Alignement de produits

cosinuspax · 28-08-2019 16:07:04

OK mais sache que tout fonctionne normalement.

A++

yoshi · 28-08-2019 17:23:26

RE,

A la main, peut-être...
Mais non, avec tes A et B à 30 chiffres, ça coince parce que i ne dépasse pas la valeur 1 :
- un test ne se fait pas ou donne un résultat erroné et donc dès le 1er passage, pour une mê valeur de Q, il tourne en rond dans la boucle 2 et ne revient jamais incrémenter i, donc M reste scotché à 1 et T à 3
- un test est manquant (moins probable)...

J'y mettrai peut-être le temps, mais je trouverai : j'ai déjà écrit bien plus long et plus "tordu"...

@+

cosinuspax · 29-08-2019 10:19:52

Salut,

D'accord, mais pourquoi à partir de 2 x 30 chiffres ? Bizarre. Pourquoi ne pas spécifier au programme de faire comme d'habitude avec A et B de 30 chiffres ?
En voici deux autres :

A 775941213935564328459698982023

B 367860705548155112876080250069

Dernière modification par cosinuspax (29-08-2019 10:22:57)

cosinuspax · 29-08-2019 10:27:52

Regarde bien si L est supérieur ou inférieur à P. S'il est inférieur, tout est normal.

cosinuspax · 29-08-2019 10:39:05

Même résultat pour l'exemple si-dessus : L est inférieur à N (P = N).

N =285438282422228662150088429608306813721712689335174575509587
R = 534264244004994837489127834284
L =
285438282422228662150088429608274143684074216524845293626940

cosinuspax · 29-08-2019 10:59:34

Pour cet exemple, L est supérieur à N. Normalement, le programme doit faire P = N x T. Aller à next i. T = 3 à ce moment puisque Q = 3 et M = 1. Donc P = N x 3. Il passe à i = 2 et fait le nouveau calcul de P et de L.

A 448112341766964559764297625291
B 398553599201280303607945220797

Dernière modification par cosinuspax (29-08-2019 11:14:12)

yoshi · 29-08-2019 12:06:47

Bonjour,

Je récris le prg : quand un mur est branlant de tous les côtés, je le mets par terre et je le rconstruis...
Plusieurs questions courtes et précises.
Dans ton 1er post, tu écris
- 1 -

i = i + 1
R = racine entière de P
L = R^2 + R
Si i = 1 M = 1
Si i > 1 M = M + 2
T = Q x M
Si L > P alors P = N x T. Aller à next i.
Cela signifie bien que si réponse positive à la question L>P, après calcul de P=N*T,
* tu reprends à la ligne bleue
* i augmente de 1
* P ayant été modifié on recalcule R et L
* M augmente de 2
* T est recalculé avec le M modifié
* Et se repose la même question avec le même déroulement que celui qui vient d'avoir lieu ; retour à la ligne bleue etc...

Maintenant, si la réponse à L > P est non, on passe à la ligne suivante :

- 2 -
i = i + 1
(...)
Si L < P alors S = P - L
Si P = N, alors si P > S^2, si A >= S, si B >= S alors print P, A et B. STOP.
Sinon, si A ou B < S alors P = N x T. Aller à next i.
C = A x (M - 2)
D = B x Q

Tu n'envisages donc que 2 possibilités : L>P ou (exclusif) L<P...
Il ne doit donc pas être possible que L=P. Je n'ai pas vérifié...
Même si L>P, par le jeu de la modification de P, tôt ou tard, c'est L<P qui sera vrai.
Donc si L<P, tu as besoin de S = P-L que tu calcules
et on arrive aux deux lignes en marron
SI P=N cette condition n'est vérifiée que si M=1 qui signifie que P n'a pas été modifié. Supposons que ce soit le cas.
Alors
Si P=N
| Si P > S^2 et et A >= S et B >= S
| | Affichage P, A et B
| | Arrêt du programme
| Fin Si
Sinon si A<S ou B<S
| | P*N*T
| | Aller à next i (*)
Fin SI
C = A x (M - 2)
D = B x Q
Donc on est d'accord ?
Après calcul de S=P-L (seulement si L<P, parce que tant que L>P on retourne en ligne rouge et on redescend jusqu'à Si L>P. ok ? )
tu passes alors au test
Si P = N
| Si c'est le cas, alors si P>² et et A >= S et B >= S
| | affichage P, A et B
| | arrêt du programme
| Fin Si
Sinon si A<S ou B<S
| | P=N*T
| | Aller à next i (*)
Fin SI

