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#1 19-09-2019 20:14:27

hppc07
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suites et séries numériques

Bonjour à tous,

alors voilà je suis bloqué sur 2 exercices ci-dessous :

https://imagizer.imageshack.com/img923/8981/StCM88.png

Pour l'ex 1, j'ai tout fait sauf la fin : prouver que (Vn) converge. Je ne sais, à vrai dire, pas vraiment par quelle série passer, j'ai essayé pas mal de choses mais sans succès... Si quelqu'un aurait une idée, je suis preneur !
De même, l'exercice 2 je bloque à la dernière question quant il s'agit de calculer la somme des Un, les autres questions je n'ai pas eu de mal.
Toute aide serait la bienvenue, merci d'avance ! :)

********************
Edit Fred : Comme je réponds à l'exercice 1, je mets l'énoncé sur le site, sinon j'ai peur qu'il disparaisse et que le fil ne veuille plus rien dire

1. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac 14+u_n^2$. Cette suite est-elle convergente? Quelle est sa limite?
2. Soit $A$ un nombre complexe de module inférieur à 1/4, et $(v_n)$ la suite définie par $v_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb N$,
$v_{n+1}=A+v_n^2$. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, $|v_n|\leq u_n$ puis, à l'aide d'une série adéquate, démontrer que la suite $(v_n)$ est convergente.

********************

Edit hppc07 : Enoncé exercice 2
On considère la série de terme général [tex]{u_n}= \frac{\sqrt{n!}}{\prod_{p=1}^{n+1} (1+\sqrt{p})}[/tex]
1) Trouver les valeurs de [tex]x[/tex] telles que [tex] 0<\frac{\sqrt{x+2}}{1+\sqrt{x}}\le1 [/tex].
2) Prouver que [tex](\sum u_{n})[/tex] converge.
3) En utilisant la suite de terme général [tex]v_{n}=u_{n}\sqrt{n+1}[/tex], calculer sa somme.

Dernière modification par hppc07 (21-09-2019 17:39:11)

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#2 20-09-2019 04:14:48

Fred
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Re : suites et séries numériques

Bonjour,

  L'exercice 1 est un joli exercice. Pour démontrer que suite $(v_n)$ est convergente en utilisant une série, ma première idée est d'utiliser la série télescopique définie ici par son terme général $w_n=v_{n+1}-v_n$. Si la série de terme général $(w_n)$ converge, alors la suite $(v_n)$ converge.
Ici, si je regarde $w_{n+1}=(v_{n+2}+v_{n+1})w_n$, je vois que $|w_n+1|\leq C |w_n|$ pour un certain $C$ dans l'intervalle $]0,1[$, et donc la série de terme général $w_n$ converge absolument (majoration par une série géométrique convergente).

F.

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#3 20-09-2019 10:01:18

hppc07
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Re : suites et séries numériques

Bonjour Fred, merci beaucoup pour votre aide, c'est limpide !
J'avais pensé à poser cette série là, mais je n'avais pas trouvé la relation [tex]W_{n+1}=(V_{n+2}+V_{n+1})W_{n}[/tex]
Ca m'a bien aidé merci ! (Vous avez raison je publierai directement l'énoncé en texte la prochaine fois.)

Dernière modification par hppc07 (21-09-2019 17:37:14)

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#4 20-09-2019 14:14:26

LCTD
Invité

Re : suites et séries numériques

Bonjour,

J'ai peut-être une idée pour  la dernière question de  l'exercice 2 :
[tex] v_n = u_n \times \sqrt{n+1} =  \frac{\sqrt{(n+1)!}}{\prod_{p=1}^{n+1} (1+\sqrt{p})} [/tex]

[tex]S_{v_n}= \sum_{n=0}^\infty v_n = v_0 + \sum_{n=1}^\infty  \frac{\sqrt{(n+1)!}}{\prod_{p=1}^{n+2} (1+\sqrt{p})} \times (1+\sqrt{p}) [/tex]

je croix que dans le deuxième terme il a y la somme de [tex]u_n [/tex] qui est convergente.

