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#1 19-10-2019 20:07:29

Urdelulu
Membre
Inscription : 19-10-2019
Messages : 2

Trouver l'intervalle d'un nombre avec deux variables

Bonsoir,

(J'ai longtemps hésité si c'était à poster au niveau lycée vu que je suis en l1 et la professeure nous a donné à faire ca sans aucun cours préalable... mais j'ai rien trouvé dans les cours du lycée donc je demande votre aide ici )

Alors voilà l'énoncé:

Soient x ∈ ]3;7[ et y=]2;10[

À quel intervalle appartient A=3x-y?

J'ai eu le réflexe de simplement faire l'équation avec les valeurs extrêmes des deux intervalles de départ. .. donc 3*3-2=7; 7*3-10=11; 3*3-10=-1; 7*3-2=19... puis je garde les extrêmes ce qui ferait A∈]-1;19[... Mais j'ai une forte impression de faire n'importe quoi et passer à cote de la plaque...

Merci d'avance pour votre aide!

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#2 19-10-2019 20:25:12

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 149

Re : Trouver l'intervalle d'un nombre avec deux variables

Bonsoir,

La méthode est la bonne, il manque juste une bonne rédaction pour bien faire comprendre (et que tu comprennes) ton raisonnement :
Pour le maximum :
1ère question : pour y fixé, pour quelle valeur de x A est maximum ? (réponse : 7, car $A \leq 3\times 7 -y$)
2ème question : quelle est la valeur de y pour laquelle $3\times 7 -y$ est maximum ?
et tu fais de même pour le minimum.

En général tu as une formule pour ce genre de chose : $\sup \limits_{(x,y) \in X\times Y} f(x,y) = \sup \limits_{x \in X} (\sup \limits_{y \in Y} f(x,y)) = \sup \limits_{y \in Y} (\sup \limits_{x \in X} f(x,y))$. Par contre je ne sais pas si tu as déjà ce qu'est la borne supérieur, je peux te l'expliquer si tu le souhaites.

EDIT :
J'ai aussi fait une erreur de "vocabulaire", erreur que j'ai d'ailleurs reproché @Urdelulu, ce serait donc hypocrite de ne pas préciser quelle est mon erreur : on ne peut pas dire : "pour y fixé, pour quelle valeur de x A est maximum ?" (enfin si, mais la question n'a pas vraiment de sens puisque le maximum n'existe pas). Parce que comme je l'explique après A ne peut atteindre ses bornes... Donc ma rédaction n'est pas la bonne, par contre elle donne l'idée de ce que l'on demande... Celle qu'il faut suivre est celle de @yoshi, ou utiliser la notion de borne supérieur :
1ère question : pour y fixé, quelle est la borne supérieur de A ? (réponse : $ 3\times 7 -y$)
2ème question : quelle est la borne supérieur de  $ \{3\times 7 -y | y \in ]2;10[ \}$?

Cependant, vu ce que l'on demande ce n'est vraiment pas la peine de formuler ça avec la notion de borne supérieur...

Dernière modification par Maenwe (20-10-2019 08:18:25)

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#3 19-10-2019 21:47:53

Urdelulu
Membre
Inscription : 19-10-2019
Messages : 2

Re : Trouver l'intervalle d'un nombre avec deux variables

Maenwe a écrit :

Bonsoir,

La méthode est la bonne, il manque juste une bonne rédaction pour bien faire comprendre (et que tu comprennes) ton raisonnement :
Pour le maximum :
1ère question : pour y fixé, pour quelle valeur de x A est maximum ? (réponse : 7, car $A \geq 3\times 7 -y$)
2ème question : quelle est la valeur de y pour laquelle $3\times 7 -y$ est maximum ?
et tu fais de même pour le minimum.

En général tu as une formule pour ce genre de chose : $\sup \limits_{(x,y) \in ]3;7[\times ]2;10[} f(x,y) = \sup \limits_{x \in ]3;7[} (\sup \limits_{y \in ]2;10[} f(x,y)) = \sup \limits_{y \in ]2;10[} (\sup \limits_{x \in ]3;7[} f(x,y))$. Par contre je ne sais pas si tu as déjà ce qu'est la borne supérieur, je peux te l'expliquer si tu le souhaites.

