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Lycéen

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Limite en 0

Bonjour, je cherche à montrer que la limite de
$\frac{1}{2x}\ln(\frac{1+x}{1-x})$ est $1$ en $0$. Mais je ne vois pas comment lever l'indétermination. Si quelqu'un voulait bien m'aider ce serait très appréciable.
Merci et bonne journée

freddy

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Re : Limite en 0

Bonjour, je cherche à montrer que la limite de
$\frac{1}{2x}\ln(\frac{1+x}{1-x})$ est $1$ en $0$. Mais je ne vois pas comment lever l'indétermination. Si quelqu'un voulait bien m'aider ce serait très appréciable.
Merci et bonne journée

Salut,

t'es sûr que c'est indéterminé ?
En effet, je pense que $\frac{1}{2x}\ln(\frac{1+x}{1-x})$  peut facilement s'écrire d'une autre manière, puis, tu vas observer la définition d'une dérivée en $0$, assez classique.
Tu te rappelles que $\ln(a/b)= \ln a-\ln b $ ? Tu saurais écrire la définition d'une dérivée en 0 d'une fonction ?

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Lycéen

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Re : Limite en 0

Merci beaucoup pour votre réponse.
Je trouve $\frac{1}{2x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\frac{\ln(1+x)-\ln(1-x)}{1+x-(1-x)}$
Sinon $f$ est dérivable en $0$ si et seulement si $\frac{f(x)-f(0)}{x}$ admet une limite quand $x$ tend vers $0$ et cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $0$

freddy

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Re : Limite en 0

Merci beaucoup pour votre réponse.
Je trouve $\frac{1}{2x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\frac{\ln(1+x)-\ln(1-x)}{1+x-(1-x)}$
Sinon $f$ est dérivable en $0$ si et seulement si $\frac{f(x)-f(0)}{x}$ admet une limite quand $x$ tend vers $0$ et cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $0$

? comment tu raisonnes, que fais-tu ? IL n'y a pas plus simple ? C'est faux, ton truc ...
pour la dérivée, je suis d'accord, donc ?

Dernière modification par freddy (09-02-2020 15:07:03)

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Lycéen

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Re : Limite en 0

Merci, grâce à vos indications je pense avoir trouvé.
$\frac{1}{2x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\frac{1}{2}(\frac{\ln(1+x)-ln(1)}{x}-\frac{\ln(1-x)-ln(1)}{x})$
En posant $f(x)=\ln(1+x)$ et $g(x)=\ln(1-x)$
$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\frac{1}{2}(f'(0)-g'(0))=\frac{1}{2}(1+1)=1$
Voilà, j'espère que cette fois c'est plus cohérent et je vous remercie pour l'aide apportée.

freddy

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Re : Limite en 0

Merci, grâce à vos indications je pense avoir trouvé.
$\frac{1}{2x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\frac{1}{2}(\frac{\ln(1+x)-ln(1)}{x}-\frac{\ln(1-x)-ln(1)}{x})$
En posant $f(x)=\ln(1+x)$ et $g(x)=\ln(1-x)$
$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\frac{1}{2}(f'(0)-g'(0))=\frac{1}{2}(1+1)=1$
Voilà, j'espère que cette fois c'est plus cohérent et je vous remercie pour l'aide apportée.

Parfait !
C'est une astuce à laquelle il faut penser, elle sert dans pas mal de calcul de limites a priori indéterminées, en particulier avec les fonctions circulaires.

Dernière modification par freddy (09-02-2020 16:15:22)

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Zebulor

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Re : Limite en 0

Bonjour,
l'idée est bonne en effet. Néanmoins pour la rédaction j'aurais tendance à écrire :
En posant $f(x)=\ln(1+x)$ et $g(x)=\ln(1-x)$, on a : $\lim\limits_{x \rightarrow 0}(\frac{\ln(1+x)-ln(1)}{x})=f'(0)=1$  et  $\lim\limits_{x \rightarrow 0}(\frac{\ln(1-x)-ln(1)}{x})=g'(0)=-1$

Comme $\frac{1}{2x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\frac{1}{2}(\frac{\ln(1+x)-ln(1)}{x}-\frac{\ln(1-x)-ln(1)}{x})$, il vient :

$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\frac {1}{2} (1-(-1))=1$

C'est une histoire de tiercé dans l'ordre. Aussi parce qu'à priori on ne sait pas si $\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2x}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ existe..

Dernière modification par Zebulor (12-02-2020 15:13:30)

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Lycéen

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Re : Limite en 0

Merci beaucoup,
Je tâcherai de penser à cette méthode à l'avenir.
Zebulor merci pour cette proposition de rédaction plus rigoureuse, je me demandais simplement si $g'(0)$ n'était pas égal à $-1$, sauf erreur de ma part.

freddy

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Re : Limite en 0

Merci beaucoup,
Je tâcherai de penser à cette méthode à l'avenir.
Zebulor merci pour cette proposition de rédaction plus rigoureuse, je me demandais simplement si $g'(0)$ n'était pas égal à $-1$, sauf erreur de ma part.

Bien sûr que oui !
Attention aussi, dans la première limite, @zebulor a écrit une petite bêtise en laissant traîner 1/2.

Dernière modification par freddy (10-02-2020 22:26:35)

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Zebulor

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Re : Limite en 0

re,
Ok merci Freddy, un 1/2 qui traîne !! malheur à moi car la mathématique ne supporte pas l'inexactitude. J'ai rectifié ce post.

Dernière modification par Zebulor (11-02-2020 09:22:30)

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