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#1 21-10-2019 12:52:38

Super Yoshi
Membre
Inscription : 06-10-2019
Messages : 12

Suite de nombre réel

Bonjour,

pouvez vous m'aider sur cette exo svp :

On définit la suite [tex](Un)[/tex] à partir de [tex]Uo[/tex] un réel et la relation

                                                            [tex]Un+1= 3Un-4[/tex],   n ∈ N     (le [tex]n+1[/tex] est en indice je n'arrive pas à le mettre dsl)

1) Si [tex]Uo = 2[/tex] montrer que [tex]Un=2[/tex] pour tout [tex]n∈N[/tex]
2) Si [tex]Uo>2[/tex] montrer que [tex]Un>2[/tex] pour tout [tex]n∈N[/tex]
3) Si [tex]Uo <2[/tex] montrer que [tex]Un<2[/tex] pour tout [tex]n∈N[/tex] et en déduire que [tex](Un)[/tex] est décroissante.
4) Si [tex](Un)[/tex] converge, montrer que [tex]l=2[/tex]

5) En déduire que pour [tex]Uo  ≠ 2[/tex] la suite [tex](Un)[/tex] est divergente. Préciser vers quoi elle tend en fonction de [tex](Uo)[/tex]

je pence qu'il faudra faire une récurrence mais je ne suis pas sûr.
Merci.

Hors ligne

#2 21-10-2019 12:57:28

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 717

Re : Suite de nombre réel

Salut,

faut tout faire ? Pour quand ?

PS : avec les suites, souvent, oui, il faut faire un raisonnement par récurrence, c'est plus prudent ;-)

Indication : c'est une suite arithmético-géométrique.

Dernière modification par freddy (21-10-2019 13:12:57)


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#3 21-10-2019 15:23:45

Super Yoshi
Membre
Inscription : 06-10-2019
Messages : 12

Re : Suite de nombre réel

freddy a écrit :

Salut,
faut tout faire ? Pour quand ?

pour aujourd'hui svp ce serai bien

PS : avec les suites, souvent, oui, il faut faire un raisonnement par récurrence, c'est plus prudent ;-)
Indication : c'est une suite arithmético-géométrique

Voici ma trace de rechercher :

Initialisation :

[tex]Un+1= 3Un-4[/tex]
[tex]Uo+1=3Uo-2[/tex]
[tex]U1=3*2-6[/tex]
[tex]U1=2[/tex]  Problème on veut Uo=2, ce que je remarque c'est que Uo=2 on trouve bien 2 ce qui est vrai

hérédité :

[tex] 3(Un+1)-4[/tex]
[tex]3(3Un-4)-4[/tex]
[tex]9Un-16 [/tex]  est ce que ca répond à la question ?

Pour la question 2) et 3) si je suis mon résonnement le haut reste le même mais je ne vois en quoi cela pourrai démontrer que [tex]Uo<2[/tex] et [tex]Uo>2[/tex]

Pour la 4) d'après la question précédente on sait que [tex](Un)[/tex] est décroissante il suffirai peut être de montrer que 2 est un minorant pour utiliser la propriété de la convergence "une suite décroissante et minorée est convergente" d'où le [tex]l=2[/tex]

Pour la 5) [tex](Un)[/tex] est divergente si elle n'est pas convergente

mon problème dans cette exo c'est que je n'arrive pas à démontrer rigoureusement ce qu'on me demande.

Hors ligne

#4 21-10-2019 16:09:41

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 767

Re : Suite de nombre réel

Re,

Pour mettre en indice : U_{n+1} qui encadré par des "dollar" donne $U_{n+1}$...
En ce qui concerne la réponse de freddy, il fallait la prendre au 2nd degré, d'habitude il demande : c'est une interro ? On a combien de temps ? On sera notés ?
Non ça ne répond pas à la question.
Récurrence :
Essais avec des valeurs simples
$U_0=2$
$U_1=3U_0-4 = 6-4=2$
$U2=3U_1-4=6-4=2$

Hérédité
On suppose que $U_n=2$
$U_{n+1}=3Un-4=6-4=2$
L'hérédité est vérifiée.

Conclusion
Si $U_0=2$ alors $\forall n \in \mathbb N,\; $U_n=2$

Pour la suite, recommence...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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