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Skawel

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Problème de raisonnement

Bonjour , s'il vous plaît  j'ai une difficulté avec cet exercice qui stipule que :
Montrer que l'assertion suivante est fausse:
<<Tout entier positif est la somme de trois carrés>>
Par la suite j'ai essayé de résoudre en prenant le cas de 7=2²+1²+1²+1² mais le doute persiste encore car je me suis demandé si on ne pouvait pas aussi faire 7=2²+1²+(√2)².
Je souhaiterais savoir si quelqu'un pourrait m'aider à résoudre cet exercice.
                               Merci d'avance.

Fred

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Re : Problème de raisonnement

Bonjour,

  Je pense d'abord qu'il faut préciser ce que dit l'assertion. Il faut la comprendre sous la forme "Tout entier positif est la somme de trois entiers au carré".
Prouver que cette assertion est fausse, c'est trouver un contre-exemple. 7 est un contre-exemple effectivement, mais pas parce 7=2²+1²+1²+1² : cela dit que 7 est la somme de 4 carrés, mais il pourrait aussi très bien être la somme de trois carrés.
Il faut que tu prouves que tu ne peux pas écrire 7 comme a²+b²+c² où a,b,c sont des entiers. Une méthode pour faire cela, c'est de se dire que le plus grand de a,b,c (par exemple a) doit être inférieur ou égal à 3 (car 9>7), et ne peut pas être égal à 1, car 1²+1²+1²<7. Donc il doit être égal à 2. Ainsi, si 7 s'écrivait comme la somme de 3 carrés, on aurait 7=2²+b²+c², c'est-à-dire 3=b²+c². Ce n'est pas possible, car on doit avoir b et c égaux à 0 ou 1, et ça ne marche pas!

F.

Skawel

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Re : Problème de raisonnement

Bonjour, merci à vous pour cette explication cela m'a été d'un grand secours