équation avec de la dérivée d'une somme

ExypnoseinT2NaH · 29-12-2019 21:01:46

bonjour, dans le cadre d'un atelier de recherche au lycée, on est amené à résoudre cette équation :

{d} over {dx} ( sum from{j = 1} to{m}{ %alpha_{j}{ sin(2^{j} %pi kt) } over { t^{n}}} ) = 0

(je sais pas si elle s'affiche désolé, je suis vraiment nouveau sur le forum)
la fonction est :f(t) = sum from{j = 1} to{m}{ %alpha_{j}{ sin(2^{j} %pi kt) } over { t^{n}}}
ensuite, les autres lettres sont juste des constantes, si ça peut vous éclairer, tous les alphas sont différents de 0, et on considère que n est strictement supérieur à 0

on a déjà démontré que la fonction tendait vers 0 (en même temps c'était plutôt logique)

en résolvant cette équation, on cherche à obtenir l'abscisse des endroits où la fonction s'annule, en l'occurrence des extremums

si vous pouvez me donner des angles d'attaque ça serait cool svp

PS: je suis au lycée mais ne vous inquiétez pas, je comprendrai si vous parlez de trucs de math sup et si jamais je suis chaud pour faire des recherches

ExypnoseinT2NaH · 29-12-2019 21:19:44

effectivement ça ne s'affiche pas, en plus je m'étais trompé sur le d/dt, j'avais mis d/dx...
je suis désolé de ça... mais si vous voulez, normalement ça s'affiche mieux avec un logiciel de traitement de texte

yoshi · 29-12-2019 22:35:47

Bonsoir;

Ça s'affiche aussi nettement en utilisant le Code Latex...
Ca ressemble furieusement au code que produit l'éditeur de formules d'Apache OpenOffice writer ou Libre Office writer.
Tu n'auras pas de mal à utiliser Latex...
Ton équation s'écrit :

\dfrac{d}{dt}\left(\sum\limits_{j=1}^m \alpha_j \dfrac{\sin(2^{j}\pi kt)}{t^{n}}\right) = 0

et en mettant un dollar au début à la fin, voilà le rendu :
$\dfrac{d}{dt}\left(\sum\limits_{j=1}^m \alpha_j \dfrac{\sin(2^{j}\pi kt)}{t^{n}}\right) = 0$

Et ta fonction :
f(t) =\sum\limits_{j=1}^m \alpha_j \dfrac{\sin(2^{j}\pi kt)}{t^{n}}
rendu avec les dollars :
$f(t) =\sum\limits_{j=1}^m \alpha_j \dfrac{\sin(2^{j}\pi kt)}{t^{n}}$

Si je n'écris pas \limits, le rendu n'est pas si beau :
$f(t) =\sum_{j=1}^m \alpha_j \dfrac{\sin(2^{j}\pi kt)}{t^{n}}$

Je pouvais aussi utiliser \frac au lieu de \dfrac :

$\frac{\sin(2^{j}\pi kt)}{t^{n}}$
Affaire de goût et de résolution d'écran (en 1920 x 1200, c'est trop petit à mon goût)...

J'ai pu me tromper dans l'interprétation de ton code, dans ce cas le corriger te sera une bonne façon/occasion de mettre le pied à l'étrier...

@+

exypnoseinT2NaH · 30-12-2019 12:55:00

merci beaucoup pour ce petit cours de Latex, tu as très bien interprété mon code, c'est donc la forme exacte de l'équation que je voulais écrire
du coup je pense que je vais m'entraîner un peu à utiliser ça...

du coup, est ce que tu aurais une idée de comment résoudre ce type de problème ?
parce que j'ai essayé les relations trigonométriques, la simplification (quoique je ne sois pas très fort dans la simplification de sommes ), j'ai même essayé de transformer la somme en intégrale mais évidemment je ne crois pas que ça soit possible...
donc si tu as une idée ou une piste quelle qu'elle soit, je suis preneur..

merci encore pour le code et merci d'avance pour les réponses !

exypnoseinT2NaH · 30-12-2019 13:00:54

nouvelle rectification, j'ai dit dans le premier message qu'on cherchais là où la fonction s'annulait mais pas du tout, on là où sa dérivée s'annule, pour du coup trouver les extremums (étant donné que c'est une fonction trigonométrique )

aussi, j'ai oublié de préciser, mais on a déjà anticipé qu'on trouverait dans les solutions l'abscisse de d'autres points car la dérivée ne s'annule pas qu'aux extremums de la fonction (si m est différent de 1 et n strictement supérieur à 0)

Fred · 30-12-2019 14:25:45

Bonjour

Si tu n'as aucune idée de ce que valent les $\alpha_j$ c'est très certainement très difficile pour ne pas dire impossible...

