Révisions pour mon DS

yannD · 02-01-2020 17:42:49

Bonjour, je vous souhaite une Bonne et heureuse année..
J'ai plusieurs exercices pour préparer un DS
Voici l'énoncé :

On appelle la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = x^2-4x +3$.
1) Montrer que $f(x)$ peut se factoriser par $x-1$ et donner le quotient. En déduire l'étude du signe de $f(x)$ suivant
les valeurs du réel $x$.
2) Montrer que pour tout $x$, on a $f(x) = (x-2)^2 -1 $. En déduire que f est croissante sur $[\,2\,;\,+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty\,;\,2\,]$
3) Déduire des questions précédentes le sens de variation sur $\mathbb R$ de la fonction $g$ définie par $g(x) = \left(f(x)\right)^2$

si un polynôme a des racines, ce polynôme est du signe de -a (soit, son opposé), à l'extérieur des racines et du signe de a à l'extérieur des racines et là je ne vois pas pourquoi il faut mettre sous forme d'un quotient
pouvez-vous m'aidez s'il vous plait ?

Dernière modification par yannD (02-01-2020 19:56:54)

Zebulor · 02-01-2020 18:28:13

Bonjour,

yannD a écrit :

si un polynôme a des racines, ce polynôme est du signe de -a (soit, son opposé), à l'extérieur des racines et du signe de a à l'extérieur des racines et là je ne vois pas pourquoi il faut mettre sous forme d'un quotient
pouvez-vous m'aidez s'il vous plait ?

Je suppose que tu veux dire qu'un un polynôme de degré 2 est du signe de $-a$ à l'intérieur des racines..
Il s'agit du quotient de la division de $f(x)$ par $x-1$. On parle de quotient parce que dans cet exemple il est tel que multiplié par $x-1$ te redonne $f(x)$ ..

Dernière modification par Zebulor (02-01-2020 18:29:39)

yannD · 02-01-2020 18:46:07

$\Delta = 4 = (2)^2$

$x_1 = 1$ et $x_2 = 3 $

x       |-oo        1          3        +oo|             

--------|-----------|----------|-----------|

x²-4x+3 |    -      0     +    0      -    |

--------|-----------|----------|-----------|

Zebulor · 02-01-2020 19:04:44

Re,
tes valeurs pour lesquelles $f$ s'annule sont bonnes mais pour les signes, c'est l'inverse : $x^2-4x+3$ est du signe de $a$, donc positif, à l'extérieur des racines.
Fais un test avec $x=0$..

Dernière modification par Zebulor (02-01-2020 19:08:24)

yannD · 02-01-2020 19:57:50

x=0 => y=3
donc y>0.

Zebulor · 02-01-2020 20:06:59

Re,
exterieur des racines = ]-$\infty;1] \cup [3;+\infty[$

yannD · 02-01-2020 20:15:08

$x^2-4x+3 < 0 $ si $1 < x < 3$

$x^2-4x+3 > 0$ si $1 > x $ et $x > 3$

Zebulor · 02-01-2020 20:18:27

oui pour la première, "ou" au lieu de "et" dans la seconde, parce que $x$ ne peut être à la fois plut petit que 1 et plus grand que 3.
Par ailleurs tu as même des équivalences dans les deux cas

Dernière modification par Zebulor (02-01-2020 20:19:39)

yannD · 02-01-2020 20:21:52

donc je sais que $x^2-4x+3 < 0 $ si $1<x<3$

et $x^2-4x+3 > 0$ si $1 > x$

Zebulor · 02-01-2020 20:28:28

$x^2-4x+3 > 0$ si $1 > x $ OU $x > 3$

et même : $x^2-4x+3 > 0$ $\Leftrightarrow$ $1 > x $ OU $x > 3$. Parce que ça marche dans les deux sens :
Si $x^2-4x+3 > 0$ alors $1 > x $ OU $x > 3$
Si $1 > x $ OU $x > 3$ alors $x^2-4x+3 > 0$

Dernière modification par Zebulor (02-01-2020 20:33:15)

yannD · 02-01-2020 20:33:09

ok, après pour répondre à la question 1 où il faut montrer que f(x) peut se factoriser par x-1
si j'ai $x^2-4x$ c'est facile puisque j'écris $(x-2x) (x+2x)$ mais avec $x^2-4x+3$ c'est me 3 qui m'embête

