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#1 07-12-2019 17:29:52

yannD
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Terme général en fonction de n

Bonsoir, j'ai une partie d'un Dm que je n'arrive pas à faire tout seul, pouvez vous m'aidez à chercher, s'il vous plait ?


• Soit $u_n$ définie pour tout entier naturel n par $u_n=3n-2$.
montrons que $u_n$ est arithmétique, c'est à dire que la différence entre deux termes consécutifs est indépendante de $n$.

• Terme général en fonction de n
        Soit $u_n$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$.

Pour tout  entier naturel n, $u_n = u_0+n.r$
Pour tout entier naturel n non nul , $u_n=u_1+(n-1)r$
Pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel $p$, $u_n=u_p +(n-p).r$

1. Montrer que la propriété $<< u_n = u_0+n.r >>$ est vraie pour n=1, n=2, n=3
2. Montrer qu'elle est encore vraie pour n+1
3. En conclure que la propriété  est vraie pour tout entier naturel n

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#2 07-12-2019 17:41:43

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

tout ce que j'ai trouvé , c'est une suite -2, 0, 4, 7 en commençant à 0 et à mon sens, la suite n'est pas arithmétique

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#3 07-12-2019 17:47:10

yoshi
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Re : Terme général en fonction de n

Re,

Ce n'est pas ce qu'on te demande de faire...
On ne te demande de trouver une suite précise, ce qu'on te demande est plus simple que ça...

1. Montrer que la propriété $un=u0+n.r$ est vraie pour n=1, n=2, n=3

On te demande de remplacer, dans cette formule, n par 1 et de regarder si ce qui est écrit est vrai et pourquoi...
On te demande de remplacer, dans cette formule, n par 2 et de regarder si ce qui est écrit est vrai et pourquoi...
On te demande de remplacer, dans cette formule, n par 3 et de regarder si ce qui est écrit est vrai et pourquoi...

On va commencer par là...

@+


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#4 07-12-2019 18:30:27

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir Yoshi, merci de m'avoir répondu (si vite !!)
$u_1=u_0 + r$
$u_2=u_0+2r$
$u_3=u_0+3r$

puisque $u_1=u_0+r $,  j'en déduis $u_0=u_1 -r$
$u_2 = u_0+2r = (u_1-r)+2r = u_1 +r$

$u_3 = u_0 +3r = (u_1-r) +3 r = u_1 +2r$

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#5 07-12-2019 19:10:27

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir Yann,
ce que tu as écrit est tout à fait juste...
Il y a une égalité dans l énoncé qui te permet de poursuivre ton raisonnement et répondre à la question..
Au passage tu peux vérifier que les 3 dernières égalités que tu as écrites vérifient bien : pour tout entier naturel n non nul , $u_n=u_1+(n-1)r$

Dernière modification par Zebulor (07-12-2019 19:15:51)


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#6 07-12-2019 19:14:57

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir Zebulor, j'ai remarqué $u_1$ est écrit en fonction de $u_0$ donc $u_0$ peut aussi s'écrire en fonction de $u_1$ par ce que dans la semaine ,j'ai fait un exercice du même type

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#7 07-12-2019 19:18:05

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Tou à fait et compte tenu que :

yannD a écrit :

Pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel $p$, $u_n=u_p +(n-p).r$

tout terme de la suite peut s'exprimer en fonction de n'importe quel autre, y compris de lui même ! Essaie de remplacer $n$ par $p$ dans l'égalité ci dessus et regarde ce qui se passe

Dernière modification par Zebulor (07-12-2019 19:19:36)


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#8 07-12-2019 19:25:40

Zebulor
Membre expert
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Re : Terme général en fonction de n

Mais d'abord.. si tu veux répondre à la question qu'on te pose :

yoshi a écrit :

On te demande de remplacer, dans cette formule, n par 1 et de regarder si ce qui est écrit est vrai et pourquoi...
On te demande de remplacer, dans cette formule, n par 2 et de regarder si ce qui est écrit est vrai et pourquoi...
On te demande de remplacer, dans cette formule, n par 3 et de regarder si ce qui est écrit est vrai et pourquoi...

On va commencer par là...

@+

Et tu as fait une petite erreur de calcul dans ton premier post, ce qui t'a semble t il fait penser que la suite n'est pas arithmétique..

Dernière modification par Zebulor (07-12-2019 19:28:37)


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#9 07-12-2019 19:27:05

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

pour répondre au # 7 si je remplace n par p dans l'égalité $u_n = u_p + (n-p) . r$,  j'obtiens $u_p = u_n +(p - n) . r$

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#10 07-12-2019 19:30:26

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

$u_n = u_0 + n . r$
n=1
$u_1 = u_0+r$
n=2
$u_2=u_0+2r$
n=3
$u_3=u_0+3r$

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#11 07-12-2019 19:30:30

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

oui, mais là tu as remplacé n par p et p par n, si bien qu'en fait les deux égalités que tu as écrites dans ton post #9 sont strictement équivalentes..
Et si tu remplaces n par p sans modifier p ?