F

exypnoseinT2NaH · 30-12-2019 17:04:04

je veux bien te croire, c'est pour ça que j'ai commencé à essayer d'étudier la fonction en enlevant le fait que les $\alpha_j$ puissent être de valeurs différentes, on se retrouve donc

ExypnoseinT2NaH · 30-12-2019 17:10:45

avec : $\dfrac{d}{dt}\left(\sum\limits_{j=1}^m \alpha \dfrac{\sin(2^{j}\pi kt)}{t^{n}}\right)$ = 0

et alpha est différent de 0, nous n'avons d'ailleurs utilisé que des valeurs de alpha supérieur à 0, quoi qu'il en soit, on essaye de s'en sortir en considérant que tous les alphas sont égaux

ExypnoseinT2NaH · 04-01-2020 13:54:45

alors je viens de créer un compte du coup et en fait je pense que la technique pour résoudre mon problème serait de transformer la somme que j'ai en intégrale car on peut diviser des deux cotés par ce que l'on veux particulièrement par quelque chose de divisé par m pour se ramener à une somme de Riemann quand m tend vers l'infini de plus, en modifiant l'intérieur de la somme, on se retrouve avec quelque chose qui est la dérivée de quelque chose que l'on connait, il sera donc facile de calculer la primitive... faites le moi savoir si je me trompe mais je pense que c'est une bonne piste, voire la seule piste

Maenwe · 04-01-2020 15:38:26

Bonjour,
Une somme de Riemann ? On parle bien de cette formule : $\lim \limits_{n \to +\infty} \frac{b-a}{n} \sum \limits_{k=0}^{n-1} f(a+\frac{k}{n}(b-a)) = \int \limits_{a}^{b} f(t) dt$, d'une part tu as une plutôt bonne connaissance des maths pour un lycéen ou une lycéenne d'autre part je vois mal comment faire apparaitre une somme de Riemann ici (je vois pourquoi tu as pensé à ça mais par contre trouver la bonne fonction $f$ et les bonnes valeur $a$ et $b$ ne me semble pas si simple).
Ah oui et étant donné qu'il n'y a pas de $m$ dans la fonction ça me semble compliqué.

Au passage quand tu as dit "on cherche à obtenir l'abscisse où la fonction s'annule...", tu ne voulais pas dire les endroits où la fonction s'annule ? Parce qu'on est pas assuré qu'il y a qu'un seul endroit où elle s'annule, de plus la fonction dont tu parles c'est bien la dérivée de $t \mapsto \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{j} \frac{sin(2^{j} \pi k t)}{t^{n}}$ ? Car sinon ce que tu as écris est plutôt faux.

Autre chose, peux tu clarifier ton but ? Car si c'est déterminer les extrémaux de $t \mapsto \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{j} \frac{sin(2^{j} \pi k t)}{t^{n}}$ et bien cette fonction n'est pas forcément minorée ou majorée (prendre $m=k=n-1=1$ et regarder la fonction en $0$).

Dernière modification par Maenwe (04-01-2020 16:18:51)

Zebulor · 04-01-2020 15:49:35

Bonjour,
@Expo :
Tu dis aussi :
« On a déjà démontré que la fonction tend vers 0 (en même temps c’était plutôt logique»..

Peux tu préciser ?

Dernière modification par Zebulor (04-01-2020 15:58:50)

ExypnoseinT2NaH · 04-01-2020 17:57:33

Maenwe a écrit :

