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#1 01-07-2007 13:59:45
- Wil
- Invité
fonction Lipschitzienne
bonjour,
j'ai un problème avec la définition des fonction lipschitzienne.
Une fonction n'est pas lipschitzienne si pour tout k>0 il existe (x,y) appartennant à I² tel que abs(f(x)-f(y))>k*abs(x-y)
abs étant la valeur absolue.
Mais rien qu'avec cette définition je n'arrive pas a montrer que f(x)=x² n'est pas lipschitzienne et f(x)=racine(x) ne l'est pas non plus!!
Pouvez vous m'aider?
Wil
#2 01-07-2007 14:12:54
- cléopatre
- Membre active
- Inscription : 24-10-2006
- Messages : 359
Re : fonction Lipschitzienne
Message retirer après ola réponse de Fred qui est clair et simpathique !
Dernière modification par cléopatre (02-07-2007 07:48:42)
<-- cleopatre -- 19 ans -- débutante mais amoureuse des maths -->
Hommage à Yoshi : "la Roche Tarpéienne est près du Capitole"
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#3 02-07-2007 07:30:39
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : fonction Lipschitzienne
f(x)=x² n'est pas lipschitzienne car si tu fais :
f(n+1)-f(n), tu obtiens 2n+1, qui tend vers +infini, alors que si elle l'était, on aurait
|f(n+1)-f(n)|<=k|n+1-n|=k.
Pour racine(x), cette fois la non-lipschitzinité est en 0:
Si |rac(x)-rac(0)|<=k|x-0|, on aurait alors (rac(x)/x)<=k, ce qui est faux quand x tend vers 0.
Fred.
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#4 02-07-2007 10:01:01
- john
- Membre actif
- Inscription : 10-02-2007
- Messages : 543
Re : fonction Lipschitzienne
Salut,
juste un détail, I², c'est quel domaine ?
(question de vieux sans doute !)
A+
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#5 02-07-2007 22:02:55
- Véronique
- Invité
Re : fonction Lipschitzienne
I, c'est sans doute l'ensemble (l'intervalle?) de définition de f...
Fred démontre que x² n'est pas lipschitzienne sur [0,+oo) et que racine(x) ne l'est pas sur [0,1].
En revanche, x² est lipschitzienne sur tout intervalle [0,A] par exemple!
Véro.
Question subsidiaire : Il y a tout de même une petite différence entre x² et racine(x).
En effet, x² n'est pas uniformément continue sur [0,+oo[, quand racine(x) l'est sur [0,1]
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