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#12 07-12-2019 19:30:48

yoshi
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Re : Terme général en fonction de n

...Re,

Oui, ça se fait...
J'aurais préféré (ce serait plus simple pour la question 2).
$u_1=u_0+r$ (1) Vrai. C'est la définition.

$u_2=u0+2r$
On a $u2=u_1+r$ (2) C'est aussi la définition.
et $u1=u0+r$
Donc en remplaçant $u_1$ par $u_0+r$ dans (2), on arrive à $u_2=(u_0+r)+r=u_0+2r$

$u_3=u0+3r$
On sait que
$u_3=u_2+r$ (3)
et que
$u_2=u_0+2r$
Donc en remplaçant $u_2$ par $u_0+2r$ dans (3), on arrive à $u_3=(u_0+2r)+r=u_0+3r$...

Et puis en relisant ton énoncé, je le trouve particulièrement mal rédigé...
Du coup j'ai un doute...
Ce que tu as recopié est-il fidèle à 100% (y compris en présentation) à l'original ?
Si oui, alors, y aurait-il une suite que tu n'as pas encore donnée ?
Parce que, sur ce que je vois, cela me gêne de ne pas utiliser $u_n=3n-2$

D'autre part, je me suis mépris sur ton affirmation -2, 0, 4, 7 : tu as calculé comme un sabot, et pas été précis...
Tu aurais dû écrire
$u_0=-2$
$u_1= 3\times 1 -2 = 3-2 =1$
$u_2= 3\times 2 - 2 = 4$
$u_3= 3\times 3 - 2 = 7$
Et tu pouvais voir alors que :
$u_1-u_0=1-(-2)=3$
$u_2-u_1=4-1=3$
$u_3-u_2=7-4=3$
et que le 1er terme était -2  et que la raison était probablement 3...
Pourquoi probablement ?
Parce que ce qui a été fait n'est valable qu'avec n=1, 2 et 3...

@+

Dernière modification par yoshi (07-12-2019 19:37:39)


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#13 07-12-2019 19:33:46

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir Yoshi,
en effet je trouve aussi que cet énoncé est déstabilisant.. je te laisse la main !

@+

Dernière modification par Zebulor (07-12-2019 19:41:22)


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#14 07-12-2019 19:35:35

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

ce sont 2 exercices séparés

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#15 07-12-2019 19:36:50

yoshi
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Re : Terme général en fonction de n

Re,

@Zebulor
J'ai d'abord pensé à une initiation au raisonnement par récurrence, mais la formulation de la question 2 me laisse perplexe, d'où mes questions à Yann...

@+


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#16 07-12-2019 19:48:58

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

yannD a écrit :

2. Montrer qu'elle est encore vraie pour n+1

@Yoshi je vois plutôt : "Montrer que si elle est vraie pour n alors elle l'est encore  pour n+1" classiquement...

Mais je ne vais pas interrompre les débats..

Dernière modification par Zebulor (07-12-2019 19:50:16)


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#17 07-12-2019 19:59:01

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Oui, c'est une initiation au raisonnement par récurrence, c'est ce que l'on doit trouver

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#18 07-12-2019 20:00:37

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Zebulor a raison il faut démontrer que si elle est vraie pour n+1, elle l'est pour n, c'est moi qui est fait une erreur et pour cette question, je vois pas comment démontrer

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#19 07-12-2019 21:32:40

yoshi
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Re : Terme général en fonction de n

Bonsoir,


C'est bien pourquoi je me posais des questions sur la ... question 2.^_^ Il me semblait bien que formulée comme ça, il luyi en manquait un morceau.
Mais à mon humble avis, c'est le contraire de ce que tu dis  :
il faut montrer que si elle vraie pour n, alors l'est pour n+1, c'est d'une simplicité "enfantine"...
1. Avec n+1 au lieu de n, comment récris-tu $u_n=u_0+nr$ formule supposée exacte ? Comme ça tu sais ce que tu dois trouver...
2. Tu pars de la définition d'une suite arithmétique de raison r  : $u_{n+1}=u_n+r$ et tu fais ce que je t'ai montré que je préférais pou n=1, 2 et 3, sachant que $u_n=u_0+nr$ (supposé exact)
3. Tu compares ce que tu viens de trouver avec ce que tu as écrit au 1).
    Tu dois avoir trouvé la même formule...