Bonjour,
Une somme de Riemann ? On parle bien de cette formule : $\lim \limits_{n \to +\infty} \frac{b-a}{n} \sum \limits_{k=0}^{n-1} f(a+\frac{k}{n}(b-a)) = \int \limits_{a}^{b} f(t) dt$, d'une part tu as une plutôt bonne connaissance des maths pour un lycéen ou une lycéenne d'autre part je vois mal comment faire apparaitre une somme de Riemann ici (je vois pourquoi tu as pensé à ça mais par contre trouver la bonne fonction $f$ et les bonnes valeur $a$ et $b$ ne me semble pas si simple).
Ah oui et étant donné qu'il n'y a pas de $m$ dans la fonction ça me semble compliqué.
Au passage quand tu as dit "on cherche à obtenir l'abscisse où la fonction s'annule...", tu ne voulais pas dire les endroits où la fonction s'annule ? Parce qu'on est pas assuré qu'il y a qu'un seul endroit où elle s'annule, de plus la fonction dont tu parles c'est bien la dérivée de $t \mapsto \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{j} \frac{sin(2^{j} \pi k t)}{t^{n}}$ ? Car sinon ce que tu as écris est plutôt faux.
Autre chose, peux tu clarifier ton but ? Car si c'est déterminer les extrémaux de $t \mapsto \sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_{j} \frac{sin(2^{j} \pi k t)}{t^{n}}$ et bien cette fonction n'est pas forcément minorée ou majorée (prendre $m=k=n-1=1$ et regarder la fonction en $0$).

pour te répondre, il y a bien un m, c'est la borne finale de la somme et oui, tu as raison, je me suis très mal exprimé car évidemment la fonction de base tout comme sa dérivée comporte un certain nombre de points d'annulation

ensuite, je ne comprends pas bien la notion de majoration et minoration (je ne l'ai pas vue et je ne suis pas encore tombé dessus dans mes recherches) mais si par là tu entends qu'on ne sait pas si la fonction admet toujours un minimum ou un maximum, si car dans notre cas (on étudie le son) on ne prend en compte que des $n>=0$ ce qui nous donne dans le cas où $n=0$ des max et min un peu partout dans la fonction et dans le cas où $n>0$ on retrouve les maximums (d'après nos observations) entre 0 et $\frac{1}{2k}$

et après, je pense effectivemnt que ça risque d'être compliqué de trouver $f$....

ExypnoseinT2NaH · 04-01-2020 18:03:15

Zebulor a écrit :

Bonjour,
@Expo :
Tu dis aussi :
« On a déjà démontré que la fonction tend vers 0 (en même temps c’était plutôt logique»..
Peux tu préciser ?

et bien quand $n>0$ il suffit d'utiliser le théorème des gendarmes pour démontrer que ça tend vers 0 parce qu'on sait que $\lim a+b= \lim a + \lim b$

donc on évalue la limite de l'intérieur de la somme avec le théorème des gendarmes et après bah $0+0+0+0+0+0+...+0 = 0$

Maenwe · 04-01-2020 20:14:33

Re,
Quand je disais qu'il manque un $m$ je voulais dire qu'à l'intérieur de la somme même il n'y a pas de $m$ tel quel, donc "nécessairement" les bornes $a$ et $b$ vont dépendre de $m$. (le "nécessairement" c'est juste pour indiquer que c'est mon intuition qui me dit ça)

Je me permets de répondre à la place de Zebulor sur ce coup là :
Je pense qu'il voulait dire que veux tu dire par limite ? Parce qu'il y a beaucoup de paramètre que l'on peut qualifier de "libre" (qualification non normalisée), par exemple tu aurais pu vouloir parler de $k$ ou encore de $m$ ou bien de $t$, ou comme tu semble le dire entre les ligne à $t$. Par exemple : pour $f_{n}(t) = t^{n}$ quand on dit la fonction tends vers 'quelque chose' (en $+\infty$) la plupart du temps on veut dire que l'on fait tendre $t$ vers $+\infty$ et si l'on veut dire que l'on fait tendre $n \in \mathbb{N}$ vers $+\infty$ on dit plutôt la suite de fonctions tend vers "quelque chose".

Aaah je vois, donc tu veux en fait parler d'extremums locaux, car lorsque que l'on parle d'extremum sans préciser rien après (à moins que l'énoncé soit mal fait à mon sens) on parle plutôt d'extremums globaux, et tu en conviendra $t \mapsto \frac{sin(2 \pi t)}{t^{2}}$ n'a pas de limites finies en $0$...

Par minoration et majoration, j'entends ceci :.
On dit qu'une fonction $f : I \to \mathbb{R}$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $f(x) \geq M$ pour tout $x$ dans $I$.
Et $f$ est dite minorée si $f(x) \geq M$ pour tout $x$ dans $I$.

