Suite arithmétique

yannD · 27-10-2019 19:43:57

Bonsoir Zebulor, à ta demande je vais répondre aux exercices que tu me proposes, comme je vais mélanger les réponses avec le 1er sujet sur les suites Arithmétique, j'ai créer un autre sujet sur les suites arithmétiques en faisant un copier-coller du post #42.

Si [tex]S_n=a_0+a_1+a_2[/tex] tu peux voir qu'il y a 3 termes.
Combien il y a de termes pour [tex]S_n=a_0+a_1+a_2+...+a_n[/tex] ?
Combien de termes pour [tex]S_n=a_1+a_2+...+a_n[/tex]? Quel est le p_ième terme de cette somme..où p est un entier [tex]p \ge 1[/tex]

quand on écrit :
$ S_n = a_0\,\,+a_1\,\,\,+\,a_2\,\,\,\,\,+......+a_{n-2} + a_{n-1}+a_n$, çà veut dire que l'indice de chaque terme augmente de 1, et ce jusqu'au dernier terme de la somme $a_n$. D'où les 2 termes qui précèdent $a_n$ que sont $a_{n-2}$ et $a_{n-1}$
Mais on pourrait très bien écrire : $ S_n = a_0\,\,+a_1\,\,\,+\,a_2\,\,\,\,\,+.....+ a_{n-1}+a_n$. C'est la même somme. Tu peux t'entrainer à chercher comment on écrit $S_0$, $S_1$, $ S_2$, $ S_5$..

1. Combien il y a de termes pour [tex]S_n=a_0+a_1+a_2+...+a_n[/tex] ?
réponse : il y a $n$ termes

2. Combien de termes pour [tex]S_n=a_1+a_2+...+a_n[/tex]?
même réponse : il y a $n$ termes

3. Quel est le p_ième terme de cette somme..où p est un entier [tex]p \ge 1[/tex]
je ne comprends pas

4. : $ S_n = a_0\,\,+a_1\,\,\,+\,a_2\,\,\,\,\,+.....+ a_{n-1}+a_n$.

si je veux calculer $S_0$

c'est que dans : $S_n = a_0\,\,+a_1\,+a_2 + ..... +a_{n-1}+a_n$

n vaut 0

mais dans ce cas , si je remplace dans $a_{n-1}$ cela va me donner$ a_{0-1} = a_-1$

et en remplaçant $n$ par $0$ dans $a_{n}$ cela me donne $a_0$

et dans ce cas je me retrouve avec deux $a_0$

Zebulor · 27-10-2019 20:01:40

Bonsoir Yann,
d'abord merci d'avoir répondu à ma proposition ! un dimanche en plus..

Dans $S_n=a_0+a_1+a_2$, il y a effectivement 3 termes. Mais j'aurais du écrire [tex]S_2=a_0+a_1+a_2[/tex] et tu vois que le chiffre 2 de $S_2$ est l'indice du dernier terme $a_2$ de la somme $S_2$

Q1 et Q2 ..une réponse est bonne , l'autre fausse..il faut bien regarder l'indice du premier terme de chaque somme en particulier.. tu peux voir qu'il y a un rapport entre le nombre de terme d'une somme, l'indice de $S_n$ et l'indice du premier terme qui peut être $a_0$ ou $a_1$. Par exemple $S_2=a_1+a_2$ et il n'y a que 2 termes parce qu'elle commence par $a_1$

Q3 :pas très grave.
Q4 :$S_n = a_0\,\,+a_1\,+a_2 + ..... +a_{n-1}+a_n$
Ta logique peut se défendre, mais en fait : dans l'expression de $S_n$ le dernier terme est $a_n$
Dans cette manière de penser et d'écrire les choses, comme $n$ vaut 0 le dernier terme de $S_0$ est $a_o$, qui se trouve aussi être le premier terme de $S_0$.
$a_0$ est donc le seul et unique terme de la Somme $S_0$. D'Où $S_0=a_0$

Quand on écrit $S_n = a_0\,\,+a_1\,+a_2 + ..... +a_{n-1}+a_n$, nécessairement ce terme $a_{n-1}$ a un indice $n-1$ supérieur ou égal à 0 puisque le premier terme de $S_n$ est $a_0$. En fait on écrit $..... +a_{n-1}+a_n$ pour montrer que les indices des termes qui précèdent $a_n$ (le dernier terme) ont des indices qui décroissent de 1 : n-1, n-2,...

