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#26 28-05-2019 12:27:54

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

L'énoncé dit que (CM) est la médiatrice du côté [A'B'] du  triangle A'B'C'
mais l'énoncé ne dit pas que c'est (CH) qui est la médiatrice et je voudrais savoir si je dois le démontrer ?

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#27 28-05-2019 16:44:36

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Re,


Tu as démontré que (BN), hauteur abaissée de B sur [AC] dans le le triangle ABC est aussi le médiatrice de  [A'C'].
L'énoncé dit que (CM) hauteur est la médiatrice de [A'B']
l'énoncé dit aussi que ces hauteurs, donc médiatrices se coupent en H.

Tu rappelles simplement
1 que les hauteurs (BN) et (CN) se coupent en H et que ce sont aussi des médiatrices
2 donc que (BH) et (CH) sont aussi d'autres façons de nommer ces médiatrices...

@+


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#28 28-05-2019 17:06:57

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Salut Yoshi,

Par hypothèse, les hauteurs (BN) et (CM) se coupent en H
donc (BH) et (CH) sont deux autres noms
Par hypothèse, (CM) est la médiatrice du côté [A'B'] du triangle A'B'C'
donc (CH)  est la médiatrice de [A'B']
et j'ai démontré dans la question 3 que (BN) est la médiatrice du côté [A'C']
donc (BH) est aussi la médiatrice de [A'C']

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#29 29-05-2019 10:27:02

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Salut Yoshi, je propose :

1. Par hypothèse, (D)//(BC) et (D1)//(AB)
      donc AB' CB parallélogramme
   Par hypothèse, (D2)//(AC) et (D1)
       doncACA'B parallélogramme
2. Par hypothèse AB'CB parallélogramme alors (B'C) = (AB)
et aussi ACA'B parallélogramme alors (CA')=(AB)
Les deux égalités me donne l'autre égalité B'C = CA'
         donc je peux en déduire que C est le milieu de [A'B']
3.
Par hypothèse, (BN) est la hauteur de [AC] donc (BN) est perpendiculaire à [AC]
La construction indique que (D2)//(AC) donc (BN) est perpendiculaire à [A'C'].
Puisque cette perpendiculaire passe par le milieu de [A'C'] alors par définition de la médiatrice d'un segment, cette perpendiculaire est la médiatrice de [A'C'].
4.
Par hypothèse H est sur la hauteur (BN) et la hauteur (CM)
    puisque la hauteur (BN) est aussi la médiatrice de [A'C']  alors H est aussi sur la médiatrice de [A'C']

Par hypothèse la hauteur (CM) est la médiatrice du côté [A'B']
      donc H est sur la médiatrice de [A'B']

Puisque (BH) est la médiatrice de [A'C'] alors A'H = C'H
et puisque (CH) est la médiatrice de [A'B']  alors A'H = B'H
      A'H = C'H et A'H = B'H alors A'H = C'H = B'H
        Et en particulier C'H = B'H
Comme C'H = B'H alors H est sur la médiatrice de [B'C']
donc (AH) médiatrice.

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#30 29-05-2019 13:00:05

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Re,

alors H est aussi sur la médiatrice de [A'C']

Euh... T'es sûr de toi là ? Un point est une médiatrice ????

donc (AH) médiatrice.

Ta conclusion ne peut être acceptée : tu n'as fait que prouver que H est sur la médiatrice de [B'C'] pas que c'est (AH)...
Cela dit simple question...
A partir du moment où je t'ai remis en mémoire que dans un triangle les 3 médiatrices se coupent en un même point, que je te l'ai fait démontrer, cette propriété, pourquoi  ne pas utiliser directement cette propriété au lieu de refaire la démonstration ?
Tu as montré que (BN) hauteur est aussi médiatrice de [A'C'], l'énoncé te dit que (CN) hauteur est aussi médiatrice du côté [A'B'].
Tu sais aussi que ces hauteurs du triangle A'B'C', donc aussi médiatrices, se coupent en H...
Pourquoi ne pas conclure : puisque les 2 médiatrices se coupent en H, alors la 3e passe aussi par H...
Tu as déjà un point de ladite médiatrice, reste alors à trouver un 2e point lui appartenant et l'énoncé te dit de façon détournée que ce 2e point c'est A, en te disant : Tracer la droite (AH). Montrer qu'elle est la médiatrice du côté [B'C']

@+

.