NB : tu peux écrire ce signe $\geq$ (resp. $\leq$) en latex par \geq (resp. \leq).

Dernière modification par Maenwe (04-01-2020 20:14:51)

Zebulor · 04-01-2020 20:24:31

Bonsoir,
@Maewen : tu as deviné ma question. Ce qui m’intéresse dans la démarche de notre ami, c est de comprendre exactement ce qu’il a fait. Parce que je cherche souvent entre les lignes.
Par exemple : qui sont les gendarmes et le voleur ?

ExypnoseinT2NaH · 04-01-2020 21:10:36

je pense qu'effectivement $a$ et $b$ risquent de dépendre de $m$ mais pour essayer de trouver un truc je pense que je pourrais essayer de simplement multiplier par $\dfrac{m}{m}$ et ensuite il faudra un peu s'arranger pour modifier l'expression mais je pense que ça peut se faire

en réalité ce qui me fait le plus peur c'est le $k$ ici $j$ (je sais pas si c'est ça mais j'appelle ça le pas de la somme) parce que du coup pour intégrer celui ci dans le $sin(....)$ ou le $cos(....)$ sans que $a$ et $b$ n'en dépendent (je ne sais pas en fait s'il est grave que $a$ et/ou $b$ ne dépendent de $k$ mais si ce n'est pas le cas je voudrais bien le savoir )

ensuite, dans ma demo, les gendarmes sont $-1$ et $1$ et le voleur est $sin(2^{j} \pi k t)$ car on sait que s'il n'y a rien devant le sinus, les valeurs sont toujours entre $-1$ et $1$

et oui, on cherche bien des extremums "locaux" (car on sait (ou plutôt on pense) que si $n>0$ les extremums se trouvent "nécessairement" entre 0 et $\dfrac{1}{2k}$)

merci encore pour ces réponses

Maenwe · 04-01-2020 23:00:06

ça manque encore de précision, et ceci est très important (si ce n'est crucial) en mathématiques, on se doit d'être clair et précis dans ce que l'on cherche et dans sa façon de s'exprimer (ce n'est pas une tache facile, et même plutôt dure suivant les notions abordés) sous peine de tourner en rond sans jamais arriver à produire quoi que ce soit.
Si ton problème initial est de trouver les points qui annulent la dérivée d'une certaine fonction, très bien on va concentrer nos efforts la-dessus. Sinon formule clairement ta demande, car si c'est vraiment les extrema locaux que tu cherchent, ça veut dire que tu te donnes un intervalle ouvert quelconque et que tu cherches les extremums de cette fonction sur cette intervalle. Je suppose que ce n'est pas ça, et honnêtement j'aimerai comprendre ce que tu veux exactement mais j'ai du mal, regarde cette fonction $t \mapsto \frac{sin(2 \pi t)}{t^{2}}$ (je t'invite sincèrement à la visualiser, avec géogébra par exemple) c'est un cas particulier de la formule que tu as fournit...

Dire "les extremas locaux se trouvent "nécessairement" entre 0 et $\frac{1}{2k}$" n'a pas de sens car comme le terme local le signifie, il faut préciser sur quel intervalle tu travailles, de plus, si tu reprends l'exemple de fonction que je t'ai donné ($t \mapsto \frac{sin(2 \pi t)}{t^{2}}$) tu verras que sur cet intervalle cette fonction n'a pas de maximum par contre elle a un minimum.

Concernant cette partie de ton message : "en réalité ce qui me fait le plus peur c'est le $k$ ici $j$ (je sais pas si c'est ça mais j'appelle ça le pas de la somme)", je ne comprends pas ce que tu veux dire (le pas de la somme ici c'est 1, et l'incrément c'est $j$) j'ai l'impression que tu sous-entends qu'il y a un lien entre $j$ et $k$ alors que j'avais compris que $k$ était une constante.

J'ai fait de la physique aussi (suffisamment loin par rapport au lycée pour pouvoir suivre ce que tu vas pouvoir dire je pense;)) donc n'hésite pas à décrire ce que tu veux faire initialement car j'ai le sentiment que tu as retranscrit un problème de physique en un problème de mathématiques, non ? En particulier ce que je me demande c'est d'où vient cette formule ? et quelle caractéristique de cette courbe cherches tu ? Et pourquoi ?