Dernière modification par Zebulor (27-10-2019 20:22:39)

yoshi · 27-10-2019 20:26:07

Re,

Q1 et Q2 ..une réponse est bonne , l'autre fausse..il faut bien regarder l'indice du premier terme de chaque somme en particulier...

Yann,
écris donc les chiffres de 0 à 9, compte-les,
écris les chiffres de 1 à 9, compte-les,
trouves-tu le même résultat ?
Maintenant, si tu comptes les nombres de 0 à 50, puis de 1 à 50, vas-tu faire le même constat ? Pourquoi ?
Maintenant, relis les questions Q1 et Q2 et regarde bien quel est l'indice du 1er terme dans les deux cas...
Quelle est ta mauvaise réponse ?

@+

yannD · 27-10-2019 21:25:18

Bonsoir Yoshi,
la mauvaise réponse est celle de la question 2

question 1 : $ S_n = a_0 + a_1+a_2 + ……+ a_{n-1}+a_n$
il y a n termes
si $n = 1$ il y a 1 termes c'est $a_0$
si $n = 2$ il y a 2 termes ce sont $a_0$ et $a_1$

question 2 = $S_n = a_1+a_2+a_3+..+a_{n-1}+a_n$
c'est $n-1$ termes

yoshi · 27-10-2019 22:08:10

B'soir,

Réponses (au pluriel) toujours fausses...
Mais ça va venir !
Donc si je compte de 0 à n = 9, il y a n = 9 nombres ?
As-tu écrit les chiffres de 0 à 9 ?
Les as-tu comptés ?

Si je compte les chiffres de 1 à n=9, il y a n-1 = 9-1= 8 chiffres ?
Les as-tu écrit ? Les as-tu comptés ?

Je ne t'ai pas proposé de le faire comme ça, par fantaisie...
Fais-le et tu verras (ça prend 2 min)...
Après, tu comprendras que de 0 à 9, il y a 1 nombre de plus que pour aller de 1 à 9...

Ce souci se rencontre en Python, lorsque tu constitues des listes et que veux accéder à leurs éléments : très souvent, ceux qui débutent ne comprennent pas lorsqu'ils reçoivent ce message d'erreur : index out of range...

A demain.

@+

yoshi · 28-10-2019 11:26:36

Re,

Supposons que tu plantes des piquets (autant que tu veux) auxquels tu vas accrocher un sac, dans lequel on mettra ce que l'on veut...
Ces piquets tu décides de les repérer en leur donnant un un nom que tu veux inscris à la peinture dessus, et au sol tu traces une ligne (que je vais repérer ci-après par un point) entre chaque piquet :
$a_1,\;a_2,\;a_3,\;\cdots,\;a_n$ comme pour numéroter les maisons d'une rue (sauf que dans ce cas d'un côté de la rue on met les nos pairs, de l'autre, les impairs).
Tu vois bien que s'il t'avait pris l'envie mathématique de commencer à baptiser tes piquets en commençant par $a_0$ :
$a_0\;a_1,\;a_2,\;a_3,\;\cdots,\;a_n$, par rapport aux noms précédents, il y en a un en plus, ça tu l'avais remarqué...

Mais je demande si dans le premier cas, ta réponse n-1 ne vient pas de ce que tu as calculé comme ça :
le 1er s'appelle $a_1$ --> 1
le dernier s'appelle $a_n$ -->
Je commence à 1, je finis à n donc pour trouver combien il y a de piquets entre $a_1$ et $a_n$, je soustrais n et 1 : n-1...
C'est bien comme ça que tu as pensé ??

Si c'est bien cela (je ne vois pas d'autre explication), alors n-1 n'est pas le nombre de piquets mais le nombre d'espace entre les piquets.
Regarde :
$\; 1 \quad\; 2 \quad\;\; 3\quad\;\;4\quad\;5\quad\;\,6\quad\;\,7\quad\;8\,\quad\;9\;$ <--- je compte les piquets
$a_1\;.\;a_2\;.\;a_3\;.\;a_4\;.\;a_5\;.\;a_6\;.\;a_7\;.\;a_8\;.\;a_9$ <--- noms des piquets
$\quad\, 1 \quad\; 2\quad\;\, 3\quad\;\,4\quad\;\,5\quad\;\;6\quad\;7\quad\;\;8\;\quad$ <--- je compte les lignes entre les piquets, donc les points.

