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#1 21-10-2019 16:13:31

Nelcar
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équation de degré trois

Bonjour,
voici encore un autre exercice pour préparer mon DS à savoir :
f est la fonction définie sur R par :
f(x)= 15x3 -34x²-47x+42
a) A l'aide de ta calculatrice, conjecturer une solution entière de l'équation ((x)=0
b) calculer | déterminer les valeurs des nombres réels a,b et c tels que, pour tout nombre réel x :
f(x)=(x-3)(ax²+bx+c)
c) résoudre dans R l'équation f(x)=0

Beaucoup de mal pour cet exercice
Voilà ce que j'ai fait :

a) la courbe descend puis remonte
je ne comprends pas ce qu'ils veulent
b) je ne sais pas commet faire. J'ai fait par talonnement et j'ai trouvé (mais j'ai mis un temps fou, je pense qu'il y a surement une facçon de trouver mais comment ?)
(x-3)(15x²+11x-14)
le a je comprend c'est la valeur dans la première fonction pour le c j'ai fait 42/3 et j'ai obtenu 14 mais pour le 11 ?
c) donc
x-3 = 0 donc x=3 et pour 15x²+11x-14 j'ai fait delta et comme il est négatif (-719) donc pas de solution
Merci pour votre aide

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#2 21-10-2019 16:36:53

yoshi
Modo Ferox
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Re : équation de degré trois

Salut,

2 solutions avec ta calculette
Tu tâtonnes avec des valeurs successives de x ... C'est ce que tu as dû faire.
Mais l'énoncé ne dit pas que tu dois calculer.
Alors trace ta courbe et regarde où elle semble couper l'axe des x (d'équation y =0)...

Normalement, tu peux zoomer sur une zone que tu traces à l'écran...
Alors zoome sur une zone allant de x =-2 à x=4 et de largeur 2 : 1 de chaque côté de cet axe des x...
Tu verras que la courbe coupe en 3 endroits (*) l'axe des x doc, qu'il y a 3 solutions dont une qui paraît entière : $x=3$

(*)  Donc, l' affirmation ci-dessous est fausse :

j'ai fait delta et comme il est négatif (-719)

Faute(s) de signe quelque part...

@+


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#3 21-10-2019 16:56:51

Nelcar
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Re : équation de degré trois

ok je vais regarder mais j'ai beaucoup de mal avec ma casion graph 100+
mais il faut que je donne des valeurs vu qu'il me demande de déterminer les valeurs des nombres réels a,b et c donc comment trouver le b (ici le 11)
MERCI

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#4 21-10-2019 16:59:43

Zebulor
Membre
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Re : équation de degré trois

Re Nelcar, je m'incruste momentanément :
b) C'est çà . tu ne te débrouilles pas si mal...
Pour trouver [tex]b[/tex] ? on peut considérer qu'il te suffit d'une équation à une inconnue $b$, puisque tu as as trouvé [tex]a[/tex] et [tex]c[/tex]
Par exemple celle ci : f(1)=-2(1+b)=15-34-47+42=-24 d'où b=11...
En pratique avec cette méthode il vaut mieux prendre l'image d'un petit nombre relatif, de sorte à limiter les gros calculs, parce qu'avec les puisssances de [tex]x[/tex], on atteint vite des grands nombres. Par contre f(0) çà marche pas!!
De mémoire il y a aussi la méthode de Horner  je crois ???
Sinon tu peux carrément faire la division euclidienne de f(x) par (x-3). Comme quand on était petits, bien que je ne sois pas sure qu'elle soit au programme de lycée...mais elle est très efficace et te donne ce polynôme du second degré en quotient.

Dernière modification par Zebulor (21-10-2019 17:25:31)

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#5 21-10-2019 17:36:49

yoshi
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Re : équation de degré trois

Bonsoir,

Ton discriminant est faux, mais ta factorisation est juste.
J'ai dit qu'on ne te demandait pas de calculs... Aurais-je dû ajouter : pour la question a) ???
La voilà :

A l'aide de ta calculatrice, conjecturer une solution entière de l'équation f(x)=0

conjecturer = présumer, supposer, penser que, estimer que...
Je ne vois pas on on t'oblige à faire des calculs...