#5 21-09-2019 16:51:46

hppc07
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Re : suites et séries numériques

Bonjour LCTD, merci pour votre contribution, quand vous dites

[tex]S_{v_n}= \sum_{n=0}^\infty v_n = v_0 + \sum_{n=1}^\infty  \frac{\sqrt{(n+1)!}}{\prod_{p=1}^{n+2} (1+\sqrt{p})} \times (1+\sqrt{p}) [/tex]

vous vouliez dire

[tex]S_{v_n}= \sum_{n=0}^\infty v_n = v_0 + \sum_{n=1}^\infty  \frac{\sqrt{(n+1)!}}{\prod_{p=1}^{n+2} (1+\sqrt{p})} \times (1+\sqrt{n+2}) [/tex]  ?

Si c'est bien ça, pourquoi avoir incrémenté au rang n+2 le produit ? J'avoue que je ne vois pas en quoi cela peut aider pour calculer cette fameuse somme des Un...

Merci !

Edit : Est-ce pour faire apparaître  [tex]\sum_{n=0}^\infty u_{n+1}[/tex] et faire une équation aux limites ?

Dernière modification par hppc07 (21-09-2019 17:38:16)

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#6 21-09-2019 18:04:12

Maenwe
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Re : suites et séries numériques

Bonsoir !

Il faut mieux lire l'énoncé ! (c'est un peu hypocrite car je me suis fait avoir aussi ^^) Quoi qu'il en soit la question 2 commence par demander d'étudier la suite $(v_{n})$ et non pas la série associé !

Mais j'avoue que dans la résolution que j'ai effectué il faut à un moment, utiliser une somme de $(v_{n})$. Cependant, dans un premier temps on se doit d'étudier $(v_{n})$, je donne donc un premier indice pour avancer ensuite (ensuite il faudra ré-exprimer un peu l'expression que je vais donner puis utiliser une somme "de $(v_{n})$" très classique dans le monde des séries, et facile à calculer) :
$v_{n}=u_{n}\sqrt{n+1}=u_{n+1}.(1+\sqrt{n+2})$.
Bon courage et n'hésite pas à demander si tu bloques !

Cordialement

Dernière modification par Maenwe (21-09-2019 19:19:19)

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#7 22-09-2019 00:27:02

LCTD
Invité

Re : suites et séries numériques

Bonjour,

J'ai bien fait la multiplication par [tex]\sum (1+ \sqrt(1+2)[/tex] au numérateur et au dénominateur  pour faire apparaître l'indice n+2 au dénominateur. Je n'ai pas conduit l'étude sur la série Un, mais si elle converge vers 0, alors le second terme vaut 0. Mais je suis peut-être dans l'erreur.

#8 22-09-2019 00:30:24

LCTD
Invité

Re : suites et séries numériques

Bonjour, : erratum

J'ai bien fait la multiplication par [tex]\sum (1+ \sqrt(n+2)[/tex] au numérateur et au dénominateur  pour faire apparaître l'indice n+2 au dénominateur. Je n'ai pas conduit l'étude sur la série Un, mais si elle converge vers 0, alors le second terme vaut 0. Mais je suis peut-être dans l'erreur.

#9 22-09-2019 00:33:56

LCTD
Invité

Re : suites et séries numériques

Bonjour, : erratum  encore annule et remplace ( je demande votre indulgence)

J'ai bien fait la multiplication par (1+√(n+2)au numérateur et au dénominateur  pour faire apparaître l'indice n+2 au dénominateur. Je n'ai pas conduit l'étude sur la série Un, mais si elle converge vers 0, alors le second terme vaut 0. Mais je suis peut-être dans l'erreur.

#10 22-09-2019 07:29:08

Maenwe
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Re : suites et séries numériques

Bonjour,

@LCTD tu parles bien du second terme de $S_{v_n}= \sum_{n=0}^\infty v_n = v_0 + \sum_{n=1}^\infty  \frac{\sqrt{(n+1)!}}{\prod_{p=1}^{n+2} (1+\sqrt{p})} \times (1+\sqrt{n+2})$, c'est à dire : $\sum_{n=1}^\infty  \frac{\sqrt{(n+1)!}}{\prod_{p=1}^{n+2} (1+\sqrt{p})} \times (1+\sqrt{n+2})$ ?