@+

yannD · 30-10-2019 17:46:10

Bonjour Yoshi, est-ce bien du post #4 dont il s'agit :

question 1 : $ S_n = a_0 + a_1+a_2 + ……+ a_{n-1}+a_n$
il y a n termes
si $n = 1$ il y a 1 termes c'est $a_0$
si $n = 2$ il y a 2 termes ce sont $a_0$ et $a_1$
question 2 = $S_n = a_1+a_2+a_3+..+a_{n-1}+a_n$
c'est $n-1$ termes

Si oui :
Alors, ce n'est pas comme ça que j'ai pensé ...
Mais c'est :

- Pour la question 1 :
$S_n = a_0+a_1+a_2+ ………+ a_{n-1}+a_n$
Combien il y a de temes ?

je réponds : il y a n termes par ce que je ne sais pas combien il y a de termes…
que vaut n ? dans ce cas
je n'en sais rien
donc je réponds, il y a n termes

- Pour la question 2:
$S_n = a_1+a_2+a_3+ . . . + a_{n-1} + a_n$
Combien il y a de termes ?

je réponds bien : il y a $(n-1)$ termes
par ce que j'enlève le premier terme de la suite précédente, dans ma tête, je me dis :
comme je ne commence pas par $a_0$ et bien j'enlève 1 termes donc je fais $(n-1)$ termes

Zebulor · 30-10-2019 18:17:50

Salut Yann,

yannD a écrit :

- Pour la question 1 :
$S_n = a_0+a_1+a_2+ ………+ a_{n-1}+a_n$
Combien il y a de temes ?
je réponds : il y a n termes par ce que je ne sais pas combien il y a de termes…
que vaut n ? dans ce cas
je n'en sais rien
donc je réponds, il y a n termes

C'est bien d'avoir porté attention à ma proposition.
Je crois comprendre que ton "donc" ne répond pas à une logique mathématique mais plutôt à un réflexe psychologique.
Mais Yann : il n'y a pas de honte à ne pas savoir d'ailleurs je ne sais pas encore bien compter en informatique...
Et si tu n'en sais rien on est là pour t'aider..

Dernière modification par Zebulor (30-10-2019 19:30:46)

yoshi · 30-10-2019 19:17:19

Bonjour,

J'avais dit que ça allait venir...
Maintenant, on sait comment tu as pensé...
Oui de 1 à n, il y a en un de moins que de 0 à n...

Cela dit,
comme ton décompte de 0 à n est incorrect, de 1 à n, il sera faux aussi...
Oui, on ne peut savoir au sens où tu l'entends....

donc je réponds, il y a n termes

Si c'est un réflexe, tu es sur la bonne piste...
J'aurais dû préciser : combien y a-t-il de nombres de 0 à n ? réponse attendue en fonction de n, mais tu n'en as pas eu besoin puisque tu réponds en fonction de n...

Je vais traiter 2 cas : on commence par 1 et on commence par 0...
Et je vais prendre comme exemples n= 9, 15, 20 et 33...

Dans mon post #6, j'ai traité le cas où n = 9
tu vois bien que la liste
1 2 3 4 5 6 7 8 9 comprend 9 nombres.
Si tu écris chaque nombre sur 1 doigt différent, tu as bien numéroté 9 doigts, et non 8 !

si n=15
la liste 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 comprend 15 nombres.
Si tu écris chaque nombre sur une page de cahier différente, tu as bien numéroté 15 pages et non 14 !

si n =20
la liste 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 comprend 20 nombres.
Si tu écris chaque nombre sur une ligne différente d'une page de cahier, tu as bien numéroté 20 lignes et non 19 !

Si n =33
la liste
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 comprend 33 nombres.
Si tu écris chaque nombre sur une ligne différente d'une page de cahier, tu as bien numéroté 33 lignes et non 32 !
............................................................................

Dans la liste de 1 à n (nombre qui est enfermé dans une enveloppe cachetée, donc que tu ne connais pas - et nous non plus -) :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ..... n
il y a donc ? nombres.