A partir du b) tu n'as pas le choix tu dois faire des calculs...
Pour le b) moi, jai choisi d'abréger mes souffrances :
$(x-3)(ax^2+bx+c)=15x^3 -34x^2-47x+42$  me donne immédiatement a=15 et c =-14

Je développe donc seulement (x-3)(15x^2+bx-14) et en particulier ce qui va concerner les coefficients de $x^2$ (ou ceux de $x$ au choix) :
$-45x^2$ et $+bx^2$  et mon calcul se résume à :
$-45x^2+bx^2= (-45+b)x^2$ et j'ai à résoudre $-45+b=-34$ qui me donne b =11...

@Zebulor
Méthode de Horner je n'en avais jamais entendu parler. Je suis aller googler et j'ai vu... On apprend à tout âge.
Penses-tu alors que Nelcar ait pu en entendre parler ?
Apparemment ça revient plus ou moins à diviser des polynômes...
Division des Polynômes : moi, j'ai appris en Term, puis c'est passé en Math Sup...
Ce n'est pas non plus au programme de la TS 2019/2020 ni ne sera au programme de Terminale 2020/2021

@+


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#6 21-10-2019 19:08:51

Nelcar
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Re : équation de degré trois

Re,
YOSHI : tu notes :
Je développe donc seulement (x-3)(15x^2+bx-14) et en particulier ce qui va concerner les coefficients de x2 (ou ceux de x au choix) :
−45x2 et +bx2  et mon calcul se résume à :
−45x2+bx2=(−45+b)x2 et j'ai à résoudre −45+b=−34 qui me donne b =11...
j'ai bien trouvé mais j'ai voulu essayer avec x vu que tu dis au choix et là je n'ai pas le même résultat -14x-3b=34 -3b=34+14
-3b= 48  b=-48/3=18 ?
ZEBULOR : tu notes :
Pour trouver b ? on peut considérer qu'il te suffit d'une équation à une inconnue b, puisque tu as as trouvé a et c
Par exemple celle ci : f(1)=-2(1+b)=15-34-47+42=-24 d'où b=11...
En pratique avec cette méthode il vaut mieux prendre l'image d'un petit nombre relatif, de sorte à limiter les gros calculs, parce qu'avec les puisssances de x, on atteint vite des grands nombres. Par contre f(0) çà marche pas!!
De mémoire il y a aussi la méthode de Horner  je crois ???
Sinon tu peux carrément faire la division euclidienne de f(x) par (x-3). Comme quand on était petits, bien que je ne sois pas sure qu'elle soit au programme de lycée...mais elle est très efficace et te donne ce polynôme du second degré en quotient.
je ne comprend pas f(1)=-2(1+b)  pourquoi mets-tu 2 ?
pas vu la méthode de Horner et pas vu non plus la division euclidienne.
Merci

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#7 21-10-2019 19:12:10

Nelcar
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Re : équation de degré trois

[img=GRAPHIQUE]MATHS EX 7 CAP.PNG[/img]

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#8 21-10-2019 19:14:05

Nelcar
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Re : équation de degré trois

v7v9.png

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#9 21-10-2019 19:15:07

Nelcar
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Re : équation de degré trois

sur excel
donc f(x)=0 pour x =0,667 ; x=1,4   et x=3

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#10 21-10-2019 19:40:04

yoshi
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Re : équation de degré trois

Si tu prends x il faut identifier avec -47
-3b-14=-47
3b=47-14
b=33/3 = 11 ;-)


$\Delta =11^2-4\times 15 \times (-14)$
$11^2 = 121$
$4 \times 15 = 60$
$60 \times 14 =840$ (tu vois la table de 6 jusqu'à 100 : 14 *6 = 84)
$\Delta =121+840 = 961$
Là je prends Python :

from math import sqrt
print(sqrt(961))

Réponse : 31

$\Delta = 31^2$


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#11 21-10-2019 20:10:32

Zebulor
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Re : équation de degré trois

Bonsoir vous deux!
@Yoshi : mon prof de 1ere S nous avait expliqué la méthode de Horner.. alors j'ai pensé que peut être Nelcar connaissait... ça revient en effet plus ou moins à diviser des polynômes.
Division euclidienne de polynômes : ils ne l'apprennent pas au lycée.. Alors qu'on apprend bien à faire des divisions dès l'école primaire ! Aberration de mon point de vue.

