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#1 01-10-2019 17:30:36

md_salem
Membre
Inscription : 20-03-2019
Messages : 1

fonction caractéristique non étagée

Bonjour,
Je suppose que je suis dans un ensemble [tex] X\subset  \mathbb{R} [/tex]
Je voulais réfuter l'affirmation suivante : [tex] A\subset X [/tex] alors [tex] \chi_{A^c} [/tex] est étagée.
Autrement dit, je voulais trouver un ensemble [tex] A\subset X [/tex] et dont la fonction caractéristique de son complémentaire n'est pas étagée.
J'aimerais bien trouvé un contre-example.

Merci pour votre aide.

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#2 01-10-2019 18:41:18

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 409

Re : fonction caractéristique non étagée

Bonjour,

Si on parle bien de la même chose (c'est à dire que l'autre nom pour une fonction étagée est l'indicatrice d'une fonction), et sachant que pour moi une fonction étagée est une fonction qui prend un nombre fini de valeurs, une fonction étagée $E$ peut toujours s'écrire :
$E=\sum\limits_{k=0}^{n} \alpha_{k} \mathbb{1}_{A_{k}}$ avec $\cup A_{k} = X$.
Donc selon les définitions que j'ai (et j'ai vérifié sur internet et je n'ai pas trouvé d'alternative) il n'y a pas de contre exemple puisque toute fonction indicatrice est étagée.

Cordialement

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