(*) Par là tu veux bien dire :
si réponse positive au test P = N ?
* Test si P>S² et et A >= S et B >= S
Si réponse positive, affichage et arrêt
Si réponse négative on va directement en sortie Fin Si violette et on enchaîne avec calcul C et D
^ Sinon si $P\neq N$
test si A<S ou B<S
si réponse positive
Recalcul de P
retour à la ligne rouge, c'est à dire
qu'on suit à nouveau le même cheminement avec les mêmes tests
- i augmente de 1
- P ayant été modifié on recalcule R et L
- M augmente de 2
- T est recalculé avec le M modifié
- L > P ?
- L<P ?
- P = N ?
si réponse négative
on passe aux calculs de C et D
^Si réponse négative
on passe aux calculs de C et D

C =(M-2)*A
D = B*Q

Et j'arrête là pour l'instant....

@+

cosinuspax · 29-08-2019 13:30:15

Parfait jusqu'à : SINON si P différent de N. A ce stade, les tests A ou B < S et A et B >= S sont déjà faits. Si P est différent (supérieur) à N, on va tout de suite au calcul de C et D (on zappe toute la séquence P = N). D'ailleurs je n'ai pas écrit SINON si P > N, cela va de soi quand P n'est plus égal à N

Dernière modification par cosinuspax (29-08-2019 13:30:55)

cosinuspax · 29-08-2019 13:41:16

Si P est par miracle égal à L, S dans ce cas = 0, ce qui donne la suite : 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... dont tous les nombres sont pairs. Impossible, donc équivaut à L > P (à rajouter dans le programme).

Si L >= P alors P = N x T, next i.

cosinuspax · 29-08-2019 13:45:55

J'attire ton attention sur le fait que ce programme "branlant" va quand même jusqu'à 59 chiffres de N. Après, est-ce vraiment le programme qui est en cause ? (comme ça, à partir de 60 chiffres, il décide de ne plus jouer ?).

Dernière modification par cosinuspax (29-08-2019 13:50:27)

yoshi · 29-08-2019 14:40:23

Re,

J'ai récrit proprement le prg : les différents tests d'arrêt sont fonctionnels.
Voilà à la main le déroulement pour
A = 775941213935564328459698982023
B = 367860705548155112876080250069
conforme à ce que donne la machine maintenant :

A = 775941213935564328459698982023

B = 367860705548155112876080250069

P = 285438282422228662150088429608306813721712689335174575509587 

N=P

M = -1

arret = 0

Q=3

Tant que arret vaut 0

        Calculs de base

             M = M+2 (donc M=1)

             R = 534264244004994837489127834284

             L = 285438282422228662150088429608274143684074216524845293626940

             Tant que Vrai est Vrai (boucle sans fin)

                     T= M*Q = 3

                     L >= P ? 

                           Non, on passe au test suivant

                     L < P ?

                            Oui :

                            S = P – L = 32670037638472810329281882647

                    P = N ?

                         oui

                         P = N*T  donc                   

                         P = 856314847266685986450265288824920441165138068005523726528761

                         sortie de boucle sans fin et retour à 

                         Tant que arret vaut 0

                         comme c'est le cas, on repart :

         Calculs de base

             M = M+2 (donc M=3)

             R = 925372815284027017461926381626

             L = 856314847266685986450265288825274600902332788343550916785502

             Tant que Vrai est Vrai (boucle sans fin)

                     T= M*Q = 9

                     L >= P ? 

                           oui, passage au test 

                           P> S² et A>=S et B >=S ?

                           oui, passage à

                           Affiche P

                           Affiche A, B et que l'on a "L<P"

                           on passe arret à 1 

                           on sort de la boucle sans fin et on revient 

                           à Tant que arret = 0 

                           et comme arret =1 ----> arret du programme

J'ai viré le i, j'initialise M à -1, dès l'entrée en première boucle, on augmente M de 2 (et la première fois, il vaut donc 1) et je calcule en outre R et L , grâce à la fonction calculs_de_base à qui je passe P et l'ancienne valeur de M dont elle a besoin.
Elle me retourne M, R et L...
Ça c'est la principale nouveauté...

Déroulement conforme ?

