Exo suite monotonie à partir d'un certain rang

72Messo10 · 27-12-2019 13:15:28

Salut j'ai un exo qui consiste à étudier la monotonie de la suite Un égal n^3/(n+1)^2 à partir d'un certain rang. J'ai déjà essayé de calculer un+1 sur un mais j'arrive dans une impasse. Merci de bien vouloir m'aider s'il vous plaît

72Messo10 · 27-12-2019 13:35:28

Oups je me suis trompé c'est 2^n/n^3. Désolé

Fred · 27-12-2019 14:00:56

Bonjour

C'est effectivement une bonne idée de calculer ce quotient. Que trouves tu? Comment se comporte t il quand n tend vers l infini.

F

72Messo10 · 27-12-2019 14:37:36

Merci de ta réponse je trouve 2n^3/(n+1)^3 et à partir de la je sais pas quoi faire j'ai essayé de dériver sa marche pas et a la calculatrice c'est sensé être monotone à partir de n egal10

Zebulor · 27-12-2019 15:01:41

Bonjour,
Donc si j’ai bien compris il s’agit de la suite :

$$u_n=\frac {2^n}{n^3}$$

Pour laquelle tu trouves :
$$\frac {u_{n+1}}{u_n}=\frac {2n^3}{(n+1)^3}=2\left(\frac {n}{n+1}\right)^3$$.

Et la suite $(u_n)$ serait monotone a partir de $n=10$ seulement ... Tu es sur de ton résultat avec ta calculatrice ?

Dernière modification par Zebulor (27-12-2019 16:28:13)

72Messo10 · 27-12-2019 16:05:09

Oui mais pk n égal 10 comment je peut le démontrer merci de ta réponse

72Messo10 · 27-12-2019 16:08:16

Nn à vrai dire jsp exactement si c'est n égal 10 mais il semble que cela soit sa

Zebulor · 27-12-2019 16:23:11

Re,
Les termes de la suite sont positifs, donc de signe constant.
La remarque de Fred te permet alors de savoir si elle est croissante ou non pour $n$ assez grand.
La suite est monotone à partir d un certain rang $p$ lorsque le quotient $\frac {u_{p+1}}{u_p}$ dépasse une certaine valeur. Tu vois laquelle ?

Dernière modification par Zebulor (27-12-2019 16:31:27)

72Messo10 · 27-12-2019 16:41:43

C'edt lorsqu'il depasse 1 nn ? Ducoup faut résoudre 2(n/(n+1))^3>1

Zebulor · 27-12-2019 16:44:13

C est ça

72Messo10 · 27-12-2019 16:47:47

Merci mais comment je peux enlever le cube ?

72Messo10 · 27-12-2019 16:48:59

Pck sa revient à n^3 >1/2(n+1)^3

Zebulor · 27-12-2019 16:55:29

Plusieurs méthodes possibles. La plus simple voire la plus rapide ici me semble la méthode par tâtonnement en testant avec n=1;2;3...
Et en exploitant la monotonie de la fonction $n \mapsto \frac {u_{n+1}}{u_n}$ sur $\mathbb N$ tu peux conclure.

Dernière modification par Zebulor (27-12-2019 17:06:13)

72Messo10 · 27-12-2019 16:57:55

Bah mon prof nous interdit cette méthode justement

Zebulor · 27-12-2019 17:12:23

Alors on va la contourner

Zebulor · 27-12-2019 17:14:30

72Messo10 a écrit :

C'edt lorsqu'il depasse 1 nn ? Ducoup faut résoudre 2(n/(n+1))^3>1

Divise par 2 membre à membre et prends la racine cubique de chacun des membres en utilisant la propriété de la fonction racine cubique : croissante sur $\mathbb R^{+}$

Dernière modification par Zebulor (27-12-2019 17:36:12)

72Messo10 · 27-12-2019 17:20:09

Donc vu qu'elle est croissante sur 'je peux la mettre et ainsi obtenir n>1/2n+1/2?

Zebulor · 27-12-2019 17:25:23

Non j ai précisé mon dernier post. Relis le

Dernière modification par Zebulor (27-12-2019 17:44:24)

72Messo10 · 27-12-2019 17:31:45

Désolé mais sa veut dire quoi divisé par 2 menbre a menbre

Dernière modification par 72Messo10 (27-12-2019 17:32:09)

Zebulor · 27-12-2019 17:35:46

72Messo10 a écrit :

C'edt lorsqu'il depasse 1 nn ? Ducoup faut résoudre 2(n/(n+1))^3>1

Diviser par 2 membre à membre : $\frac {1}{2}$ * 2(n/(n+1))^3>$\frac {1}{2}$*1
Après simplification prends la racine cubique de chaque membre. Regroupe les termes adéquats de chaque côté.. factorise..divise ..de sorte à aboutir à une inégalité stricte sur $n$.
Sers toi de la propriété que n est entier. Tu obtiens alors cette valeur $p$ du post #8

Dernière modification par Zebulor (27-12-2019 17:45:54)

72Messo10 · 27-12-2019 18:01:44

Ducoup j'obtiens (n/n+1)^3>1/2 et donc sa fait n/n+1 > racine cubique de 1/2 c'est sa ?

Zebulor · 27-12-2019 18:05:29

oui. Multiplie maintenant de chaque côté par n+1.. regroupe les termes en n a gauche. et je te laisse finir bonne soirée

Dernière modification par Zebulor (27-12-2019 18:09:00)

72Messo10 · 27-12-2019 18:22:14

Merci bcp bonne soirée à toi

72Messo10 · 27-12-2019 18:42:07

Désolé mais quand je multiplie par n+1 j'obtiens racine cubique de 1/2n et quand je regroupe tous les n j'obtiens que n-racine cubique de 1/2n> racine cubique de 1/2 mais mtn je fais comment pck racine cubique de 1/2n'est pas un entier ducoup je peux pas faire n-raxine cubique de 1/2n

Zebulor · 27-12-2019 18:51:10

72Messo10 a écrit :

Ducoup j'obtiens (n/n+1)^3>1/2 et donc sa fait n/n+1 > racine cubique de 1/2 c'est sa ?

re,
d ou n > (n+1)*racine cubique de 1/2. Je note par a=racine cubique de 1/2 et il vient n(1-a)>a soit n>a/(1-a) dont tu peux avoir un calcul approché avec ta calculatrice.

72Messo10 a écrit :

Désolé mais quand je multiplie par n+1 j'obtiens racine cubique de 1/2n et quand je regroupe tous les n j'obtiens que n-racine cubique de 1/2n> racine cubique de 1/2 mais mtn je fais comment pck racine cubique de 1/2n'est pas un entier ducoup je peux pas faire n-raxine cubique de 1/2n

Revois tes calculs...

Dernière modification par Zebulor (27-12-2019 19:49:53)

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#1 27-12-2019 13:15:28

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#2 27-12-2019 13:35:28

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#3 27-12-2019 14:00:56

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#4 27-12-2019 14:37:36

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#7 27-12-2019 16:08:16

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#9 27-12-2019 16:41:43

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#10 27-12-2019 16:44:13

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