PS : Une fonction peut ne pas avoir d'extrema local (par exemple : $x \mapsto x$).
Autre choses, l'annulation de la dérivée n'assure pas l'existence d'un extrema, même local (par exemple, la fonction $x \mapsto x^{3}$ en 0). Pour s'en assurer il faut regarder le signe de la dérivée autour du point d'annulation de cette dérivée.
L'analyse est tout plein de petit piège comme ceci et est très subtil ! C'est pour ça que souvent en physique, on fait des hypothèses simplificatrice ou que l'on fait très souvent des approximations dans les calculs, car souvent les vrais calculs demandent des notion plutôt complexe à construire ou appréhender (voir les deux) en mathématiques, d'où toutes mes questions concernant l'origine de ce questionnement.

Dernière modification par Maenwe (04-01-2020 23:15:48)

ExypnoseinT2NaH · 05-01-2020 00:55:58

re bonjour, quand je parlais de $k$ et $j$, je sous entendait le $k$ dans la formule de la somme de Riemann, je n'avais plus en tête le fait que j'utilise le k dans ma fonction (encore désolé) mais du coup non, il n'y a pas de lien entre $j$ et $k$, ton inconfort face à ce que je disais est dû au fait que je ne connaisse pas encore le vocabulaire lié à ces notions (elles ne sont pas au programme de 1ere)

par rapport au fait que certaines fonction n'admettent pas de maximum entre 0 et $\dfrac{1}{2k}$ c'est parce que tu as utilisé un un exposant pour $t$ qui est supérieur à 1 (je pense) parce qu'on voit avec l'expérimentation que pour toute valeur de $n>0$ le maximum n'existe pas sur cet intervalle.(on ne l'a pas prouvé, ce n'est qu'une conjecture)

ensuite, je suis au courant pour l'annulation de la dérivée et tout, je sais déjà que le problème ne sera pas encore résolu après avoir trouvé où s'annulait la dérivée et ce n'est pas un problème de physique mais bien de math parce que pour tout expliquer, il se trouve qu'il existe dans mon lycée un atelier de recherche mathématique et en l'occurence, notre thème de recherche est la musique, le son et tout le tralala
en gros on a un sujet général, on fait des recherches qui nous mènent à nous poser des questions auxquelles nous devons répondre en imaginant des démonstrations
or, on s'est dit qu'il etait possible de représenter une onde sonore comme une fonction sinus avec du coup $k$ qui serait la fréquence et $\alpha_j$ qui serait l'intensité. On s'est dit ensuite qu'il faudrait que la fonction tende vers 0 quand $t$ tend vers l'infini parce que plus le temps passe, plus l'intensité du son diminue, on divise donc le tout par $t$ et pour pouvoir contrôler le décroissement, on met un petit exposant $n$ (l'absorbance du milieu si on veut) et pour finir, le chercheur qui nous guide dans nos recherches nous a dit qu'on pouvait peut être creuser sur les fonctions composées on a donc rajouté un terme, on a donc sin(...) + sin(....) et on a donc trouvé une forme plus générale à al fonction (c'est biensur le chercheur qui a ajouté le $2^{j} \pi$ dans les sinus.

et pour les caractéristiques de CES courbes.... et bien en fait, on cherche juste à établir des choses, des formules dans le cas général permettant d'étudier ces fonctions dans des cas précis... ce que je voudrais ce ne serait donc que des pistes de recherche parce que là, je dois avouer que je suis bloqué, non pas parce que je n'ai pas les connaissances (par ce que je peux les trouver sur l'internet) mais parce que j'ai l'impression d'avoir épuisé mes angles d'attaque à cette questions d'extremums de sommes fonctions trigonométriques...

ensuite, je finirais en disant que je suis désolé pour mon grand manque de précision qui est très probablement symptomatique du fait que je sois encore au lycée et que le niveau de rigueur demandé soit vraiment faible...

désolé encore (on voit que tu avais l'air un peu exaspéré)

Maenwe · 05-01-2020 11:56:57

Non non je n'étais pas exaspéré, j'essayais d'avoir le plus d'info possible sur le problème. Excuse moi de m'être exprimé un peu crument.

Bon, j'ai dû faire des recherches sur les ondes sonores parce que je suis un peu rouillé la-dessus.
C'est bien une modélisation d'un problème physique que vous avez faite en premier lieu même si vous n'avez fait aucune expérience la-dessus, mais puisqu'un chercheur vous guide je ne vais pas remettre en cause la formule même si le $2^{j} \pi$ me surprends.