Passons maintenant au cas ou l'énumération commence à 0 et non plus à 1.
Si n=9, la liste
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 comprend 10 nombres.
Si tu écris chaque nombre sur 1 doigt différent, tu as numéroté 10 (9 +1) doigts et non plus 9...!
A cause du 0 du début...

si n=15
la liste 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 comprend 16 (15+1) nombres.
Si tu écris chaque nombre sur une page de cahier différente, tu as bien numéroté 16 pages cette fois et non 15 (à cause du 0 qui arrive en supplément...)

si n =20
la liste 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 comprend 21 (20+1 nombres.
Si tu écris chaque nombre sur une page de cahier différente, tu as bien numéroté 21 pages et non 20 !

Si n =33
la liste
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 comprend 34 (33+1) nombres cette fois.

............................................................................

Dans la liste de 0 à n (nombre qui est enfermé dans une enveloppe cachetée, donc que tu ne connais pas - et nous non plus -) :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ..... n
il y a donc ? nombres.

@+

yoshi · 01-11-2019 12:17:50

Re,

Yann, t'es fâché avec nous ? Découragé ? C'était trop long ?
Maintenant tu vas retourner en cours, et savoir cela est une nécessité pour comprendre ce qui va être ajouté dans l'étude des Suites
Bon, donc je résume
De 1 à n :
- pour n = 9, 9 nombres
- pour n = 15, 15 nombres
- pour n = 20, 20 nombres
- pour n = 33, 33 nombres
- pour n = 50, 50 nombres
Donc de 1 à n, il y a $n$ nombres...

De 0 à n, puisqu'il y a le zéro en plus, il y a $n+1$ nombres

Donc,
De $a_1$ à $a_n$, il y a $n$ termes et de $a_0$ à $a_n$, il y en a un de plus (le $a_0$), soit $n+1$...

@+

Zebulor · 01-11-2019 13:10:06

Bonjour,
@Yoshi :
dans l'écriture :
$ S_n = a_0\,\,+a_1\,\,\,+\,a_2\,\,\,\,\,+......+a_{n-2} + a_{n-1}+a_n$

Je comprendre la logique de Yann, qui se dit : si $n$ vaut 0 alors en remplaçant dans $S_n$ ci dessus il vient :
$ S_0 = a_0\,\,+a_1\,\,\,+\,a_2\,\,\,\,\,+......+a_{-2} + a_{-1}+a_0$.. et qui conclut fort logiquement qu'il y a deux $a_0$ et des termes d'indices négatifs..

L'écriture avec des $\Sigma$ est plus "propre", mais pas sur qu'elle lui faciliterait la lecture de cette somme...et elle est hors programme.

Implicitement l'écriture : $ S_n = a_0\,\,+a_1\,\,\,+\,a_2\,\,\,\,\,+......+a_{n-2} + a_{n-1}+a_n$ laisse penser qu'il y a au moins 6 termes, alors qu'il peut y en avoir qu'un seul : $a_0$

Dernière modification par Zebulor (01-11-2019 19:58:43)

yannD · 02-11-2019 13:02:52

Bonjour Yoshi, non : je ne suis pas fâché avec vous..
c'est simplement un problème de connexion : je suis dans ma famille et il n'y a pas de Wi-fi alors je branche l'ordi sur le portable mais ça ne marche pas souvent,

Dernière modification par yannD (02-11-2019 13:06:38)

yannD · 30-11-2019 15:11:23

Bonjour Yoshi, j'ai attendu 1 semaine pour répondre, mais j'ai beau chercher et je ne trouve pas ta 3e méthode.
J'ai compris la formule du cours.
J'ai à peu près compris la 2e méthode, mais , pour la 3e méthode, je donne ma langue au chat..
Donc, on a la somme des aires des trapèzes : $S_n = \frac 5 4 + \frac 7 4 + \frac 9 4 + \frac {11} {4} +\cdots + \frac {2n+5}{4}$

yoshi · 30-11-2019 16:14:46

Re,

Bah, elle est plus simple que la 2e...
D'abord pour ne plus m'embêter avec les dénominateurs
1. Je n'en écris qu'un seul :
$S_n = \frac 5 4 + \frac 7 4 + \frac 9 4 + \frac {11} {4} +\cdots + \frac {2n+5}{4}=\dfrac{5+7+9+11+\cdots+2n+5}{4}$

2. J'utilise le fait que $\dfrac a b=a\times \dfrac 1 b=\dfrac 1 b \times a$ :
$S_n=\dfrac{5+7+9+11+\cdots+2n+5}{4}=\dfrac 1 4(5+7+9+11+\cdots+2n+5)$

