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ccapucine

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edo d'ordre 2

Bonjour
on considère l'équation du second ordre
$$
Y''(y) - \dfrac{n^2 \pi^2}{a^2}Y(y)=0,
$$
où $a$ est une constante donnée et $n \in \mathbb{N}^\star$.
Je lis que la solution générale de cette edo est:
$$
Y(y)= C_1 cosh(\dfrac{n\pi}{a}y) + C_2 sinh(\dfrac{n\pi}{a}y).
$$
Je ne comprends pas d'où viennent le sinus hyperbolique et le cosinus hyperbolique, comment on arrive à cette formule?

Merci par avance.

Roro

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Re : edo d'ordre 2

Bonsoir ccapucine,

Si tu préfères, tu peux écrire les solutions à l'aide de la fonction exponentielle :
$$Y(y) = A_1 \mathrm e^{\frac{n\pi}{a}y} + A_2 \mathrm e^{-\frac{n\pi}{a}y}.$$

En recombinant les exponentielles, tu peux ré-écrire cela avec les fonctions $\mathrm{cosh}$ et $\mathrm{sinh}$, puisque
$$\mathrm{cosh}(x) = \frac{\mathrm e^x + \mathrm e^{-x}}{2} \quad \text{et} \quad \mathrm{sinh}(x) = \frac{\mathrm e^x - \mathrm e^{-x}}{2}.$$

Roro.