Si c'est bien de ce terme là que tu parles, eh bien il ne peut pas tendre vers 0 car c'est une série à termes strictement positifs, donc la série ne peut converger vers 0 (sachant qu'une série à termes positifs est croissante on a : $\sum_{n=1}^N  \frac{\sqrt{(n+1)!}}{\prod_{p=1}^{n+2} (1+\sqrt{p})} \times (1+\sqrt{n+2}) \geq u_{1}.\sqrt{2} > 0$).
Pourrais tu développer un peu plus tes arguments lorsque tu n'en es pas sûr, ça permettrai d'avancer un peu plus dans une résolution, et ne t'en fais pas, tous le monde fait des erreurs !

Dernière modification par Maenwe (22-09-2019 14:48:52)

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#11 22-09-2019 14:10:49

LCTD
Invité

Re : suites et séries numériques

Bonjour,

Effectivement,Maenwe, tu as raison. Merci pour tes explications et cet échange constructif .Je serai plus prolixe sur mon raisonnement lors d'une prochaine éventuelle intervention.

#12 22-09-2019 19:52:56

hppc07
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Re : suites et séries numériques

Bonjour Maenwe, merci pour votre aide, après plusieurs pages d'essaies avec votre indication j'arrive seulement à re-démontrer que la série des [tex] (u_{n}) [/tex] est convergente (c'est à dire le critère de d'Alembert, je tombe sur [tex] \frac{u_{n+1}}{u_{n}}[/tex] tend vers l<1 ) mais je n'arrive pas à trouver une expression exploitable de la somme des [tex] {v_{n}} [/tex] qui permettrait ensuite de trouver la somme des [tex] {u_{n}} [/tex]... Désolé je bloque à nouveau !
Merci


Edit : voilà un exemple de là où je suis arrivé... j'ai l'impression que j'y suis presque pourtant, ou peut-être je ne vais pas dans la bonne direction ?
https://imagizer.imageshack.com/img921/5782/bn3Qq1.jpg

Dernière modification par hppc07 (22-09-2019 21:31:11)

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#13 23-09-2019 15:16:44

Maenwe
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Re : suites et séries numériques

Salut !

Dans tes calculs il y a une erreur de signe à la ligne 3 (première équivalence, d'ailleurs tu n'as pas besoin de mettre des équivalence car ce sont toutes des affirmations vraies (par définition de $(v_{n})$), tu peux bien sûr les mettre mais elles ne sont pas utiles ^^). Cette petite erreur de signe te fait faire une erreur à la fin qui m'a fait dans un premier temps douter de mes calculs mais en voyant cette petite faute ça m'a beaucoup rassuré (car sinon la somme de $\sum u_{n}$ est nulle et ça... ce n'est pas possible ! ) ^^

L'énoncé est plutôt ambigu là-dessus, car en fait il demande la somme de $\sum u_{n}$, et il y a un moyen plutôt simple de trancher :
la série $\sum v_{n}$ ne converge pas ! (Eh oui, en prenant cette égalité que tu as bien montré : $\sum_{k=0}^{n} v_{k} = \sum_{k=0}^{n} u_{k+1} + \sum_{k=0}^{n} v_{k+1}$ et bien si tu supposes que $(\sum_{k=0}^{n} v_{k})$ converge eh bien la limite de $(\sum_{k=0}^{n} u_{k})$ est égal à $u_{1}$ et ça ce n'est pas possible en vertu de la stricte croissance de $(\sum_{k=0}^{n} u_{k})$ !).

Du coup avec corrections j'obtiens ceci :

$\sum_{k=0}^{n} v_{k} = \sum_{k=0}^{n+1} u_{k} - 2.u_{0} + \sum_{k=0}^{n+1} v_{k}$
Et en réutilisant l'inégalité montré en 1) : $\frac{\sqrt{n!}}{\prod_{1\leq k\leq n+1} (1 + \sqrt{k})}\leq \sqrt{\frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}}$, on a que $(v_{n})$ converge vers 0.