3. Je n'ai plus ensuite qu'à travailler sur la parenthèse :
Je lui ajoute les nombres impairs 1 et 3 puis pour maintenir l'égalité je soustrais 4 à la fin :
$5+7+9+11+\cdots+2n+5 =(1 + 3+5+7+9+11+\cdots+2n+5)\,-\,4$

Je vais m'intéresser à la somme (de la parenthèse ci-dessus) des nombres impairs de 1 à 2n+5
$S=1+3+5+7+9+11+\cdots+2n+5$
1. On a vu que 2n+1 en le n+1 -ième nombre impair : de 1 à 2n+1, il y a n+1 nombres impairs.
2. Son suivant est 2n+3 : de 1 à 2n+3, il y a donc n+2 nombres impairs.
3. Le suivant de ce suivant est 2n+5 : de 1 à 2n+5, il y a donc n+3 nombres impairs.

Par conséquent, $S= 1 + 3+5+7+9+11+\cdots+2n+5$ est la somme des n+3 premiers nombres impairs donc $S = (n+3)^2$

Maintenant je peux revenir à $S_n=\dfrac 1 4[(1+3+5+7+9+11+\cdots+2n+5)-4]=\dfrac 1 4\left[(n+3)^2-4\right]$
Et la quantité entre crochets est une différence de 2 carrés (classe de de 3e), d'où :
$S_n=\dfrac 1 4\left[(n+3)^2-4\right]=\dfrac 1 4(n+3-2)(n+3+2)=\dfrac 1 4(n+1)(n+5)=\dfrac{(n+1)(n+5)}{4}$

Ce ne doit pas être pourtant pas être aussi difficile que ça, puisque (comme la méthode 2), j'ai pu faire ces calculs à l'aveugle (comme on dit aux échecs), dans mon lit, la tête sur l'oreiller...

@+

yannD · 30-11-2019 16:39:09

si je compare avec la 1ere méthode, tu avais mis 1/4 en facteur,
$S_n = \frac 5 4 + \frac 7 4 + \frac 9 4 + \frac {11}{4} +\cdots + \frac {2n+5}{4} = \frac 1 4 [5+7+ 9 + 11+\cdots + 2n+5]$
ensuite,
$S_n = \frac 1 4 [5+7+9+11+\cdots+2n+5] = \frac 1 4[$$1+3 + $$5+7+9+11+\cdots +2n+5$$ - 4$$]$
jusque là ça va..
mais au deuxième petit 2, je ne comprends pas la phrase : on a vu que 2n+1 est le n+1 ième

Zebulor · 30-11-2019 17:22:12

Bonjour Yann,
Oui : 2n+1 est le n plus unième nombre impair de S :
Exemple : supposons S=1+3+5+7+9
Alors 7 est le 4 ème terme impair or 7=2*3+1 d’où n=3. donc c’est le « 3 plus unième terme » impair parce que : 4=3+1
Essaie de voir ce qui se passe pour les autres nombres de S et tu verras que d’une maniere générale dans S le nombre 2n+1 est bien le n+1 éme terme de S telle que définie plus haut

Tite question subsidiaire : que vaut le nième terme de la suite arithmétique de premier terme 1 de raison 1?

@Yann : C est juste des histoires de comptage et tu as su faire des choses bien plus élaborées...

Allez je laisse place au sieur Yoshi que je salue .

Dernière modification par Zebulor (30-11-2019 18:37:52)

yoshi · 30-11-2019 18:49:02

BRe,

Bon, alors on revient en arrière...
1 est le 1er nombre impair
1 et 3 sont les deux premiers
1, 3 et 5 sont les trois premiers
1, 3, 5 et 7 sont les quatre premiers
D'accord jusque là ?

Tout nombre pair peut s'écrire $2k$ avec $k \in \mathbb N$
Un nombre pair est un nombre pair +1
Donc tout nombre impair peut s'écrire $2k+1$ avec $k \in \mathbb N$.
k 2k 2k+1
0 0 1
1 2 3
2 4 5
3 6 7
4 8 9
5 10 11

J'ai choisi, pour k, les 6 premiers nombres entiers (de 0 à 5, il y en a 5+1 = 6)
Je vois donc que correspondent à ces 6 premiers nombres entiers :
* 6 (=5+1) nombres pairs,
* 6 (=5+1) nombres impairs.
Ok toujours ?

Bon... et si au lieu de m'arrêter à 5, je décide de m'arrêter à un nombre n, j'ai bien n+1 nombres...
Oui / Non ?