Puisque vous voulez modélisez l'amortissement du son il faut prendre $n \in ]0;1]$, en faisant appel à des techniques de calculs (dont je parlerai après) on arrive à montrer que dans le cas où $n \in ]0;1]$, la fonction que vous avez choisis est bornée.
Quant aux extremums locaux, j'ai réfléchi un peu hier soir après avoir envoyé mon message et il me semble possible (ou tout du moins envisageable) d'essayer de trouver tous les extrema locaux, en utilisant la périodicité du sinus notamment.

Appendice calcul : Comment trouve t'on la limite de cette fonction en 0 ? En utilisant la notion d'équivalent.
On dit que deux fonctions $f$ et $g$ sont équivalentes en 0 si $\lim \limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ et dans ce cas on écrit : $f \sim g$.
On a quelques propriétés dessus :
Si $f \sim g$
alors $f$ et $g$ ont les mêmes limites en 0 (à gauche ou à droite de 0).
alors pour toute fonction $h$ on a $f.h \sim g.h$.
Et dans le cas qui nous intéresse on a : $sin(x) \sim x$.
Je te laisse essayer de montrer tout ça (ce ne sera peut-être pas facile), si tu bloques n'hésite pas à demander.

Et donc on a $\frac{sin(2^{j} \pi k t)}{t^{n}} \sim \frac{2^{j} \pi k t}{t^{n}} = \frac{2^{j} \pi k}{t^{n-1}} = 2^{j} \pi k t^{1-n}$.
Or si $n < 1$ alors $\lim \limits_{t \to 0} 2^{j} \pi k t^{1-n} = 0$ et si $n=1$ alors $\lim \limits_{t \to 0} 2^{j} \pi k t^{1-n} = 2^{j} \pi k$.
Donc dans tous les cas la fonction $t \mapsto \frac{sin(2^{j} \pi k t)}{t^{n}}$ possède une limite finie en 0 et on remarque aisément que la fonction possède une limite finie (qui est 0) en $\pm \infty$.
Et il y a un petit lemme très intéressant qui dit ceci :
Lemme :
Soit une fonction continue $f$ définie sur un intervalle de la forme $I = ]a;+\infty[$. Si $f$ possède une limite finie en a et $+\infty$ alors il existe $M>0$ tel que pour tout $x \in I$ $\lvert f (x) \rvert \leq M$ (autrement dit, $f$ est bornée).

Je peux prouver ce lemme si tu le souhaites par contre il faudra que j'introduise proprement la définition de limites d'une fonction.

Donc par ce qui précède notre fonction est bornée. ça à l'air un peu compliqué parce que c'est nouveau mais avec l'habitude des équivalents (qui devient presque indispensable pour étudier des limites) tout ceci se fait de tête plutôt rapidement.

En ce qui concerne les extremums locaux, il suffit de regarder la courbe de quelques cas particulier pour s’apercevoir que les abscisses des extremums locaux de $f(t) = \sum \limits_{j=1}^{m-1} \alpha_{j} \frac{sin(2^{j} \pi k t)}{t^{n}}$ sont exactement ceux de la fonction $g(t) = t^{n}.f(t)$ (c'est à dire de l'onde sans amortissement).
Ceci est une conjecture qui est prouver (ou infirmer je ne l'ai pas prouvé donc je ne suis pas sûr de sa véracité).

Et puisque $g$ est une fonction périodique (à cause de la somme des sinus) il suffit d'étudier les extrema de $g$ sur cet intervalle : $]0;\frac{1}{2^{m-1}k}]$. Ça me semble un problème déjà plus simple à résoudre.

Dernière modification par Maenwe (05-01-2020 12:00:01)

ExypnoseinT2NaH · 05-01-2020 13:42:16

Je crois avoir compris la notion d'équivalence donc je vais m'amuser à prouver ça du coup parce que je pense que ça ne devrait pas être trop compliqué... ensuite, je voudrais juste savoir... dire que $f$ est bornée signifie bien qu'elle ne tend vers l'infini nulle part entre $a$ et $+\infty$ ?

