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#1 01-07-2007 13:59:45

Wil
Invité

fonction Lipschitzienne

bonjour,

j'ai un problème avec la définition des fonction lipschitzienne.
Une fonction n'est pas lipschitzienne si pour tout k>0 il existe (x,y) appartennant à I² tel que abs(f(x)-f(y))>k*abs(x-y)

abs étant la valeur absolue.

Mais rien qu'avec cette définition je n'arrive pas a montrer que f(x)=x² n'est pas lipschitzienne et f(x)=racine(x) ne l'est pas non plus!!

Pouvez vous m'aider?

Wil

#2 01-07-2007 14:12:54

cléopatre
Membre active
Inscription : 24-10-2006
Messages : 359

Re : fonction Lipschitzienne

Message retirer après ola réponse de Fred qui est clair et simpathique !

Dernière modification par cléopatre (02-07-2007 07:48:42)


<-- cleopatre -- 19 ans -- débutante mais amoureuse des maths -->
Hommage à Yoshi : "la Roche Tarpéienne est près du Capitole" wink

Hors ligne

#3 02-07-2007 07:30:39

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : fonction Lipschitzienne

f(x)=x² n'est pas lipschitzienne car si tu fais :

  f(n+1)-f(n), tu obtiens 2n+1, qui tend vers +infini, alors que si elle l'était, on aurait
|f(n+1)-f(n)|<=k|n+1-n|=k.

Pour racine(x), cette fois la non-lipschitzinité est en 0:
Si |rac(x)-rac(0)|<=k|x-0|, on aurait alors (rac(x)/x)<=k, ce qui est faux quand x tend vers 0.

Fred.

Hors ligne

#4 02-07-2007 10:01:01

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : fonction Lipschitzienne

Salut,
juste un détail, I², c'est quel domaine ?
(question de vieux sans doute !)
A+

Hors ligne

#5 02-07-2007 22:02:55

Véronique
Invité

Re : fonction Lipschitzienne

I, c'est sans doute l'ensemble (l'intervalle?) de définition de f...

Fred démontre que x² n'est pas lipschitzienne sur [0,+oo) et que racine(x) ne l'est pas sur [0,1].

En revanche, x² est lipschitzienne sur tout intervalle [0,A] par exemple!

Véro.

Question subsidiaire : Il y a tout de même une petite différence entre x² et racine(x).
En effet, x² n'est pas uniformément continue sur [0,+oo[, quand racine(x) l'est sur [0,1]

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