
&=\{\gamma^k.(a_1,\cdots ,a_p)\mid \gamma^k\in <\gamma>\}\\
&=\{(a_{\gamma^k(1)},\cdots ,a_{\gamma^k(p)})\mid \gamma^k\in <\gamma>\}\\
&=\{(a_{\gamma^0(1)},\cdots ,a_{\gamma^0(p)})\,;\,(a_{\gamma^1(1)},\cdots ,a_{\gamma^1(p)})\,;\,(a_{\gamma^2(1)},\cdots ,a_{\gamma^2(p)})\,;\,\cdots ; (a_{\gamma^{p-1}(1)},\cdots ,a_{\gamma^{p-1}(p)})\}\\
&=\{(a_1,\cdots ,a_p)\,;\,(a_2,\cdots ,a_1)\,;\,(a_3,\cdots ,a_2)\,;\,\cdots ;(a_p,\cdots ,a_{p-1})\}\\
\end{array}$

Puis $card(<\gamma>.x)=1$ impose l'égalité de tous ces p-uplets, soit : $a_1=a_2=\cdots =a_p$ avec $a_1\cdots a_p=e$ car $x=(a_1,\cdots,a_p)\in S$.

On a donc bien $a_1^p=e$.

Je pense que cette fois j'ai mieux compris.

Dernière modification par Tmota (06-03-2020 15:31:01)

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#14 06-03-2020 16:59:36

Tmota
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Re : Action de groupe en application

J'essaye de comprendre la suite :

Fred a écrit :

Re-
Autrement dit, tu peux mettre en bijection l'ensemble des éléments de ton groupe vérifiant $x^p=e$ avec l'ensemble des orbites à un seul élément.
F.

J'ai l'impression de ne pas faire la distinction entre les $x_i$ et le $x$ dans votre message.

Vous voulez dire que l'ensemble $\{x\in G\mid x^p=e\}$ et l'ensemble $\{x\in E\mid card(G.x)=1\}$ sont en bijection, est-ce cela ?

En effet,
$\forall x_i\in G$ avec $i\in [[1,p]]$, on a :

$x_i^p=e \Leftrightarrow x=(x_1,\cdots , x_p)\in E$ avec $card(G.x)=1$.

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#15 07-03-2020 09:03:33

Fred
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Re : Action de groupe en application

Oui c’est ça

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#16 09-03-2020 16:14:20

Tmota
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Re : Action de groupe en application

Bonjour,

j'ai retravaillé la démonstration de nouveau ce jour que j'essaye de "synthétiser". Voici :

1) a écrit :

On fait agir le groupe $H=<\gamma>$ sur l'ensemble $E$ au moyen de l'application bien définie :

$\begin{array}{ll} \phi : &H\times E \longrightarrow E \\    &(\gamma^k,x) \longrightarrow \gamma^k.x \end{array}$

Ceci permet de définir l'orbite $H.x$ et le stabilisateur $H_x$.

2) a écrit :

Comme $H$ est d'ordre fini, on a l'égalité :

$card(H)=card(H.x)\times card(H_x)$

3) a écrit :

On remarque que :
a) $card(H.x)=1 \Rightarrow$ $\begin{cases}
(a_1,\cdots ,a_p)\in E \\
a_1=\cdots =a_p\\
\end{cases} $ $\Rightarrow a_1^p=e$

b) $card(E)=card(G)^{p-1}=h^{p-1}$

4) a écrit :

Enfin, l'équation aux classes livre :

$card(E)=\sum_{i=1}^r G.x^{(i)}$ (je note $x^{(i)}\in E$ pour ne pas avoir à noter $x_i\in E$ et ainsi confondre avec les $a_i\in G$)

Et c'est là que j'ai un problème "d'écriture".

Je note $A:=\{x^{(i)}\in E\mid 1\le i\le r\mid card(G.x^{(i)})=1\}$

Ainsi :
$card(E)=\large\sum_{x^{(i)}\in A} G.x^{(i)}+\sum_{x^{(i)}\in \bar{A}} G.x^{(i)}$

Ensuite j'écris :
$h^{p-1}=card(G)^{p-1}=\large\sum_{x^{(i)}\in A} G.x^{(i)}+p\times (\sum_{x^{(i)}\in \bar{A}} 1)$

Les différentes notations me perdent, mais je comprends l'idée générale.

Pouvez-vous m'aider à mieux le rédiger ?
D'avance merci :)

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#17 09-03-2020 20:53:29

Fred
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Re : Action de groupe en application

Bonjour,

  J'écrirais plutôt : soit $G.x^{(1)},\dots, G.x^{(r)}$ les orbites distinctes de $E$ sous l'action de $G$, $A=\{i\in\{1,\dots,r\},\ \textrm{card}(G.x^{(i)})=1\}$, $B=\{1,\dots,r\}\backslash A$. Alors l'équation aux classes donne
$$\textrm{card}(E)=\sum_{i\in A}\textrm{card}(G.x^{(i)})+\sum_{i\in B}\textrm{card}(G.x^{(i)}).$$
Puisque, pour tout $i\in B$, $p |\textrm{card}(G.x^{(i)})$, on en déduit qu'il existe un entier $n$ tel que
$$h^{p-1}=\textrm{card}(A)+pn.$$

F.

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#18 17-03-2020 10:31:49

Tmota
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Re : Action de groupe en application

Super, merci beaucoup :)

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#19 20-03-2020 16:10:21

Tmota
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Re : Action de groupe en application

Bonjour,

je suis entrain de reprendre la conclusion de cet exercice.

Je note $x_{(i)}\in S=(a_{1,i},\cdots,a_{p,i})$.

On a vu que : $\textrm{card}(G.x_{(i)})=1 \Leftrightarrow a^p=e$      (où $a:=a_{1,i}=\cdots=a_{p,i}\in G$)

Et donc $A=\{i\in\{1,\dots,r\},\ \textrm{card}(G.x_{(i)})=1\}$ et en bijection avec $\{a\in G,\ a^p=e\}$.

D'où $card(A)=card(\{a\in G,\ a^p=e\})$.

Avec les notations de Fred, on a donc :

$p|h^{p-1}-p\times n \Rightarrow p|card(A) \Rightarrow p|card(\{a\in G,\ a^p=e\})$.

Le nombre de solutions de l'équation $a^p=e$ est donc bien un multiple de $p$.

Par ailleurs :
Comme $e^p=e$ alors $card(\{a\in G,\ a^p=e\})\ge 1$.
Comme $p|card(\{a\in G,\ a^p=e\})$ alors $card(\{a\in G,\ a^p=e\})\ge p$.

Donc il existe $a\in G$, $a\neq e$ tel que $a^p=e$.

Et donc il existe au moins un élément d'ordre $p$.

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