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#1 31-05-2019 15:51:50
- Ken
- Invité
Equatiuon différentielle
Bonjour, je bloque sur la résolution de l'équation différentielle suivante: $yy''-(y')^2=-\alpha^2y^2$ où $\alpha>0$.
S'il vous plait, pouvez-vous me guider ou me donner une piste pour la résoudre?
Merci.
#2 31-05-2019 20:08:49
- Zebulor
- Membre expert
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- Messages : 2 073
Re : Equatiuon différentielle
Bonsoir,
...Apparente complexité mais il se pourrait bien qu il y ait une différentielle bien dissimulée d'allure bien sympatique dans cette histoire...
Cette équation invite à diviser chaque membre de ton égalité par [tex]y^2[/tex] ...
Dernière modification par Zebulor (01-06-2019 06:04:39)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#3 01-06-2019 06:25:16
- JJ
- Membre
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Re : Equatiuon différentielle
Change de fonction : y(x)=exp(f(x)) et tout devient simple.
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#4 01-06-2019 10:41:51
- Zebulor
- Membre expert
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Re : Equatiuon différentielle
Re,
Je précise et remplace le "il se pourrait bien qu il y ait.." par "il y a" !! :-)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#5 05-06-2019 17:26:08
- Black Jack
- Membre
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Re : Equatiuon différentielle
Bonjour,
Avec les précautions d'usage :
y.y'' - (y')^2 = -a^2.y^2
Solution triviale : y = fonction nulle.
---
Si y est différent de 0 : y''/y - (y'/y)^2 = -a^2 (1)
Poser y'/y = u
on dérive par rapport à x --> (y''.y - y'²)/y² = u'
y''/y - (y'/y)^2 = u' (2)
(1) et (2) --> u' = -a²
on intègre et on trouve u = ...
et avec u = y'/y, on a donc y'/y = ...
On intègre, et sauf erreur, on arrive à : : ln|K.y| = -a².x^2/2 + C1*x
--> y = C2 * e^(-a².x^2/2 + C1*x)
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#6 03-07-2019 12:40:58
- Zebulor
- Membre expert
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Re : Equatiuon différentielle
Bonjour, je bloque sur la résolution de l'équation différentielle E suivante: $yy''-(y')^2=-\alpha^2y^2$ où $\alpha>0$.
Bonjour,
brièvement, au risque de reprendre ce qui a déjà été écrit, mais pour aller à l'essentiel :
E équivaut à : [tex]d\left( \frac{y'}{y} \right)=-\alpha^2[/tex], qu'on intègre..
Dernière modification par Zebulor (03-07-2019 12:47:55)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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