Et voilà ! je te laisse continuer ! (par ailleurs c'est un résultat très amusant ^^)

Dernière modification par Maenwe (23-09-2019 15:17:39)

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#14 23-09-2019 15:39:38

hppc07
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Re : suites et séries numériques

Super ! Merci beaucoup Maenwe pour votre aide précieuse ! En effet une erreur très bête de ma part...
La série des (Un) converge donc vers 1, je le déduit rapidement de votre égalité corrigée et de la convergence de (Vn) Vers 0.
Merci !!!

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#15 23-09-2019 17:02:36

Maenwe
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Re : suites et séries numériques

Re,
avec plaisir !

J'ai fait une erreur de raisonnement dans ce paragraphe (ça n'enlève pas la validité de ce qui suivait dans le message à moins que l'on y trouve une faute plus tard) :

Maenwe a écrit :

L'énoncé est plutôt ambigu là-dessus, car en fait il demande la somme de $\sum u_{n}$, et il y a un moyen plutôt simple de trancher :
la série $\sum v_{n}$ ne converge pas ! (Eh oui, en prenant cette égalité que tu as bien montré : $\sum_{k=0}^{n} v_{k} = \sum_{k=0}^{n} u_{k+1} + \sum_{k=0}^{n} v_{k+1}$ et bien si tu supposes que $(\sum_{k=0}^{n} v_{k})$ converge eh bien la limite de $(\sum_{k=0}^{n} u_{k})$ est égal à $u_{1}$ et ça ce n'est pas possible en vertu de la stricte croissance de $(\sum_{k=0}^{n} u_{k})$ !).

$\sum_{k=0}^{n} v_{k} = \sum_{k=0}^{n} u_{k+1} + \sum_{k=0}^{n} v_{k+1}$ se réécrit :
$\sum_{k=0}^{n} v_{k} = \sum_{k=0}^{n+1} u_{k} - 2u_{0} + \sum_{k=0}^{n+1} v_{k}$

Donc mon raisonnement est faux dans la mesure où ça ne conclut pas à une absurdité cet argument.
Oups... M'enfin je pense quand même que c'était bien la somme de $\sum u_{n}$ qu'il fallait calculer !

Dernière modification par Maenwe (23-09-2019 17:11:03)

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#16 24-09-2019 10:31:01

hppc07
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Re : suites et séries numériques

Ah oui effectivement ! Mais vous avez raison c'était bien la somme des (Un) quoi qu'il en soit avec cette méthode on trouve bien la convergence, merci encore :D

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#17 24-09-2019 16:21:35

Basile
Invité

Re : suites et séries numériques

Bonjour,

J'ai suivi vos interventions et je ne comprends pas comment on déduit de l'égalité corrigée par Maenwe que la suite (Vn) converge vers 0 et surtout comment on utilise cette convergence pour déduire la somme de la série des (Un).
Quelqu'un peut-il m'éclairer s'il vous plait?
D'avance Merci.

#18 24-09-2019 17:25:31

Maenwe
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Re : suites et séries numériques

Bonsoir,
Ce n'est pas avec l'égalité corrigé que l'on déduit la convergence de $(v_{n})$ vers 0, mais avec ça :

Maenwe a écrit :

Et en réutilisant l'inégalité montré en 1) : $\frac{\sqrt{n!}}{\prod_{1\leq k\leq n+1} (1 + \sqrt{k})}\leq \sqrt{\frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)}}$, on a que $(v_{n})$ converge vers 0.

Tout est dans le poste #13, mais je peux réexpliquer un peu plus clairement :

Cette fois tu es d'accord avec ma justification que $(v_{n})$ converge vers 0 ?
L'égalité qui se trouve aussi dans le poste #13, se réécrit ainsi :
$\sum_{k=0}^{n+1} u_{n} = 2u_{0} - v_{n+1}$

Et là tu fais tendre n vers $+\infty$ et tu as que la somme $S$ de $\sum u_{n}$ est égale à $2u_{0}$.
C'est plus claire formulé comme ça ? Si non n'hésite pas à poser des questions.