@+

cosinuspax · 29-08-2019 15:32:18

Peux-tu tester :

A 448112341766964559764297625291
B 398553599201280303607945220797

N =
178596786657737932800833348803878901316132765258159766376927
R = 422607130391499585735292046744
L =
178596786657737932800833348803943264419199096070715973048280

L >=P

Dernière modification par cosinuspax (29-08-2019 16:22:16)

yoshi · 29-08-2019 19:30:12

Re,

Bon, bin j'ai gaffé, j'ai écrasé mon prg et je ne retrouve pas ce que j'ai fait...
Bon, de toutes façons, tob post #83 m'a plongé dans un abîme de perplexité et ça permet de dire que ce morceau est bien en cause !

        if P==N:

            if P>S**2 and A>=S and B>=S:

                print ("P =",P)

                print("A =",A,"B =",B)

                arret =1

                break

            elif A<S or B<S:

                P=N*T

                break

        C=A*(M-2)

        D=B*Q

Je pense qu'il faut (au cas où... Je préfère prendre le risque d'enfoncer une porte ouverte) que je t'initie aux arcanes de l'indentation (décalage) : il n'y a pas, en Python, d'instruction de sortie genre Fin Si, Fin Boucle, on se repère sur l'alignement vertical. cela exige d'être attentif et rigoureux. Les instructions if, elif (contraction de else if = sinon si= ou else, def, while demandent qu'en bout de ligne on termine avec : qui est le signal de l'indentation nécessaire à la ligne d'après...

Dans le bout de programme ci-dessus, tu remarqueras :
* que le C de C=A*(M-2) et le D de D=B*Q sont alignés verticalement avec le i de if P==N
* que le e de elif A<S or B<S est aligné verticalement avec le i de if P > S² and A >= S and B>=S.
Cela veut dire
* que si P>N (parce qu'il ne peut lui être inférieur) alors, on passe directement au calcul de C et D
* que si P=N, on rentre dans le bloc et arrive le test
if P > S² and A >= S and B>=S.
Ledit test n'est d'ailleurs positif que si P>S², A>= S et B>=S sont vrais simultanément.
Supposons que c'est le cas ù je me contente d'afficher les valeurs de P, a et B et je sors du programme :
si c'est bien le cas, il faudrait un message de fin explicite donnant le pourquoi de cet affichage.
Supposons maintenant que $P\neq S^2$ mais que A>= S et B>=S sont vrais simultanément.
Dans ce cas, ce sous-bloc est zappé et passe au test suivant :
elif A<S or B<S
mais ce nouveau test est alors un non sens puisque A>=S et B>=S : il est à son tour zappé et on passe au calcul de C et D
Admettons que ce test ait lieu d'être (on est toujours dans le cas P=N) :
on calcule alors un nouveau P (P=N*T)
on sort de la boucle sans fin et on revient à
Tant que arret vaut 0 et comme c'est le cas (je ne lui ai pas attribué la valeur 1),
On refait les calculs de base :
M=M+2
R =racine entière de P
L = R^2+R
Et on rentre dans la boucle sans fin :
calcul de T
L>= P ?
....
Correct ?

Après avoir bien creusé il semble bien que j'aie rétabli mon code.
Donc ton nouveau test donne :

A = 448112341766964559764297625291
B = 398553599201280303607945220797
P = 178596786657737932800833348803878901316132765258159766376927
*** Début du programme ***
P = 9108436119544634572842500788997823967122771028166148085223277
C = 7617909810038397515993059629947 D = 1195660797603840910823835662391
S = 385283083673466482241264966837 M = 19
P = 9108436119544634572842500788997823967122771028166148085223277
F = 1344337025300893679292892875873 G = 6775411186421765161335068753549
S = 385283083673466482241264966837 M = 19

Satisfait (ou remboursé) ?

@+

[EDIT]
Je reviens sur l'exemple précédent :

A = 775941213935564328459698982023

B = 367860705548155112876080250069

P = 285438282422228662150088429608306813721712689335174575509587 

          *** Début du programme *** 

P = 285438282422228662150088429608306813721712689335174575509587

A = 775941213935564328459698982023 B = 367860705548155112876080250069 P==N

Dernière modification par yoshi (30-08-2019 07:54:30)

cosinuspax · 30-08-2019 09:15:32

Salut Yoshi,

Si ce passage est en cause, pourquoi fonctionne-t-il avec des N inférieurs à 60 ?
En tout cas le test est positif. Bravo. M = 19 est assez élevé mais pourquoi pas. Q = 3 je présume ? peux-tu tester des Q plus élevés ?