Donc, je vais écrire :
k 2k 2k+1
0 0 1
1 2 3
2 4 5
3 6 7
4 8 9
5 10 11
. . .
. . .
. . .
n 2n 2n+1

Donc aux n+1 (de 0 à n, il y a n+1 nombres entiers) premiers nombres entiers correspondent
* n+1 nombres pairs de 0 à 2n
* n+1 nombres impairs n+1 nombres impairs de 1 à 2n+1...
Oui/Non ?

Quant à la somme S des nombres impairs de 1 à 2n+1 , c'est à dire :
$S=1+3+5+\cdots+2n-3+2n-1+2n+1$ (rappel : les nombres impairs se suivent par pas de 2)...
Je vais l'écrire 2 fois, l'une en dessous de l'autre, une dans l'ordre croissant, l'autre dans l'ordre décroissant, et j'écris la somme de chaque colonne :
$\;\;S=\quad\;\, 1\;\;\;\;\;+\;\quad\;\,3\;\;\;\;\;\;\;+\;\;\;\quad\;\,5\;\;\;+\;\cdots\;+\;\;2n-3\;\;+\;\;2n-1\;\;+\;\;2n+1$
$\underline{\;\;S=2n+1\;\;+\;\;\,2n-1\;\;+\;\;2n-3\;+\;\cdots\;+\;\;\quad\;\,5\;\;\;\;\;+\;\;\quad\;\,3\;\;\;\;\;+\;\;\quad\;\,1\;\;\;}$
$ 2S = (2n+2)+(2n+2)\;\,+(2n+2)+\;\cdots\;+(2n+2)\;+\;(2n+2)+\;(2n+2)$
La somme de chaque colonne vaut (2n+2) et il y a (n+1) colonnes donc :
$2S=(2n+2)(n+1)$
D'où
$S= \dfrac{(2n+2)(n+1)}{2}=(n+1)(n+1)=(n+1)^2$
La somme des n+1 premiers nombres impairs vaut donc bien $S=(n+1)^2$

Cela dit, Yann, j'avais déjà passé un temps fou pour que tu puisses trouver cela.
Tu as donc tout oublié ?

Je vais retrouver le lien...

@+

yannD · 01-12-2019 20:51:46

Bonsoir Yoshi, j'ai compris avec les 2 tableaux que tu as fait, ça a aidé mes parents (qui n'y comprenaient rien ) on te dit merci;;;$^$
J'ai vu qu'il y a une question au # 16 : que vaut le nième terme de la suite arithmétique de premier terme 1 de raison 1?
si je calcule les premiers termes de la suite de premier terme 1 et de raison 1
je trouve : 1 2 3 4 5 ...
c'est la suite qui fait correspondre 1 au terme 0 de la suite , 2 au terme 1 de la suite , n+1 au terme n de la suite
le nième terme de la suite arithmétique de premier terme 1 de raison 1 est le n + 1 nième terme

Dernière modification par yannD (01-12-2019 20:53:49)

Zebulor · 01-12-2019 22:27:30

Bonsoir Yann,
merci d'avoir répondu à mon petit exercice...c'est en effet cette suite 1 2 3 4..
Ton raisonnement est correct mais ta conclusion est contradictoire parce que tu dis que le nième terme est aussi le n+1eme terme...Je crois que tu confonds pour chaque terme de la suite :
• sa position dans la suite
• son appellation $u_0$, $u_1$, etc ...
• son indice
• sa valeur
Et ma question portait sur la relation entre la position et la valeur...

yannD a écrit :

c'est la suite qui fait correspondre 1 au terme 0 de la suite , 2 au terme 1 de la suite , n+1 au terme n de la suite

L idée est bonne, tu as sous entendu que cette suite commence par $u_0$ et elle aurait tout aussi bien pu commencer par $u_1$.
Tu voulais écrire que c est la suite qui fait correspondre 1 au terme d indice 0 de la suite et ce terme s’appelle $u_0$ ...tu es proche du but : il te reste à faire le lien entre l indice et la position de chaque terme.
Sans passer par les indices : le premier terme vaut 1 , le deuxième vaut 2, le nième vaut..?
Ma question était tout simple ..

Cette fois je laisse Yoshi sur sa lancée...