Nelcar a écrit :

je ne comprend pas f(1)=-2(1+b)  pourquoi mets-tu 2 ?
pas vu la méthode de Horner et pas vu non plus la division euclidienne.
Merci

@Nelcar : parce que [tex]f(x)=(x-3)(15x^2+bx-14)[/tex], d'où :
$f(1)=(1-3)(15+b-14)=-2(1+b)=15-34-47+42=-24$ d'où $b=11$.

C'est un peu plus calculatoire que la méthode proposée par Yoshi parce que les coefficients sont grands.. : deux soustractions et une addition. Mais c'est toujours intéressant de comparer les méthodes. Après tu fais ton marché comme tu veux. Yoshi exploite la propriété que deux polynomes sont égaux si et seulement si leurs coefficients correspondants aux mêmes puissances de $x$ le sont aussi, ...  c'est l'identification.

Horner donne : ..(attention Horner ne fonctionne que dans le cas où on divise par un monome de type (x-$\alpha$))
   15 -34 -47 42   Coefficients du polynome de degré 3
3       45  33 -42  Le 3 est le nombre figurant dans (x-3)
    15  11 -14  0   coefficients du polynome de second degré

On reporte le nombre 15 en bas en 3e ligne.
Ensuite 45=3*15; 11=-34+45=$b$ ! puis 33=3*11 et -14=-47+33=$c$

Algorithme utilisé par les ordinateurs d'après ce que je lis...
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … orner.html

Sinon : $f(x)$=$15x^2(x-3)$+$11$$x^2$-$47x+42$ d'où b=11 ! chut faut pas le faire c'est la division euclidienne de $f(x)$ par $(x-3)$ (clin d'oeil)
Tu me diras : d'où vient le $15x^2$ ? de la division du terme de plus haut degré de [tex]f(x)[/tex] soit $15x^3$ par le terme de plus haut degré de $(x-3)$ soit $x$...Cette division là un élève de CM2 pourrait la faire.. et je pourrais continuer..pour les autres coeffients..

Dernière modification par Zebulor (23-10-2019 18:56:01)

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#12 24-10-2019 07:57:35

Nelcar
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Re : équation de degré trois

Bonjour,
Tout d'abord j'ai compris la méthode Horner (j'ai regardé aussi sur internet) et c'est bon. C'est simple quand on connaît
Zebulor : je ne comprends pas ce que tu veux que je fasse en disant :
u me diras : d'où vient le 15x2 ? de la division du terme de plus haut degré de f(x) soit 15x3 par le terme de plus haut degré de (x−3) soit x...Cette division là un élève de CM2 pourrait la faire.. et je pourrais continuer..pour les autres coeffients..
pour moi le 15 est la valeur de a
15x3 /par x non ?
Merci

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#13 24-10-2019 08:39:35

freddy
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Re : équation de degré trois

Salut,

pour information, la méthode de Horner est celle programmée dans les calculatrices scientifiques et financières HP (15C et 12C) pour résoudre les équations qu'on a programmées. Avec l'usage de la notation polonaise inverse, ça en a fait un instrument de calculs assez puissant et efficace depuis plus de 50 ans, disponible sans connections ! Faut simplement penser à changer les piles de temps en temps :-)


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#14 24-10-2019 09:53:23

Nelcar
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Re : équation de degré trois

Bonjour Freddy,
a l'école on nous a fait acheter la TI -83 prenium
MERCI

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#15 24-10-2019 16:31:39

Zebulor
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Re : équation de degré trois

Bonsoir Nelcar,
Tu as peut être surinterprété certaines de mes explications. Mais l'essentiel est que tu aies compris la méthode par identification (cf post de Yoshi), et celle de Horner. Si tu comprends d'où vient l'égalité $f(1)=-2(1+b)=-24$ et comment on fait une division euclidienne, alors c'est du bonus à ton niveau.
J'explore ce qui est hors programme pour essayer de te donner une vue plus large que ce qu'on vous apprend.
Mon but n'est pas de te dire ce que tu dois faire, mais ma prétentiion se limite à te montrer qu'on peut parfois résoudre un problème par plusieurs méthodes. :-).
A toi ensuite de choisir celle(s) avec la(les)quelle(s) tu te sens le plus à l'aise.

