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lekoue

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Restriction de la mésure de Lebesgue de $\mathbb{R}^3$ sur la sphère.

Bonjour à tous;

Soit la sphère $\mathbb{S}^2 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2 = 1\}$ de dimension $2$.

Lorsque nous considérons les coordonnées sphèriques $(x,y,z) = (\cos(\theta)\cos(\phi),\cos(\theta)\sin(\phi),\sin(\theta))$ avec bien-sûr
$(\theta,\phi)\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\times(0,2\pi)$, Quelle est la restriction de la mesure de Lebesgue $d\sigma$ de $\mathbb{R}^3$ sur la sphère $\mathbb{S}^2$ svp?

Es ce que c'est $d\sigma = \cos(\theta)d\theta d\phi$?

Autrement dit es ce que par exemple l'espace des fonctions mesurables et de carré intégrable sur $\mathbb{S}^2$ est défini comme ci-dessous?

$$L^2(\mathbb{S}^2,d\sigma,\mathbb{R}) = \left\{u:\mathbb{S}^2\rightarrow\mathbb{R},\mbox{ mesurable }: \int_{\mathbb{S}^2}|u(\theta,\phi)|^2\cos(\theta)d\theta d\phi<\infty\right\}$$

MERCI!