Dernière modification par Zebulor (05-12-2019 21:19:29)

yoshi · 06-12-2019 19:43:56

Bonjour,

si je calcule les premiers termes de la suite de premier terme 1 et de raison 1
je trouve : 1 2 3 4 5 ...
c'est la suite qui fait correspondre 1 au terme 0 de la suite , 2 au terme 1 de la suite , n+1 au terme n de la suite
le nième terme de la suite arithmétique de premier terme 1 de raison 1 est le n + 1 nième terme

Je me décide à répondre...

Il serait plus logique avec cette définition de la suite de démarrer avec $u_1=1$, m'enfin on peut concevoir de démarrer avec $u_0=1$...
Dans ce cas là, le $n_{\text{ieme}}$ terme sera... $u_{n-1}$ mais vaudra n
n° d'ordre : 1 2 3 4 5 ...... n
Indice : 0 1 2 3 4 ...... n-1
nom du terme : $u_0$ $u_1$ $u_2$ $u_3$ $u_4$ ...... $u_{n-1}$
valeur du terme : 1 2 3 4 5 ...... n

Le n° d'ordre, c'est comme quand on compte une série de Romans sur un grand rayon d'une bibliothèque (ou il y a des rayons avec Policiers, Fantastique, Autobiographies...) :
1, 2, 3, 4, 5, 6.... n
Le nom du terme pourrait être alors avec R comme roman indifféremment :
$R_0$ ou $R_1$
Si la ou (le) Bibliothécaire gère son fonds de livres avec un logiciel écrit en Python, il pourra être "naturel" de commencer avec $R_0$, $A_0$, $F_0$, $P_0$ selon le rayon... puisqu'en Python une énumération (liste) commence, par défaut à 0...
Il n'empêche que $R_0$,$A_0$, $F_0$, $P_0$ seront chacun le 1er livre de leurs rayons respectifs...
Si tu fais commencer ta suite à $u_1=1$ tout coïncide...

@+

yannD · 06-12-2019 20:24:57

Bonsoir, alors, si j'ai commencé à partir de $a_0$, c'est tout simplement parce que la suite des nombres d'une suite arithmétique commence à $a_0$, tu as passé beaucoup de temps à m'expliquer que de $a_0$ à $a_n$ , il y'a n+1 termes
donc pour une suite de raison 1 et de premier terme 1 : j'ai fait correspondre le chiffre 1 au premier terme (qui est $a_0$), le chiffre 2 au 2 e terme ( qui est $a_1$) ,etc ...

$U_0$ $U_1$ $U_2$ $U_3$ ..... $U_{n-3}$ $U_{n-2}$ $U_{n-1}$ $U_n$

1 2 3 4 8 9 10 11

Dernière modification par yannD (06-12-2019 20:42:54)

yannD · 06-12-2019 20:48:55

Salut, tu as commencé un message mais je ne le vois plus, je disais que j'ai commencé par $a_0$ parce que tu as passé un temps fou à m'expliquer que la suite commence par $a_0$ donc j'ai commencé de cette façon...

yoshi · 06-12-2019 20:54:20

Bonsoir,

De temps en temps, une combinaison de touches (mes doigts dérapent) fait que, malgré moi, le message est posté incomplet...
Alors je le recopie, je supprime mon post, je colle dans Répondre et je continue là où j'ai été interrompu...

La suite des nombres d'une suite arithmétique commence à $a_0$, tu as passé beaucoup de temps à m'expliquer (..)

1. Je ne perds encore pas la mémoire, je sais...
2. Commence à $a_0$ : ça, ce n'est pas toujours vrai. Tout dépend de la définition de la suite...
Sinon pourquoi la définition de la somme des termes d'une suite arithmétique $(u_n)$ distingue-t-elle 2 cas :
Cas où la suite commence à $u_1$ :
$S_n =\dfrac{u_1+u_n}{2}\times n$
Cas où la suite commence à $u_0$ :
$S_n =\dfrac{u_0+u_n}{2}\times (n+1)$

3. je vais chercher un exemple concret...

@+

Dernière modification par yoshi (06-12-2019 21:32:33)

yannD · 06-12-2019 21:06:27

je n'ai pas vu les 2 cas, seul, le 2e cas avec $S_n =\dfrac{u_0+u_1}{2}\times (n+1)$

yannD · 06-12-2019 21:08:21

enfin, d'après le cours et d'après ce que tu m'as appris, c'est : $S_n =\dfrac{u_0+u_n}{2}\times (n+1)$,

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