Révisions pour mon DS

Zebulor · 03-01-2020 22:53:59

Ok alors comme j ai pris la variable X... j’aurai pu l’appeler u,v ou k .. peu importe puisque c est une variable muette.
Je déduis que h est décroissante de moins l’infini a X=0 et croissante de X=0 a plus l’infini.
Ça va ?

yannD · 03-01-2020 22:55:16

oui

Zebulor · 03-01-2020 23:03:14

Alors... je pose X=x-2 : c’est un changement de variables.
h est alors décroissante de moins l’infini jusqu une valeur de x telle que x-2=0 et croissante sur l’intervalle de x tel que x-2=0 a plus l’infini.

Dernière modification par Zebulor (03-01-2020 23:05:42)

yannD · 03-01-2020 23:06:37

j'ai du mal à suivre

Zebulor · 03-01-2020 23:11:35

J’essaie de trouver une explication plus claire...possible le que je commence à fatiguer..

Zebulor · 03-01-2020 23:22:39

•La fonction $x \mapsto x^2$ est croissante sur l ensemble des x tels que $x \ge 0$, décroissante ailleurs.
Je te laisse remplir les pointillés dans ce qui suit :

•De manière analogue la fonction $x \mapsto (x-2)^2$ est croissante sur l’ensemble des $x$ tels que $....\ge 0$ soit $...\ge...?$
Et la fonction $x \mapsto (x-2)^2$ est décroissante ailleurs, c est à dire sur l’ensemble des $x$ tels que $....\le 0$ soit $...\le..?$
•De la vient le sens de variations de $f$ pour tout $x$ : le même que celui de la fonction $x \mapsto (x-2)^2$

PS : Cette fois ci le graphe de chaque fonction est la translatée horizontale de l’autre...
En posant : pour tout x : $g(x)= (x-2)^2$ et $h(x)=x^2$ tu peux démontrer que les courbes de ces deux fonctions se croisent en un point dont tu peux trouver les coordonnées..
On peut aussi montrer que la droite d’équation $x=1$ est axe de symétrie de ces courbes.
Bref...tout un programme

Dernière modification par Zebulor (04-01-2020 15:34:30)

yannD · 04-01-2020 22:10:52

Bonsoir et merci d'avoir travaillé aussi tard ..

Zebulor · 04-01-2020 22:14:58

Bonsoir Yann,
Ça me permet de bien dormir...en réglant l écran à faible luminosité. Ces jours prochains je serai moins disponible mais Yoshi prendra probablement le relais ..

yannD · 04-01-2020 22:16:11

De faire des maths, cela te permet de bien dormir ?

Zebulor · 04-01-2020 22:17:36

Travailler le soir oui. :-). En espérant que ça t’aide !

Dernière modification par Zebulor (04-01-2020 22:22:49)

yannD · 04-01-2020 22:30:02

Oui.. j'ai regardé ta méthode et j'ai relu mon cours aussi, tu pars d'une fonction h : $x \mapsto x^2$ ( en rappelant les variations)
et tu fais un changement de variables $(x-2)\mapsto (x - 2)^2$

Zebulor · 04-01-2020 22:36:23

Un changement de variable qui ne dit pas son nom. Mais c est le post #81 qu il faut comprendre..

Dernière modification par Zebulor (04-01-2020 22:36:52)

yannD · 04-01-2020 22:44:14

• la fonction carré est décroissante si $x≥0$, elle passe par 0 et devient croissante si $x ≤ 0$
• on fait le changement de variable

Zebulor · 04-01-2020 22:50:03

yannD a écrit :

• la fonction carré est décroissante si $x≥0$, elle passe par 0 et devient croissante si $x ≤ 0$
• on fait le changement de variable

Et le $x≥0$ est le $x$ qu on met au carré’ dans l’écriture $x \mapsto x^2$.
C est cette fonction $x \mapsto (x-2)^2$ dont on cherche les variations.

