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khalid enn10

Invité

logique démonstration

salut tout le monde ,s'il vous plait je cherche de l'aide de cet exercice
x>0, y>0 tel que r(x)+r(y)=1 avec r(x) et la racine de x
monter que
1) 1/x+1/y >2/r(xy)
2) 1/xy>16
pour la première question j'ai arrivé à la démonter mais la deuxième je suis bloqué

95spitfire

Invité

Re : logique démonstration

Je ne sais pas si ma démonstration va t'attender. Tu cherches en fait à démontrer que le minima de la fonction 1/xy vaut 16 quand on évalue cette fonction sur la courbe C d'équation R(x)+R(Y)=1.
Ou bien que le maximum de la fonction f(x,y) = R(xy) vaut 1/4 sur la courbe C.

Or, on peut déjà remarqué que pour x=y = 1/4, on a bien cette valeur.
Ensuite, c'est une histoire de calcul différentiel :
- sur la courbe C, les dx et dy respectent la condition : dx/R(x) + dy/(R(y) = 0, d'où dx en fonction de dy
- la différentiel de f vaut : 2df = R(y/x)dx + R(x/y)dy
Tu remplace l'un par l'autre et tu montres que df vaut 0 pour x = y, qui ne peut donc valoir que 1/4
CqFD

95spitfire

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Re : logique démonstration

En français correct

Je ne sais pas si ma démonstration va t'aider. Tu cherches en fait à démontrer que le minima de la fonction 1/xy vaut 16 quand on évalue cette fonction sur la courbe C d'équation R(x)+R(Y)=1.
Ou bien que le maximum de la fonction f(x,y) = R(xy) vaut 1/4 sur la courbe C.

Or, on peut déjà remarquer que pour x=y = 1/4, on a bien 1/xy = 16.
Ensuite, c'est une histoire de calcul différentiel :
- sur la courbe C, les dx et dy respectent la condition : dx/R(x) + dy/(R(y) = 0, d'où dx en fonction de dy
- la différentielle de f vaut : 2df = R(y/x)dx + R(x/y)dy
Tu remplaces un dx par un dy et tu montres que df vaut 0 pour x = y, qui ne peut donc valoir que 1/4
CqFD

Maenwe

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Re : logique démonstration

Bonsoir,

@95spitfire, qu'est-ce que $dx$ et $dy$ ? J'aurai eu tendance à les définir comme une projection canonique de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}$ : $dx.(h_{1},h_{2})=h_{1}$ et $dx.(h_{1},h_{2})=h_{2}$.
Parce que sinon je ne vois pas à quoi ça correspond sachant que : $df(x,y).h = \sqrt{\frac{y}{x}}h_{1} + \sqrt{\frac{x}{y}}h_{2}$ (avec $h=(h_{1},h_{2}$), ce qui s’écrirait (avec la définition que j'ai proposé) : $df(x,y) = \sqrt{\frac{y}{x}}dx + \sqrt{\frac{x}{y}}dy$. (la notation $df(x,y).h$ signifie : la différentielle de f en $(x,y)$ selon la direction $h=(h_{1},h_{2})$). Après je "confonds" peut-être avec une notion que je ne connais pas. Et du coup je ne vois pas comment vous obtenez la relation suivante : $\frac{dx}{\sqrt{x}}+\frac{dy}{\sqrt{y}} = 0$ (enfin si mais seulement "à la physicienne" (ce que je ne dis pas que vous avez fait), ça marcherai éventuellement, mais ce n'est pas très rigoureux).

Je me permets de rajouter aussi, que (à moins que je ne loupe quelque chose) le point que vous exhibez est sur la frontière de C, or on est sûr que l'ensemble des points extrémaux est inclut dans l'ensemble des points critiques (ceux qui font de la différentielle la fonction nulle) que si la fonction est défini sur un ouvert, et non sur autre chose. Qui plus est l'ensemble de définition de $f$ ($C=\{(x,y)|x,y>0, \sqrt{x}+\sqrt{y}=1\}$) n'est ni ouvert ni fermé ! On n'est donc même pas assuré que le minima (ou la maxima) soit atteint par la fonction sur cette ensemble de définition.

Sinon, il y a un peu plus simple, je lance donc une piste pour que ceux qui veulent chercher ait une piste :
$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ et on va chercher à faire apparaître $\frac{1}{\sqrt{xy}}$ ou $\frac{1}{xy}$, on divise donc par $\sqrt{xy}$ et on obtient : $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{xy}}$. Et après on fait apparaitre $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{y}$ en élevant au carré cette égalité pour essayer d'utiliser l'inégalité montrée en 1), ce que je laisse faire ! (Si besoin d'aide n'hésitez pas à demander pour la suite !)

Dernière modification par Maenwe (04-10-2019 19:55:21)

LCTD

Invité

Re : logique démonstration

Bonjour,

En suivant ta piste Maenwe, si le calcul suivant est correcte ( je l'espère) c'est OK:
( [tex](\sqrt{x} +\sqrt{y})(\sqrt{x} +\sqrt{y}) =  x+y + 2\sqrt{xy}=1 [/tex]

on a d’après la question 1 :

[tex]\frac{x+y}{xy}[/tex] > 2 [tex]\frac{1}{\sqrt{xy}} [/tex] soit [tex]x+y[/tex] > 2 [tex]\sqrt{xy}[/tex]

on a donc [tex]x+y + 2\sqrt{xy} > 4\sqrt{xy}[/tex] soit [tex]1 > 4\sqrt{xy}[/tex]
soit [tex]\frac{1}{\sqrt{xy}}> 4[/tex] donc [tex]\frac{1}{xy}> 16[/tex]

Maenwe

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Re : logique démonstration

Bonjour,

@LCTD, ce que tu as écrie correspond au raisonnement que je voulais indiquer et ce que tu as écrit me semble tout à fait correcte !

Dernière modification par Maenwe (07-10-2019 14:11:32)

freddy

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Re : logique démonstration

Salut,

ce qui est amusant est de faire le 1).

On part de $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 >0$ avec x et y strictement positif et le reste tombe comme un fruit mûr !

---

De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.