ensuite, ce que tu dis par rapport à l'abscisse des maximums avec $g(x)$ et $f(x)$ qui ont les mêmes du coup, je pense que c'est vrai, je ne l'ai pas démontré mais en effet, dans géogébra par exemple, si on fait varier les paramètres, on voit que seule l'ordonnée change... donc effectivement, je pense qu'il serait plus facile d'étudier $g(x)$ parce que tu as dû le voir, sa dérivée est quand même un peu plus simple...

pour la preuve du lemme, ne t'en fais pas je pense que je pourrais la trouver..

mais par contre, pourquoi as tu écris $m-1$ en haut de la somme, parce que s'il y a une raison... en effet, au début, je ne l'avais pas mis mais dis moi si j'ai loupé quelque chose ou si je n'ai pas compris quelque chose
et aussi du coup, pourquoi fixes-tu la fin de l'intervalle à $\dfrac{1}{2^{m-1} k}$ ? encore une fois, je pense que quelque chose dois m'échapper mais si tu pouvais m'expliquer stp...

et pour finir, du coup on est d'accord, qu'on arrange le problème pour avoir $\dfrac{d}{dx} \sum \alpha_j {sin(2^{j} \pi k t)} = 0$ ?
(si je n'ai pas mis les bornes de la somme, c'est parce que je n'ai pas réussi... )

donc au final après, pour résoudre ça, qu'est ce qu'il va falloir utiliser parce qu'en sois, on a toujours une somme de sinus (vu qu'on dérive, de cosinus) avec un $\alpha_j 2^{j} \pi k$ et on ne peut pas "éclater la somme" pour pouvoir la modifier parce que si on factorise pas $\pi k$, on aura juste simplifié en soit...
donc est ce que je dois poursuivre sur les sommes de Riemann pour transformer tout ça en intégrale ou est ce qu'il y a une solution plus simple (même si je dois avouer que le délire de transformer la somme en intégrale c'est stylé...(surtout pour un élève de 1ere qui est trop fier de connaitre l'intégration par parties...) mais plus sérieusement, vu que tu as évidemment plus de connaissances que moi, est ce que tu penses que ça peut se faire, ou est ce qu'il faudrait trouver une autre technique ?

Maenwe · 05-01-2020 14:32:36

Re,

J'ai de sérieux doute concernant la possible transformation en une somme de Riemann, je ne l'ai que rarement vu utilisé, et en général on essaye de l'utiliser lorsque l'on a une suite dépendant de $m$ par exemple $u_{n}(m) = (\frac{1}{mn})^{3}$ en cherchant à calculer la limite de $(\sum \limits_{n=1}^{m} (\frac{1}{mn})^{3})_{m \in \mathbb{N}}$. Mais je vais quand même essayer pour voir si ça aboutit. Mais je vais quand même réfléchir à une autre méthode. (au passage il n'y a pas que l'intégration par partie qui est très utile il y a aussi l'intégration par changement de variable)

à part ça concernant le $m-1$ que j'ai écris en haut de la somme, eh bien j'ai fait une erreur ^^ Sinon j'ai aussi fait une erreur concernant l'intervalle d'étude, c'est plutôt l'intervalle $]0;\frac{1}{k}]$ qu'il faut considérer, vois tu pourquoi ?

NB : Pour le code LaTex tu peux regarder comment j'ai codé en cliquant sur le boutont "citer" en bas à droite de mes messages. Ou alors tu peux regarder sur internet Comment ça marche fournit une liste de symbole latex et wikipédia (ou un de ses dérivés, je ne sais plus) donne un certain nombre de symboles mathématiques, et si tu ne trouves toujours pas fait une recherche direct sur internet concernant le symbole que tu veux afficher.

Dernière modification par Maenwe (05-01-2020 15:56:14)

ExypnoseinT2NaH · 05-01-2020 15:16:29

alors si je ne m'abuse, le $\dfrac{1}{k}$ est là par rapport au calcule de la période qui est égale à l'inverse de la fréquence

et aussi, pour l'intégration, je crois que j'ai regardé des trucs qui parlaient de changement de variables, ça a pas l'air trop compliqué, je vais me pencher un peu plus dessus, pour m'améliorer un peu quand même (c'est bien quand on remplace le $dx$ par $du$ en modifiant des trucs dans la fonction pour obtenir un cas (plus) facile à primitiver ?)