Dernière modification par Zebulor (04-01-2020 23:07:34)

yannD · 04-01-2020 23:15:10

donc pour avoir le x que l'on met au carré dans $x\mapsto (x-2)^2$, je fais : x ≤ 0 <=> x-2 ≤ 0 - 2 soit x-2 ≤ -2

Zebulor · 04-01-2020 23:27:19

Pas tout à fait dans tes équivalences qui sont vraies tu tournes en rond en fait.
C est $x-2$ qui est au carré, pas $x$

Dernière modification par Zebulor (04-01-2020 23:27:38)

Zebulor · 04-01-2020 23:33:57

Cette fonction $x\mapsto (x-2)^2$ décroît de $+\infty $ a 0 lorsque l’expression mise au carré à savoir $x-2$ varie de $-\infty$ a 0.
C est assez subtil..

Dernière modification par Zebulor (04-01-2020 23:34:59)

yannD · 04-01-2020 23:38:15

x -> x² décroissante => x≤0 et x -> x² croissante => x ≥ 0
x -> (x-2)² décroissante => x ≤ 0 <=> x-2≤-2 et croissante => x≥0 <=> x-2≥-2

Zebulor · 04-01-2020 23:47:19

yannD a écrit :

x -> x² décroissante => x≤0 et x -> x² croissante => x ≥ 0
x -> (x-2)² décroissante => x ≤ 0 <=> x-2≤-2 et croissante => x≥0 <=> x-2≥-2

Oui pour ta première ligne, non ensuite parce que ce sont pas les mêmes fonctions.
C est une partie délicate :
x -> (x-2)² décroissante sur l’ensemble des x tels que x-2≤ 0 soit $x \le 2$
et croissante sur l’ensemble des x tels que $x-2 \ge 0 $ soit $x \ge 2$

Dernière modification par Zebulor (05-01-2020 00:04:19)

Zebulor · 05-01-2020 00:05:51

Je te préviens : Cette question est difficile par cette méthode et je regrette de t’en avoir parlé parce qu'elle est finalement plus complexe. Elle fait intervenir des composées de fonctions dont je doute fort que ce soit à ton programme.
Mais comme tu es curieux, et c'est une qualité, tu veux la connaître j essaie de te l’expliquer une dernière fois.

On cherche les variations de cette fonction : $x \mapsto (x-2)^2$ sur l ensemble R.
Comment est elle construite ? En deux étapes :

• $x \mapsto x-2$ : A tout élément $x$ de R je soustrais 2 par cette première fonction.
• je mets au carré l’image de $x$ trouvée précédemment à savoir $(x-2)$, par la fonction carré, qu’on note : $x \mapsto x^2$.
Par cette fonction l’image de $(x-2)$ est $(x-2)^2$

Si bien que $x \mapsto (x-2)^2$ est en fait cette fonction décomposée :
• $x \mapsto x-2 \mapsto (x-2)^2$

Le changement de variable est $X=x-2$, d où : $x \mapsto X \mapsto X^2$

Finalement la composée de fonctions $x \mapsto x-2 \mapsto (x-2)^2$ (Qui fait la même chose que : $x\mapsto (x-2)^2$ )est décroissante sur l ensemble des $x$ tels $x-2<0$ soit $x<2$ et croissante sur les $x$ tels que $x>2$ par application de théorème sur les dérivées de fonctions composée que tu n'as pas vu.

Mais s il y a une méthode a savoir appliquer et retenir, ce n'est pas celle ci mais celle que tu connais déjà avec les abscisses et leur image.
Il existe un outil beaucoup plus puissant et rapide : les dérivées de fonctions polynomiales.
En dérivant l expression $(x-2)^2$ ça se fait très très vite. Mais c est pour plus tard. Je ne veux pas te dégouter de faire des maths !

Dernière modification par Zebulor (11-01-2020 11:15:56)

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