Dernière modification par Maenwe (24-09-2019 17:33:08)

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#19 24-09-2019 20:47:34

Basile
Invité

Re : suites et séries numériques

Bonsoir Maenwe,

Merci pour ta réponse.
Cependant, j'ai encore des choses incomprises:
1. Je ne vois pas comment la question 1 permet d'écrire l'inégalité que tu as repris de ton post #13 dans l'encadré.
2. Après, une fois que l'on a cette inégalité, je comprends que l'on écrit que le membre de droite tend vers 0 quand n tend vers + l'infini et donc que (Vn) converge vers 0. Ensuite , le reste est très clair avec Uo qui est égal à 1/2 et donc S=1.

Encore merci pour tes explications. C'est super!!

#20 24-09-2019 21:08:01

Maenwe
Membre confirmé
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Re : suites et séries numériques

Re,

Pour ta 1ère question :
L'inégalité s'applique pour tout $x \geq \frac{1}{4}$ (si je ne me trompe pas), et donc elle est vraie sur tous les entiers naturels, tu as donc :
$\sqrt{n+2}\leq 1+\sqrt{n}$ et donc : $\frac{1}{\sqrt{n+2}} \geq \frac{1}{1+\sqrt{n}}$.
Ainsi on a :
$\frac{\sqrt{n!}}{\prod\limits_{k=1}^{n+1} (1+\sqrt{k})} \leq \frac{\sqrt{n!}}{\prod\limits_{k=1}^{n+1} \sqrt{k+2}}$
Et par changement d'indice tu as (et en utilisant le fait que $\sqrt{1}=1$) :
$\frac{\sqrt{n!}}{\prod\limits_{k=1}^{n+1} \sqrt{k+2}} = \frac{\sqrt{n!}}{\prod\limits_{k=3}^{n+3} \sqrt{k}}\\
=\frac{\sqrt{2.n!}}{\prod\limits_{k=1}^{n+3} \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{2}}{\prod\limits_{k=n+1}^{n+3} \sqrt{k}}\\
=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(n+1).(n+2).(n+3)}}$
(Au passage le 2 apparait à cause du fait que je rajoute un $\sqrt{2}$ au dénominateur)
C'est plus claire ou reste t'il des points obscurs ?

Pour ta deuxième question :
C'est une question ? Je comprends peut-être mal ce que tu as écris mais j'ai l'impression que tu me dis qu'il n'y avait qu'un seul point obscure alors qu'avant tu me dis qu'il y en a plusieurs ^^

Dernière modification par Maenwe (24-09-2019 21:08:56)

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#21 24-09-2019 21:33:44

Basile
Invité

Re : suites et séries numériques

Re,

Effectivement, je me suis mal exprimé, c'était le seul point obscur.
Ta réponse est très claire. C'est bon.
Merci beaucoup.
Bonne soirée.

#22 25-09-2019 14:53:13

hppc07
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Re : suites et séries numériques

Merci pour toutes ces précisions très claires !

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#23 26-09-2019 08:22:25

Basile
Invité

Re : suites et séries numériques

Bonjour,

En réfléchissant à nouveau à cet exercice, je me disais qu'on pouvait peut être faire plus simple pour dire que (Vn) converge vers 0 mais je ne sais pas si mon raisonnement est juste. J'aimerai donc avoir votre avis:

Voilà:
On a montré à la question 2 que la série des Un converge, donc son terme général (un) tend vers 0 quand n tend vers + l'infini. Comme on a Vn = (racine n+1) Un, alors la suite Vn converge aussi vers 0 quand n tend vers + l'infini.

Cela évite tous les calculs avec l'inégalité de la question 1.
Merci de me dire ce que vous en pensez s'il vous plait.
A bientôt.

#24 26-09-2019 11:06:52

hppc07
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Re : suites et séries numériques

Bonjour Basile,

Vous ne pouvez malheureusement pas faire ce raisonnement car si [tex]u_n[/tex] converge vers 0 alors vous avez une forme indéterminée [tex] 0 * \infty [/tex] lorsque vous faites tendre n vers l'infinie dans [tex]v_n[/tex]

Hors ligne

#25 26-09-2019 12:00:24

Zebulor
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Re : suites et séries numériques

Bonjour Basile,
juste pour confirmer le post de hppc07 en prenant [tex]u_n=\frac {1}{\sqrt{n+1}}[/tex], si par racine(n+1) tu entends : [tex]{\sqrt{n+1}}[/tex]

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