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#31 30-05-2019 13:28:01

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Salut Yoshi,

Les hauteurs (BN) et (CM) sont aussi médiatrices des côtés [A'C'] et [B'A']
     et ces hauteurs se coupent en H.
              donc  les médiatrices se coupent aussi en H…
puisque les médiatrices passent par un même point alors la médiatrice de [B'C'] également.

Dernière modification par yannD (30-05-2019 13:30:20)

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#32 30-05-2019 14:06:51

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Re,

D'accord... mais qu'est-ce qui te prouve ensuite que la médiatrice de [B'C']  passe par A ?? Tu n'as rien dit là-dessus...

@+


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#33 30-05-2019 14:18:02

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Je sais que AH est une droite parce que l'énoncé me dit : << on trace la droite AH >>

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#34 30-05-2019 14:33:09

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Je ne te demande pas si (AH) est une droite...
C'est une évidence : Par deux points distincts passe toujours une droite (et une seule).
Je ne conteste pas que la médiatrice de [B'C'] passe par H...

Je te demande pourquoi cette médiatrice est (AH), donc pourquoi elle passe aussi par A...
Et la réponse n'est pas :
parce que l'énoncé demande de montrer que la médiatrice de [B'C'] est (AH)...

@+


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#35 30-05-2019 14:48:14

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

j'ai pigé le truc :
l'énoncé me dit : << on admettra sans démonstration que A est le milieu de [B'C']
forcément : je sais que la médiatrice de [B'C'] passe par le milieu du segment [B'C']

Dernière modification par yannD (30-05-2019 14:57:56)

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#36 30-05-2019 15:31:18

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Enfin...

Eh oui ! De nouveau la définition de la médiatrice : droite perpendiculaire au milieu d'un segment.
Reste maintenant la dernière question : une formalité !

Après, une petite "récréation" :
Justifier chaque étape de la construction du triangle RTS ci-dessous rectangle en T.
(TH) est la hauteur relative à l'hypoténuse [RS] et I le milieu de cette hypoténuse.
On donne HI = 4 cm et IS = 7  cm qui sont les seules mesures que vous utiliserez.
Tout calcul est donc  interdit (même non explicite), les seuls instruments autorisés sont compas, crayon (ou stylo) et règle (graduée).

190530053024248336.png

J'ai recensé 3 méthodes Trouves-en déjà une)...

@+


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#37 30-05-2019 16:00:25

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Question 4.
(BN) et (CM) sont les médiatrices des côtés [AC] et [AB]
puisque les deux médiatrices d'un triangle passent par un même point alors la médiatrice de [B'C'] passe aussi par le point H
Donc H est un point de la médiatrice cherchée…

   La médiatrice, par  définition est perpendiculaire et passe par le milieu d'un segment.
et par hypothèse, (il est dit que A est le milieu de [B'C'])
on peut écrire que (AH) est la médiatrice du côté [B'C']

Question 5.

Puisque (AH) est la médiatrice du côté [B'C'] alors (AH) est perpendiculaire à [B'C']
     par hypothèse (D) // (BC) 
          donc (B'C')//(BC)
Puisque (AH) perpendiculaire à [B'C'] alors (AH) est perpendiculaire à [BC].

Puisque H est le point d'intersection des hauteurs (BN) et (CM) alors (AH) est aussi la hauteur du côté [BC] dans le triangle ABC.

Dernière modification par yannD (30-05-2019 16:04:01)

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#38 30-05-2019 16:17:56

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

C'est bon.


