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#1 31-12-2019 11:41:26

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 113

Une norme d'algèbre

Bonjour,

j'ai quelques difficultés sur l'exercice suivant :

Enoncé : a écrit :

$\mathcal{A}$ est une algèbre unitaire sur le corps $\mathbb{C}$ de dimension finie.
$||.||$ est une norme quelconque sur $\mathcal{A}$.
Pour $a\in\mathcal{A}$, on définit l'application $f_a:x\in\mathcal{A}\to ax$.

1) Montrer que $f_a$ est un endormorphisme.
2) Montrer que $f_a$ est continue sur $\mathcal{A}$.
3) Montrer que $N(a):=sup_{||x||\le 1}||f_a(x)||$ est bien défini.
4) Montrer que $N:a\in\mathcal{A}\to N(a)$ est une norme sur $\mathcal{A}$.
5) Montrer que $N$ est une norme d'algèbre sur $\mathcal{A}$.

Voilà ce que j'ai traité :
1) On a : $f_a(ux+vy)=a(ux+vy)=aux+avy=uf_a(x)+vf_a(y)$ pour tout $(x,y)\in\mathcal{A}^2$ et $(u,v)\in\mathbb{C}^2$.
2) On sait que toute application linéaire d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel normé de dimension quelconque est continue. D'où le fait que $f_a$ est continue.
3) L'application $\bar{f}_a:\{x\in\mathcal{A}\,,||x||\le 1\}\to ||f_a(x)||$ est continue par composition de deux applications continues (f_a l'est et ||.|| aussi).

L'ensemble $\{x\in\mathcal{A}\,,||x||\le 1\}=\bar{B}(0,1)$ est compact.

D'où $f_a$ est bornée et atteint ses bornes. Ce qui justifie l'existence de $sup_{||x||\le 1}||f_a(x)||$

4) Sur les trois axiomes, j'arrive à montrer que :
$N(\lambda a)=|\lambda| N(a)$
$N(a+b)\le N(a)+N(b)$

Mais j'ai plus de mal à montrer que $N(a)=0\Leftrightarrow a=0$.

5) Je n'y arrive pas.

Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.

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#2 31-12-2019 12:17:02

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Une norme d'algèbre

Bonjour

Tu dois montrer que $\|abx\|\leq N(a)N(b)$ pour tout $x$. Tu peux commencer par démontrer que $\|abx\|\leq N(a)\|bx\|$.

F

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#3 31-12-2019 12:32:03

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : Une norme d'algèbre

Bonjour,

Tmota a écrit :

Mais j'ai plus de mal à montrer que $N(a)=0\Leftrightarrow a=0$.

Pour montrer  $N(a)=0 \Rightarrow a=0$, tu peux partir de $N(a)=0$ avec l'hypothèse $a \ne 0$ pour aboutir à une contradiction.
Puisqu'étant donné deux propositions $A$ et $B$, on a :     $\overline{A \Rightarrow B} \Leftrightarrow A \cap \overline B$

Dernière modification par Zebulor (03-01-2020 10:11:59)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#4 31-12-2019 13:06:03

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 113

Re : Une norme d'algèbre

Ah oui.

Je pose $y=\frac{bx}{||bx||}$ pour $bx\neq 0$.

Alors $||y||=1$.

Donc $N(a)=sup_{||x||\le 1}||ax||\ge ||ay||$.

Ce qui donne $N(a)\ge ||\frac{abx}{||bx||}|| \Leftrightarrow ||bx||N(a)\ge ||abx||$.

Or $N(b)\ge ||bx||$.

D'où $||bx||N(a)\ge ||abx|| \Leftrightarrow N(b)N(a)\ge ||abx||$.

Supposons que $N(a)=0$ alors $0\ge ||abx||\ge 0$ avec $bx\neq 0$.

C'est donc que $a=0$.

Qu'en pensez-vous ?

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#5 31-12-2019 13:10:01

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 113

Re : Une norme d'algèbre

Dans la question 3, dois-je préciser que $\mathcal{A}$ est un $\mathbb{C}$-ev de dimension finie et donc la boule unité fermée est compacte par le th. de Riesz ?

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#6 02-01-2020 12:24:43

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 113

Re : Une norme d'algèbre

Que pensez-vous de ce qui suit :

Posons $y=\frac{x}{||x||}\neq 0$ de sorte que $||y||=1$.

Par conséquent $N(a)\ge ||ay||\ge 0$.

En supposant que $N(a)=0$ on a donc $||ay||=0$ et donc $ay=0$.

Puisque $y\neq 0$, il vient que $a=0$.

On a donc bien $N(a)=0 \Rightarrow a=0$.

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#7 02-01-2020 14:57:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Une norme d'algèbre

Bonjour

  Je n'en pense pas grand-chose de bien. Quand tu poses $y=x/\|x\|$ cela n'a pas vraiment de sens car tu ne dis pas qui est $x$. Ensuite rien ne dit que l'algèbre est intègre autrement dit que
$ay=0$ entraîne $a=0$ ou $y=0$.

  A ta place j'utiliserais plutôt que l'algèbre est unitaire.

F.

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#8 04-01-2020 09:46:03

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 113

Re : Une norme d'algèbre

Ok !
En prenant $y=\frac{e}{||e||}$ où e est l'élément neutre pour la multiplication interne.

On a : $||y||=1$

Donc : $0\le ||ay||\le N(a)$

Or : $||ay||=||a\frac{e}{||e||}||=\frac{1}{||e||}||a||=||a||$.

D'où : $0\le ||a||\le N(a)$.

Ainsi, $N(a)=0 \Rightarrow a=0$.

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#9 04-01-2020 10:58:12

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Une norme d'algèbre

Ca me plait beaucoup plus!

F.

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#10 04-01-2020 11:09:59

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 113

Re : Une norme d'algèbre

Merci !
Que pensez-vous de ma rédaction de la question 3 ?

Question 3 a écrit :

3) L'application $\bar{f}_a:\{x\in\mathcal{A}\,,||x||\le 1\}\to ||f_a(x)||$ est continue par composition de deux applications continues (f_a l'est et ||.|| aussi).

L'ensemble $\{x\in\mathcal{A}\,,||x||\le 1\}=\bar{B}(0,1)$ est compact.

D'où $f_a$ est bornée et atteint ses bornes. Ce qui justifie l'existence de $sup_{||x||\le 1}||f_a(x)||$

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#11 06-01-2020 14:27:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Une norme d'algèbre

Oui, c'est ça.

F.

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#12 09-01-2020 15:41:38

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 113

Re : Une norme d'algèbre

Merci beaucoup.
Et le fait que $\bar{B}(0,1)$ soit compact vient du théorème de Riesz. Est-ce bien cela ?

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#13 09-01-2020 20:10:10

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Une norme d'algèbre

Oui.

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#14 09-01-2020 21:52:44

Tmota
Membre
Inscription : 18-12-2019
Messages : 113

Re : Une norme d'algèbre

Merci beaucoup !

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