Merci! Je comprends mieux maintenant, j'ai refait comme vous m'avez expliqué:

On cherche A maximum :
Pour y fixé, A est maximum pour x=7 car A=3*7-y
Pour x=7, A est maximum pour y=2.
Ainsi, le maximum de A est égal à A=7*3-2=19

On cherche A minimum:
Pour y fixé , A est minimum pour x=3
Pour x=3, A est minimum pour y=10
Ainsi, le minimum de A est égal à A=3*3-10= -1

Donc l'intervalle de A est ]-1;19[

Et non, je ne me rappelle pas d'avoir vu ce qu'est la borne supérieure... Ça serait vraiment gentil si vous pouvez me l'expliquer :)
J'ai regardé sur internet et j'ai cru comprendre que la borne supérieure est le terme le plus grand de l'intervalle? Mais j'ai du mal à comprendre la formule

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#4 20-10-2019 06:18:55

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 767

Re : Trouver l'intervalle d'un nombre avec deux variables

RE,

Je vous propose la vieille (?) méthode qu'on apprenait en 4e...
1.  $x\; \in\; ]3;7[ \text{ et } y=]2;10[ \;\iff\;  3<x<7 \text{ et } 2<y<10$
2. J'encadre ensuite 3x et -y :
    je ne dois pas soustraire membres à membre deux inégalités (de même sens) , mais ajouter l'opposé, sinon !...
    Contre exemple avec la soustraction :
        0 < 7
        2 < 10
   Et en soustrayant on obtient -2<-3 qui est évidemment faux...

    Donc :
    $\begin{cases}3<x<7 \\                                   
    2<y<10\end{cases}$
    $\iff$
    $\begin{cases}\quad\; 9<\;\;\; x<21\\
-10<-y<-2 \end{cases}$
    $\iff$
    $9+(-10)<3x+(-y)<21+(-2)$  $\iff$   $-1<3x-y<19$
    Et on retrouve bien ;
    $3x-y \in ]-1\,;\,19[$

@+


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#5 20-10-2019 08:03:00

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 149

Re : Trouver l'intervalle d'un nombre avec deux variables

Bonjour,

Tout à fait d'accord (encore une fois) avec @yoshi, méthode qui a en plus le mérite de raisonner par équivalence et de montrer en plus que A peut prendre n'importe qu'elle valeur de $]-1;19[$...

@Urdelulu, ce que tu as écris n'est pas tout à fait correct :
Par exemple "Pour y fixé, A est maximum pour x=7 car A=3*7-y", sachant que $(x,y) \in ]3;7[ \times ]2;10[$ (faire bien attention, ce sont des intervalles ouverts, x ne peut pas prendre 3 ou 7 comme valeurs ! D'où ton erreur de vocabulaire) A n'atteindra jamais -1 ou 19... Ce n'est donc pas son maximum (resp. minimum), le maximum d'un ensemble n'est pas toujours défini... En effet le le maximum d'un sous ensemble S de $\mathbb{R}$ ($S \subset \mathbb{R}$) est le plus grand élément de S contenu dans S (M est le maximum de S ssi $M\in S$ et $\forall x \in S, x\leq M$), et dans notre cas, A ne pourra jamais atteindre ses bornes (tout comme x et y).

C'est pour ça que l'on a introduit la notion de borne supérieur (et sa notion "symétrique", celle de bornes inférieur), pour parler d'un majorant d'un ensemble, mais non contenu dans cet ensemble : elle est défini de la manière suivante :
Soit A un ensemble, si
- $A \subset \mathbb{R}$
- A est borné (c'est à dire : $\exists M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall x \in A, x \leq M$)
alors on définit la borne supérieur de A, noté $sup A$ comme le plus petit des majorants de A (ce qui veut aussi dire que tout élément de $\mathbb{R}$ strictement inférieur à $sup A$ n'est pas un majorant de A).

Et pour la borne inférieur, il faut non pas que A soit majoré mais minoré, et dans ce cas la borne inférieur de A est le plus grand des minorants.

Maintenant si tu te poses la question de savoir si la borne supérieur existe toujours sous les conditions que j'ai énoncé plus haut, et bien la réponse est oui, et dans certaines définitions (parce que oui il n'y en a pas qu'une, mais elles définissent toute $\mathbb{R}$, mais de façon différente) de l'ensemble des réels ($\mathbb{R}$), on peut y mettre comme axiome l'existence de la borne supérieur.

Dernière modification par Maenwe (20-10-2019 08:19:23)

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