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Sisi

Invité

Séries et Intégrales

Bonjour,

Je rame actuellement sur un problème d'oral CCP et j'aurai besoin d'un coup de main.

L'énoncé est simple:
Montrer que   Integral(0;+infini) sin(t)/sinh(t) dt = Somme(0;+infini) 1/((n+1)^2+n^2)

J'ai essayé de develloper en serie le terme de gauche ou de l'exprimer avec des exp (mais ca ne ce simplifie pas); pour le terme de droite j'ai juste reussi a l'exprimer avec l'identité remarquable complexe: a^2+b^2=(a+ib)(a-ib) en me disant que j'aurai besoin de complexe avec le sinus. Néanmoins cela ne m'a pas avancer et je pantine un peu...

Si vous avez des idées je suis preneuse, merci d'avance :)

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[EDIT] by Yoshi
Une bonne idée, utiliser le Code Latex :
$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{\sinh(t)}\; dt = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{((n+1)^2+n^2}$

Dernière modification par yoshi (02-06-2019 17:47:06)

aviateur

Membre

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Re : Séries et Intégrales

Bonjour
Il faut sortir l'exponentielle du sinh(t) et puis remplacer le dénominateur par son développement en série. Il reste à justifier les opérations
d'interversion  somme et intégrale.

Dernière modification par aviateur (02-06-2019 19:17:11)

Sisi

Invité

Re : Séries et Intégrales

Rebonjour,

Je ne comprend pas pourquoi il faut sortir l'exponentielle si c'est pour la dévellopper après; je ne trouve aucune simplification qui permette d'intégrer "gentiment" après l'inversion somme/intégrale (d'autant plus qu'il reste un sinus)...

En vous remerciant,
Sisi

Fred

Administrateur

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Messages : 7 048

Re : Séries et Intégrales

Bonjour,

  Je pense que :
1. Tu auras besoin de calculer $\int_0^{+\infty}e^{-kt}\sin(t)dt$.

2. Tu dois faire comme Aviateur t'a suggéré :

$$\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}{\sinh(t)}dt=2\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin t}{e^t-e^{-t}}dt=2\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}\sin(t)}{1-e^{-2t}}dt$$
et écrire
$$\frac{1}{1-e^{-2t}}$$ comme somme d'une série (géométrique).

3. Tu vas devoir justifier l'inversion série / intégrale à l'aide d'un des théorèmes de ton cours.

F.

Sisi

Invité

Re : Séries et Intégrales

Et c'est magnifique !

J'étais à côté de la plaque, merci beaucoup ! :)