J'en viens au problème qui nous intéresse :
Nous sommes d'accord que [tex]a[/tex] est bien le coefficient de [tex]\frac {15x^3}{x}[/tex] et vaut 15. Sans problème!
Je voulais te montrer qu'à partir de la division euclidienne de [tex]f(x)= 15x^3-34x²-47x+42[/tex] par [tex](x-3)[/tex], on peut trouver [tex]b[/tex].
Dans l'écriture : $f(x)=15x^2(x−3)+11x^2-47x+42$, $f(x)$ est le dividende, $(x-3)$ le diviseur, $15x^2$ le quotient, et $11x^2-47x+42$ le reste dont le coefficient du terme de plus haut degré est [tex]b[/tex], soit 11. Pour trouver [tex]c[/tex], il suffit de continuer à diviser le reste $11x^2-47x+42$ par [tex]x-3[/tex]
Je pense que la division du polynômes ci dessus est accessible à un élève de CM2, et qu'elle devrait donc logiquement être au programme de lycée. Je n'avais aucun sous entendu sur ce point. Mais là c'est un autre sujet...
Tes autres questions ou remarques sont les bienvenues !

@freddy : Je n'avais pas fait le lien entre la méthode de Horner et cette HP42S que j'utilisais. La HP est un peu délicate à manier au départ, mais on s'y fait très vite et je confirme qu'elle est très efficace, ludique pour les calculs compliqués .. un peu chère dommage.

Dernière modification par Zebulor (25-10-2019 07:29:29)

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#16 27-10-2019 09:18:47

Black Jack
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Re : équation de degré trois

Bonjour,

A partir du moment où on a trouvé que 3 était racine, on sait que (15x³ -34x²-47x+42) est divisible par (x-3)

Si on ne sait pas faire une division euclidienne, on peut aussi s'en tirer en faisant apparaître des (x-3) assez facilement.

15x³ -34x²-47x+42
= 15x³ - 45x² + 11x² - 33x - 14x + 42
= 15x²(x-3) + 11x(x-3) - 14(x-3)
= (x-3)(15x² + 11x - 14)

C'est élémentaire.

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#17 27-10-2019 10:03:10

freddy
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Re : équation de degré trois

Zebulor a écrit :

@freddy : Je n'avais pas fait le lien entre la méthode de Horner et cette HP42S que j'utilisais. La HP est un peu délicate à manier au départ, mais on s'y fait très vite et je confirme qu'elle est très efficace, ludique pour les calculs compliqués .. un peu chère dommage.

Salut,

les HP ont toujours étaient très chères, mais 40 plus tard, elles fonctionnent toujours, preuve que les composants sont très solides. Et l’utilisation de la polonaise inverse est très efficace.
Ma fille en avait une, avec calcul formel intégré et écran graphique permettant des résolutions visuelles d'équations, pour ses études, vers la fin du siècle dernier. Modèle admis pour examens et concours.
Elle m'avait coûté un bras. J'ai oublié son numéro, mais elle fonctionne toujours.
Bon, aujourd'hui, je crois que toute les calculatrices "de poche" se valent, elles offrent les mêmes fonctionnalités et on peut s'en servir très longtemps. Et puis, avec les ordinateurs portables et les tablettes numériques, les efforts doivent maintenant se concentrer sur l'algorithmique et les langages de programmation. J'observe que Python tend à devenir un must, tant dans le big data (exploitation de données massives) que dans l'intelligence artificielle. Du coup, j'essaie de m'y mettre, mais je n'ai plus 20 ans :-)


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#18 27-10-2019 10:26:18

Zebulor
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Re : équation de degré trois

Salut,
@Freddy : oui apparemment faut se mettre au serpent.
@Black Jack : çà nous semble élémentaire, mais je ne sais pas si çà l'est tant pour tout élève de 1ere...