Zebulor · 02-01-2020 20:34:35

yannD a écrit :

si j'ai $x^2-4x$ c'est facile puisque j'écris $(x-2x) (x+2x)$

Tu es sur ?
Tu as du voir que pour un polynôme de degré 2 : $f(x)=ax^2+bx+c$ le produit des nombres qui annulent $f(x)$ est $\frac {c}{a}$
Je te laisse pour ce soir.. a bientôt

Dernière modification par Zebulor (02-01-2020 20:37:35)

yannD · 02-01-2020 20:44:35

oui le produit des racines est égal à c/a donc si x1 = 1 on peut faire 3/1

Zebulor · 02-01-2020 22:27:42

Re,
juste de passage.. et dans ce cas le 3 ne devrait plus t embêter ?

yannD a écrit :

si j'ai $x^2-4x$ c'est facile puisque j'écris $(x-2x) (x+2x)$

je viens de comprendre : attention : $(x-2x) (x+2x)=x^2-(2x)^2=x^2-4x^2=-3x^2$ ..tu as oublié un carré
Tu peux aussi jeter un coup d'oeil sur autre post (mathematiquesDMmathematiques) , où Yoshi fait un résumé de cours.

Dernière modification par Zebulor (03-01-2020 11:17:20)

yannD · 03-01-2020 15:30:16

Bonjour, oui, j'ai vu le résumé du cours et je l'ai imprimé pour bien l'avoir en tête . Merci
pour la 1. Montrer que f(x) se factorise par (x-1).
j'ai trouvé $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$

x       |-oo        1          3        +oo|             

--------|-----------|----------|-----------|

(x-1)   |    -      0     +    |     +     |

--------|-----------|----------|-----------|

(x-3)   |    -      |     -    0     +     |

--------|-----------|----------|-----------|

 f(x)   |    +      0     -    0     +     |

--------|-----------|----------|-----------|

Zebulor · 03-01-2020 15:30:37

Rebonjour,
Tu sembles avoir mieux digéré mon chocolat cette fois ci ! Tu peux développer l’expression $(x-1)(x-3)$ à titre de vérification...
Ok pour ton tableau de signe. Connaissant la propriété « du signe de $a$ a l’extérieur des racines » tu peux même te passer des deux premières lignes.

Dernière modification par Zebulor (03-01-2020 15:51:55)

yannD · 03-01-2020 15:32:00

peux-tu m'aider pour la 2) s'il te plait

Zebulor · 03-01-2020 15:39:24

Pour la 2) tu peux simplement partir l’expression qu on te demande trouver.
Soit tu la développes et tu dois retrouver celle du début de l’énoncé, soit tu la factorises et elle doit alors apparaître sous forme de produit.
Ensuite regarde si ce que tu obtiens coïncide avec une des expressions de $f$ que tu as trouvées.
Tu peux commencer par écrire : pour tout $x$, $(x-2)^2-1=..$

Dernière modification par Zebulor (03-01-2020 15:48:05)

yannD · 03-01-2020 15:50:53

donc , pour tout $x$, $(x-2)^2-1 = x^2-4x + 4 - 1 = f(x)$

Zebulor · 03-01-2020 15:53:56

Petite question supplémentaire : saurais tu maintenant factoriser $(x-2)^2-1$ ?
Petite indication $1=1^2$. C est une différence de deux carrés. Ça fait penser à Une identité remarquable

Dernière modification par Zebulor (03-01-2020 15:59:04)

yannD · 03-01-2020 16:16:42

Oui..
$(x-2)^2 - 1 = (x-2)^2 - \sqrt{(1)^2} = (x-2 - 1) (x-2+1)$

Zebulor · 03-01-2020 16:19:58

Alors pour reprendre la formule d un homme connu : satisfait ou remboursé ?

yannD · 03-01-2020 16:21:23

mais c'est surtout pour la suite de la question 2 où j'ai besoin d'aide

yannD · 03-01-2020 16:22:23

j'ai essayé un truc mais je ne suis pas sûr d'avoir bon

Zebulor · 03-01-2020 16:24:54

yannD a écrit :

2) Montrer que pour tout $x$, on a $f(x) = (x-2)^2 -1 $. En déduire que f est croissante sur $[\,2\,;\,+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty\,;\,2\,]$

« En déduire » c est se servir du résultat précédent pour trouver les variations de $f$.
Connais tu les sens de variations de la fonction carré ?
T as essayé un truc ? Dis moi

Dernière modification par Zebulor (03-01-2020 16:25:37)

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