Question 3
Comme en supposant (je préférerais : "en admettant", mais on utilise le verbe supposer) que si c'est vrai pour n, alors c'est vrai pour n+1, comme c'est vrai pour n+1, alors ça l'est pour...

Je reprends demain...

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#20 08-12-2019 10:49:55

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Bonjour Yoshi, d'après le 1. où il faut remplacer n avec n+1, je ne comprends pas pourquoi $u_n=u_0+n.r$ est supposée vraie , puisque on l'a démontré
en effet :
(1)$u_1=u_0+r$
(2)$u_2=u_0+2\times r$
(3)$u_3=u_0+3\times r$

(1) $u_1=u_0+r$ est vraie puisque c'est la définition de la suite

est-ce que $u_2$ est vrai ?
puisque $u_1=u_0+r$ alors $u_0=u_1-r$
donc $u_2=(u_1 -r) +2r = u_1+r = u_0+r$
alors (2) est vraie

est-ce que $u_3$ est vrai ?
$u_3=u_2+r$ puisque $u_0=u_2-r$
avec $u_2=u_0+2r$ je montre que $u_3=u_0+3r$ donc je montre que (3) est vrai.
Mais pourquoi faut-il dire qu'on suppose que c'est vrai pour n, puisque tout est démontré

Dernière modification par yannD (08-12-2019 11:08:47)

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#21 08-12-2019 15:03:19

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

Bonjour Yann,
C'est le principe du raisonnement par récurrence.  Il s'agit de montrer que la propriété $(P_n)$ : $u_n=u_0+n.r$ se vérifie pour n'importe quel $n$ entier...

Au point où tu en es tu as démontré que $(P_n)$ : $u_n=u_0+n.r$ est vraie pour certaines valeurs de n... mais qu'en est il pour n=4,5 ...10... 1452...15689877...?

Pour n=2 , j'ai des doutes parce que tu écris :

yannD a écrit :

donc $u_2=(u_1 -r) +2r = u_1+r = u_0+r$
alors (2) est vraie

Tu en es sur ?

Quand tu écris que "tout" est démontré, qu'y a t'il dans ce "tout" ?

Dernière modification par Zebulor (08-12-2019 16:01:37)


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#22 08-12-2019 16:07:47

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

Bonjour, on a démontré que si n=1, on retrouve bien $u_1=u_0+r$
puis on a démontré que si n = 2 , on retrouve $u_2=u_0+2r$
donc pourquoi doit-on supposer que c'est vrai pour un entier naturel fixé, pour démontrer que la formule est encore vraie pour n+1,
mais je ne sais pas si tu comprends ce que je veux dire, je précise que ce n'est pas un devoir que je dois rendre demain, donc j'ai le temps de bien voir le truc.

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#23 08-12-2019 16:12:37

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

pour n = 2
$u_2=u_0+2r$
et je dois montrer que c'est vrai,
$u_2 = (u_1-r)+2r = u_1+r$
puisque $u_1=u_0+r$ alors $u_2 =$$(u_0+r)$$+r = u_0+2r$

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#24 08-12-2019 16:17:50

Zebulor
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Re : Terme général en fonction de n

par substitution en rouge tout à fait, tu peux même te passer de l'intermédiaire $u_0=u_1-r$ ..puisque par définition d'une suite arithmétique tu as systématiquement $u_2=u_1+r$ : chaque terme de la suite égale le terme précédent plus un nombre fixe qu'on appelle la raison $r$

Et pour répondre à ta question : parce que si $P(n)$ est vraie pour n'importe quel entier fixé qu'on appelle $n$, alors après avoir résolu la question 2) du post de Yoshi, la nouvelle hypothèse devient   :$P(n+1)$ vraie.
Alors $u_{n+1}=u_0+(n+1)*r$.. Et tu appliques de nouveau la propriété, et il vient $P(n+2)$ vraie..ainsi de suite, c'est ce qu'on appelle la récurrence.

Si bien qu'à partir d'un nombre $n$ fixé l'égalité $u_{n}=u_0+n*r$ se vérifie ...

Mais pour montrer que la propriété est vraie pour n'importe quel $n$ encore faut il vérifier qu'elle est vraie pour le premier terme à savoir $u_0$ ..

On aura alors : $P(n)$ est vraie pour n=0. Mais alors elle est aussi vraie pour n=1 ..puis pour n=2 ..et jusqu'à l'infini.

Dernière modification par Zebulor (09-12-2019 10:58:17)


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#25 08-12-2019 16:49:55

yannD
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Re : Terme général en fonction de n

oui, mais je préfère montrer que je me sers de la première égalité que j'ai trouvé : $u_1=u_0+r <=> u_0=u_1- r $

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