et du coup, ouais, à voir pour la somme de riemann... ça me paraissait une bonne idée parce que dans mes expériences, j'avais vu que si on gardait tous les autres paramètres constants mais qu'on faisait augmenter $m$, l'abscisse du maximum se stabilisait vers une certaine valeur... donc je me suis dit que vu que quand $m$ tend vers $+\infty$ le maximum tend vers une valeur précise et bah que du coup la somme tend vers une valeur que l'on pourrait symboliser par une intégrale (c'est ce qu'il s'est passé dans ma tête ^^) parce que pour moi, une somme d'aires de rectangles donc la largeur tend vers $0$, ça devait forcément être une intégrale. (le graphique que j'obtenais faisait une sorte d'oscillation, c'est pour ça qu'il me parait logique que $a$ et $b$ dépendent de $m$)

j'ai l'impression que je m'obstine un peu avec cette idée d'intégrale ^^

Maenwe · 05-01-2020 21:17:09

Concernant le $\frac{1}{k}$, c'est à peu près ça, plus exactement c'est car chacune des période des sinus individuels (ceux se trouvant dans la somme) est un multiple entier de $\frac{1}{k}$.

L'intégration par changement de variable est décrite succinct dans cet article Wikipédia : Intégration par changement de variable (Wikipédia)

Je ne comprends pas ce que tu veux dire pour la somme de Riemann, oui sous certaines conditions la sommes de carré dont la taille tends vers 0 donne une intégrale lorsque l'on passe à la limite (c'est même le sens de la somme de Riemann), si tu as vu ça quelque part montre moi, ça pourrait éventuellement être une piste.
Comment sais tu que le maximum se stabilise lorsque l'on fait tendre $m$ ver l'infini ? Si tu as vu ça sur géogébra, ça peut-être une conjecture intéressante, voir même plus intéressante que le problème initial (à mon sens).
Tu peux aussi étudier cette courbe de pleins d'autres manière différentes, par exemple tu peux aussi essayer d'étudier son amortissement (la vitesse à laquelle l'amplitude du son diminue) en regardant à partir de quel moment ta courbe reste en dessous d'un certain $\epsilon > 0$. Et à partir de ce temps limite (que tu pourrais par exemple appeler temps d'amortissement $\epsilon$) comment se comporte cette valeur lorsque tu modifie $n$ ou $k$. Voilà, si ça peut donner d'autres idées pour étudier cette courbe...

ExypnoseinT2NaH · 06-01-2020 22:27:54

merci beaucoup pour les pistes avec $\epsilon$, c'est vrai que ça pourrait être interessant pour notre sujet, ensuite,pour la stabilisation du max quand $m$ tend vers $+\infty$, oui mais non, c'est plutôt l'abscisse du maximum que se stabilise (après, je n'ai pas fait d'expérience donc à voir si le maximum se stabilise aussi mais je ne pense pas, je pense qu'il risque qu mieux de grandir de moins en moins vite mais rien de bien folichon)

et pour la somme de Riemann, je ne l'ai vu nulle pars, l'idée m'est juste venue comme ça le soir de Noël, j'ai donc couru dans ma chambre pour au final me rendre compte que je n'avais clairement pas les connaissances nécessaires pour m'occuper d'un truc comme ça, du coup je suis retourné manger ma salade chêvre chaud... puis j'ai commencé à faire mes recherches sur les intégrales...

bref, bonne soirée et merci encore pour toutes ces pistes ^^

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 29-12-2019 21:01:46

équation avec de la dérivée d'une somme

#2 29-12-2019 21:19:44

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#3 29-12-2019 22:35:47

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#4 30-12-2019 12:55:00

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#5 30-12-2019 13:00:54

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#6 30-12-2019 14:25:45

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#7 30-12-2019 17:04:04

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#8 30-12-2019 17:10:45

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#9 04-01-2020 13:54:45

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#10 04-01-2020 15:38:26

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#11 04-01-2020 15:49:35

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#12 04-01-2020 17:57:33

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#13 04-01-2020 18:03:15

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#14 04-01-2020 20:14:33

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#15 04-01-2020 20:24:31

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#16 04-01-2020 21:10:36

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#17 04-01-2020 23:00:06

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#18 05-01-2020 00:55:58

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#19 05-01-2020 11:56:57

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#20 05-01-2020 13:42:16

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#21 05-01-2020 14:32:36

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#22 05-01-2020 15:16:29

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#23 05-01-2020 21:17:09

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

#24 06-01-2020 22:27:54

Re : équation avec de la dérivée d'une somme

Pied de page des forums