cosinuspax · 30-08-2019 09:32:23

Tu avais mis dans ton code précédent N = P. C'est plutôt l'inverse : P = N. Sinon je te suis, c'est toujours la même logique pour moi, mais sans doute l'as-tu affinée.
En fait on a deux blocs bien séparés :

1) P = N si L < P tout de suite
2) P > N si L > P tout de suite

Dernière modification par cosinuspax (30-08-2019 18:57:30)

yoshi · 30-08-2019 09:37:29

Re,

Oui, je peux, no pb :

A = 448112341766964559764297625291
B = 398553599201280303607945220797
P = 178596786657737932800833348803878901316132765258159766376927
*** Début du programme ***
Avec Q = 5

P = 6250887533020827648029167208135761546064646784035591823192445
C = 3136786392368751918350083377037 D = 1992767996006401518039726103985
S = 1166833995861576832211950135389 M = 9
P = 6250887533020827648029167208135761546064646784035591823192445
F = 2240561708834822798821488126455 G = 2789875194408962125255616545579
S = 1166833995861576832211950135389 M = 9
*** Début du programme ***
Avec Q = 7

P = 6250887533020827648029167208135761546064646784035591823192445
C = 2240561708834822798821488126455 D = 2789875194408962125255616545579
S = 1166833995861576832211950135389 M = 7
P = 6250887533020827648029167208135761546064646784035591823192445
F = 3136786392368751918350083377037 G = 1992767996006401518039726103985
S = 1166833995861576832211950135389 M = 7
*** Début du programme ***
Avec Q = 9

P = 11251597559437489766452500974644370782916364211264065281746401
C = 3136786392368751918350083377037 D = 3586982392811522732471506987173
S = 3113706375341963032253009862339 M = 9
*** Début du programme ***
Avec Q = 11

P = 21610211185586289868900835205269347059252064596237331731608167
C = 4929235759436610157407273878201 D = 4384089591214083339687397428767
S = 1509421397586962566875417794635 M = 13
P = 21610211185586289868900835205269347059252064596237331731608167
F = 4929235759436610157407273878201 G = 4384089591214083339687397428767
S = 1509421397586962566875417794635 M = 13
*** Début du programme ***
Avec Q = 13

P = 11608791132752965632054167672252128585548629741780384814500255
C = 2240561708834822798821488126455 D = 5181196789616643946903287870361
S = 1087830069572785811788792407365 M = 7
P = 11608791132752965632054167672252128585548629741780384814500255
F = 5825460442970539276935869128783 G = 1992767996006401518039726103985
S = 1087830069572785811788792407365 M = 7
*** Début du programme ***
Avec Q = 15

P = 24110566198794620928112502088523651677677923309851568460885145
C = 4033011075902681037878678627619 D = 5978303988019204554119178311955
S = 3043980899682913947740140646205 M = 11
P = 24110566198794620928112502088523651677677923309851568460885145
F = 6721685126504468396464464379365 G = 3586982392811522732471506987173
S = 3043980899682913947740140646205 M = 11

@+

cosinuspax · 30-08-2019 09:37:47

Merci, super.
Sans doute parmi ces produits certains sont pseudo alignés, mais sur le nombre on peut être quasi sûr qu'il y en a qui sont alignés. Il en suffit d'un qui soit aligné pour le test ultime.

Dernière modification par cosinuspax (30-08-2019 09:41:18)

cosinuspax · 30-08-2019 09:43:46

Je constate également que le processus d'alignement n'est pas fonction de la taille du nombre.

yoshi · 30-08-2019 19:40:34

Salut,

Autres tests avec A et B premiers beaucoup plus grands ?
Qu'ont de spécial ces deux-là :
A = 448112341766964559764297625291
B = 398553599201280303607945220797

pour qu'on sorte du programme tout de suite ?
J'ai vérifié : ils sont bien premiers...
J'ai testé Q jusqu'à 53... Aller plus loin ?

@+

cosinuspax · 30-08-2019 21:38:39

Ces deux-là n'ont rien de spécial, mais comme L > P tout de suite (contrairement aux deux autres qui donnaient L < P tout de suite), ça valait le coup de tester ton code. Maintenant on peut dire que ça fonctionne. Aller plus loin dans les Q ne sert qu'à avoir toujours plus d'alignements. Ici on peut s'arrêter à Q = 15.
Par contre, augmenter le nombre de chiffres, OK. Théoriquement le processus d'alignement est indépendant du nombre de chiffres.

cosinuspax · 30-08-2019 21:42:47

Essaye ces deux-là :

A = 6928549421925621512554273485150663023900541879040250219063866895746762107610041063838532250812097257

B = 2037560909601944415101859734428115289923312805974834293517807472443864779374511336140525331613038573

100 chiffres. Attention, ce sont des premiers probables, pas certains.