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#19 27-10-2019 13:42:17

yoshi
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Re : équation de degré trois

Bonjour,

J'observe que Python tend à devenir un must, tant dans le big data (exploitation de données massives) que dans l'intelligence artificielle. Du coup, j'essaie de m'y mettre, mais je n'ai plus 20 ans :-)

Quand vous voulez, Messieurs, je vous en apprends assez pour vous mettre le pied à l'étrier : faut-il un mini tuto comme pour LateX ?
Contrairement à ce qu'a dit YannD, Python est un langage clair à lire, la programmation de base (opérations, boucles, listes, stockage, calcul d'intérêt, de durée de placement, de capital, trigo - et même calculs avec complexes -) sont vraiment à la portée de tous, a fortiori quand quelqu'un a déjà tâté de la programmation (je pense en particulier à freddy avec le SAS...) : 1 mois devrait suffire pour pouvoir voler de vos propres ailes. Après ? Bin, comme Léonard, qui en sciant devint scie...

@Zebulor : toi qui sait tout, sais-tu si Euclide pouvait avoir eu vent de l'existence de $\ln(3)$ ? ^_^

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#20 27-10-2019 15:09:24

freddy
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Re : équation de degré trois

Yoshi, j'essaie de me mettre à Python (oui, je programme déjà en SAS et en VB), c'est un langage très "pur", j'ai plus de mal avec R, un peu moins intuitif.
Mais bon, je n'ai plus non plus 20 ni 30 ans, c'est moins "easy" pour moi.
Je le prends comme un bon exercice pour entretenir ma plasticité cérébrale :-)


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#21 27-10-2019 15:15:10

korohe
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Re : équation de degré trois

La conjecture: tu traces la fonction sur la tablette. Et tu suis la figure de Nelcar, c'est à dire les points d'intersection entre la courbe et l'axe des abscisses
2) il y' a trois méthodes au moins: division euclidienne 15x3-34x2-47x+42 par (x-3)  ou  par identification avec  15x3-34x2-47x+42 en développant le terme en fonction de a, b et c, la méthode d'horner:
si tu as  ax3+bx2+cx+d  et tu cherches (x-i)(jx2+kx+l)
L'algorithme donne j=a, k=b+ij, l=c+ik

Ainsi tu obtiens (x-3)(15x2+11x-14)

pour la résolution de 15x2+11x-14=0, Delta= 961=(31)2
tu obtiens en fin trois valeurs : (-2/3), (7/5) et (3)

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#22 27-10-2019 15:17:45

Zebulor
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Re : équation de degré trois

@Yoshi : il paraît que je suis un sage ! C'est ce que j'ai lu dans un post récement .
Je n'en sais rien mais je sais qu'un sage sait qu'il ne sait pas tout ! :-)
Quand à Euclide .. Euh je ne connais que l'algorithme auquel il a prêté son nom ... Mon inculture est grande de ce côté là. Et quand je vois le nombre de sujets du forum entraide supérieur sur lesquelles je n'ai aucune compétence..
Tournicotons

Dernière modification par Zebulor (27-10-2019 15:24:40)

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#23 27-10-2019 15:42:08

yoshi
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Re : équation de degré trois

@zebulor...

Si tu veux la réponse...

épèle donc $\ln(3)$


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#24 27-10-2019 15:54:44

Zebulor
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Re : équation de degré trois

@Yoshi : logarithme népérien de 3 ? sourire.. quelle facétie !

Dernière modification par Zebulor (27-10-2019 16:25:45)

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#25 28-10-2019 10:10:59

freddy
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Re : équation de degré trois

yoshi a écrit :

Bonjour,

Quand vous voulez, Messieurs, je vous en apprends assez pour vous mettre le pied à l'étrier : faut-il un mini tuto comme pour LateX ?
Contrairement à ce qu'a dit YannD, Python est un langage clair à lire, la programmation de base (opérations, boucles, listes, stockage, calcul d'intérêt, de durée de placement, de capital, trigo - et même calculs avec complexes -) sont vraiment à la portée de tous, a fortiori quand quelqu'un a déjà tâté de la programmation (je pense en particulier à freddy avec le SAS...) : 1 mois devrait suffire pour pouvoir voler de vos propres ailes. Après ? Bin, comme Léonard, qui en sciant devint scie...

Salut l'ami,

oui, je suis preneur d'un mini tuto pour Python. j'ai déjà téléchargé un gros document en PDF (celui que tu as signalé un jour) , mais rien ne vaut un truc didactique, pour entretenir l'envie !
Merci d'avance (et mets-le en épinglé stp, pour la communauté ! ).
Je suis sur Mac, mais je pense que le code est lisible par tous les systèmes d'exploitation actuels, sans distinction de machine.


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