Dernière modification par cosinuspax (30-08-2019 21:54:33)

yoshi · 31-08-2019 08:07:14

RE,

C'est bon, ma transcription informatique fonctionne, maintenant, c'est sûr !

. **************************************
* Alignements de produits *
* Idée : cosinuspax *
**************************************

A = 6928549421925621512554273485150663023900541879040250219063866895746762107610041063838532250812097257
B = 2037560909601944415101859734428115289923312805974834293517807472443864779374511336140525331613038573
P = 14117341462360795528795387013213495781269648633639714071274469663952223345621871384263694202230429573917111135887588554857056241441194372376550090457750178670111876274770721027526051296443260568494261
*** Début du programme avec Q = 3 ***

P = 42352024387082386586386161039640487343808945900919142213823408991856670036865614152791082606691288721751333407662765664571168724323583117129650271373250536010335628824312163082578153889329781705482783
C = 6928549421925621512554273485150663023900541879040250219063866895746762107610041063838532250812097257
D = 6112682728805833245305579203284345869769938417924502880553422417331594338123534008421575994839115719
M = 3

*******************
*** Début du programme avec Q = 5 ***

P = 494106951182627843507838545462472352344437702177389992494606438238327817096765498449229297078065035087098889756065599419996968450441803033179253166021256253453915669616975235963411795375514119897299135
F = 34642747109628107562771367425753315119502709395201251095319334478733810538050205319192661254060486285
G = 14262926367213610905713018140996807029463189641823840054624652307107053455621579352983677321291270011
M = 9

*******************
*** Début du programme avec Q = 7 ***

P = 98821390236525568701567709092494470468887540435477998498921287647665563419353099689845859415613007017419777951213119883999393690088360606635850633204251250690783133923395047192682359075102823979459827
C = 6928549421925621512554273485150663023900541879040250219063866895746762107610041063838532250812097257
D = 14262926367213610905713018140996807029463189641823840054624652307107053455621579352983677321291270011
M = 3
P = 98821390236525568701567709092494470468887540435477998498921287647665563419353099689845859415613007017419777951213119883999393690088360606635850633204251250690783133923395047192682359075102823979459827
F = 48499845953479350587879914396054641167303793153281751533447068270227334753270287446869725755684680799
G = 2037560909601944415101859734428115289923312805974834293517807472443864779374511336140525331613038573
M = 3

*******************
*** Début du programme avec Q = 9 ***

P = 889392512128730118314109381832450234219987863919301986490291588828990070774177897208612734740517063156778001560918078955994543210795245459722655698838261256217048205310555424734141231675925415815138443
C = 48499845953479350587879914396054641167303793153281751533447068270227334753270287446869725755684680799
D = 18338048186417499735916737609853037609309815253773508641660267251994783014370602025264727984517347157
M = 9
P = 889392512128730118314109381832450234219987863919301986490291588828990070774177897208612734740517063156778001560918078955994543210795245459722655698838261256217048205310555424734141231675925415815138443
F = 62356944797330593612988461366355967215104876911362251971574802061720858968490369574546790257308875313
G = 14262926367213610905713018140996807029463189641823840054624652307107053455621579352983677321291270011
M = 9

*******************
*** Début du programme avec Q = 11 ***

P = 1087035292601781255717244800017439175157762944790257983488134164124321197612884096588304453571743077191617557463344318723993330590971966672994356965246763757598614473157345519119505949826131063774058097
C = 48499845953479350587879914396054641167303793153281751533447068270227334753270287446869725755684680799
D = 22413170005621388566120457078709268189156440865723177228695882196882512573119624697545778647743424303
M = 9
P = 1087035292601781255717244800017439175157762944790257983488134164124321197612884096588304453571743077191617557463344318723993330590971966672994356965246763757598614473157345519119505949826131063774058097
F = 76214043641181836638097008336657293262905960669442752409702535853214383183710451702223854758933069827
G = 14262926367213610905713018140996807029463189641823840054624652307107053455621579352983677321291270011
M = 9

*******************
*** Début du programme avec Q = 13 ***

P = 917627195053451709371700155858877225782527161186581414632840528156894517465421639977140123144977922304612223832693256065708655693677634204475755879753761613557271957860096866789193334268811936952126965
C = 34642747109628107562771367425753315119502709395201251095319334478733810538050205319192661254060486285
D = 26488291824825277396324176547565498769003066477672845815731497141770242131868647369826829310969501449
M = 7
P = 917627195053451709371700155858877225782527161186581414632840528156894517465421639977140123144977922304612223832693256065708655693677634204475755879753761613557271957860096866789193334268811936952126965
F = 90071142485033079663205555306958619310707044427523252847830269644707907398930533829900919260557264341
G = 10187804548009722075509298672140576449616564029874171467589037362219323896872556680702626658065192865
M = 7

*******************
*** Début du programme avec Q = 15 ***

P = 6564563779997769920889854961144275538290386614642467043142628393737783855714170193682617804037149751871456678187728678008531152270155383155095792062853833081602022467768385277799613852846116164349831365
F = 103928241328884322688314102277259945358508128185603753285958003436201431614150615957577983762181458855
G = 63164388197660276868157651767271573987622696985219863099052031645759808160609851420356285280004195763
M = 33

*******************

Temps écoulé : 0.5 s

Parfois, il y a et D, parfois F et G, parfois les deux (Q=7)
5/10e s seulement...
Tu dois être comblé...

@+

cosinuspax · 31-08-2019 11:42:33

Salut Yoshi,

Merci pour les tests et pour ton aide en général. Comblé, non, pas encore, car il reste encore le test définitif. Je sais seulement que tous les produits sont alignables quelle que soit leur taille (et encore un certain nombre sont pseudo alignés). Evidemment, lors du test définitif, il s'agira de découvrir le produit à partir de N (aligné) et non plus seulement de le tester. Je n'y crois pas trop, mais ça vaut le coup d'expérimenter.

A++

Dernière modification par cosinuspax (31-08-2019 11:43:56)

yoshi · 31-08-2019 11:52:07

re,

Ok, pas comblé...
Mais rassuré sur la faisabilité et surtout sur la rapidité d'obtention de résultats via informatique...
N-B :
- Je n'ai pas de bête de course, elle est dans la moyenne
- Je n'ai pas utilisé la possibilité de paralléliser les calculs.

Donc ta conception est assez saine.

@+

cosinuspax · 31-08-2019 16:55:47

Pas comblé encore mais ultra content que ce premier test soit positif. Je me posais la question du rapport entre A et B et S au fur et à mesure que les nombres grandissent (car S grandit très vite avec la taille). En fait ce rapport reste le même et le nombres d'étapes est toujours très réduit, ce qui permet de tester avec plusieurs Q.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#76 28-08-2019 16:07:04

Re : Alignement de produits

#77 28-08-2019 17:23:26

Re : Alignement de produits

#78 29-08-2019 10:19:52

Re : Alignement de produits

#79 29-08-2019 10:27:52

Re : Alignement de produits

#80 29-08-2019 10:39:05

Re : Alignement de produits

#81 29-08-2019 10:59:34

Re : Alignement de produits

#82 29-08-2019 12:06:47

Re : Alignement de produits

#83 29-08-2019 13:30:15

Re : Alignement de produits

#84 29-08-2019 13:41:16

Re : Alignement de produits

#85 29-08-2019 13:45:55

Re : Alignement de produits

#86 29-08-2019 14:40:23

Re : Alignement de produits

#87 29-08-2019 15:32:18

Re : Alignement de produits

#88 29-08-2019 19:30:12

Re : Alignement de produits

#89 30-08-2019 09:15:32

Re : Alignement de produits

#90 30-08-2019 09:32:23

Re : Alignement de produits

#91 30-08-2019 09:37:29

Re : Alignement de produits

#92 30-08-2019 09:37:47

Re : Alignement de produits

#93 30-08-2019 09:43:46

Re : Alignement de produits

#94 30-08-2019 19:40:34

Re : Alignement de produits

#95 30-08-2019 21:38:39

Re : Alignement de produits

#96 30-08-2019 21:42:47

Re : Alignement de produits

#97 31-08-2019 08:07:14

Re : Alignement de produits

#98 31-08-2019 11:42:33

Re : Alignement de produits

#99 31-08-2019 11:52:07

Re : Alignement de produits

#100 31-08-2019 16:55:47

Re : Alignement de produits

Pied de page des forums