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#39 30-05-2019 17:37:12

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Pour la construction du triangle RTS, je propose de construire un rectangle via les diagonales de meme longueur :

I est le milieu de [RS]
et je peux imaginer que [RS] est une diagonale d'un rectangle
je vais ajouter un point que je vais appeler N de façon à avoir une autre diagonale de même longueur

Pour construire le point N
1. Avec le compas, je prends la mesure depuis le point R jusqu'au point I
2. Je place le compas en I et je trace un premier arc de cercle qui coupe (TH) et un deuxième arc de cercle de l'autre coté de la droite (RS)
3. Je prends la mesure depuis le point R jusqu'au point d'intersection de mon premier arc de cercle avec (TH)
Avec la même ouverture de compas, je pique en S et je trace un deuxième arc de cercle qui me donne mon point N

Ainsi, j'ai un parallélogramme de diagonales [RN] et [RS]
les diagonales sont égales, c'est une propriété du rectangle
NRTS  est un rectangle donc l'angle RTS est droit.

Dernière modification par yannD (30-05-2019 17:56:44)

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#40 30-05-2019 17:58:13

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Bonsoir,

Avec le compas, je prends la mesure depuis le point R jusqu'au point I

Le dessin est fourni mais ne peut être utilisé : tu pars d'une feuille blanche...

Je place le compas en I et je trace un premier arc de cercle qui coupe (TH)

Impossible puisque ta feuille est blanche et qu'il n'y figure aucun point, donc ni H, ni T...
Prends le temps de réfléchir et justifie ce que tu fais, sinon, tu vas te retrouver face à une série de "pourquoi ?"...

@+


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#41 30-05-2019 18:17:32

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Par hypothèse, I est le milieu de [RS]
Sur une feuille blanche, je trace avec la règle graduée, une droite de longueur 14 cm
et je place I au milieu
Par hypothèse HI = 4 cm et R, H et I alignés
(TH) est la hauteur

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#42 30-05-2019 18:52:16

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Re,

une droite de longueur 14 cm

1. Une droite est infinie, elle ne peut donc avoir de longueur...
2. 14 c'est soit 7 x 2, soit 7+7 dans les deux cas, tu auras fait un calcul non explicite (i.e sans le dire), donc : refusé !

@+


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#43 30-05-2019 19:15:38

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Bonsoir Yoshi,

RTS rectangle en R
RS est l'hypoténuse et I est le milieu de RS
donc RI = IS
je trace un segment RS et je note I son milieu

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#44 31-05-2019 05:43:26

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Salut,

Je t'ai dit de réfléchir soigneusement : tu as sûrement l'impression que l'exercice est enfantin.

je trace un segment RS et je note I son milieu

C'est déjà mieux, mais là tu n'utilises plus de dimensions : ton segment [RS] a une longueur quelconque, ce qui ne doit pas être le cas.
Et de plus, tu ne me dis pas comment tu vas faire pour piacer le milieu.
En résumé, comment vas-tu savoir que IR=IS=7 avec ta façon de procéder ?

@+


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#45 09-06-2019 11:16:03

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Salut Yoshi, je propose de construire un triangle inscrit dans un cercle :

1. Je prends une ouverture de compas de 7cm et je place la pointe de mon compas à un endroit quelconque…
2. Je trace un cercle de rayon 7cm
3. Avec la règle graduée, je trace un diamètre de ce cercle
4. je note R la 1ere intersection du cercle avec le diamètre et S la 2e intersection et ça va représenter le côté [RS] du triangle
5. Je place un point T sur ce cercle

Par hypothèse [RS] est un diamètre du cercle
et T est un point de ce cercle
Puisque le côté [RS] de mon triangle RTS est un diamètre du cercle et que le point T est un point du cercle alors le triangle RTS  est rectangle en T et [RS] est l'hypoténuse du triangle RTS.

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#46 09-06-2019 11:26:10

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Re,

Je propose de construire un triangle inscrit dans un cercle : oui, mais ce sera un triangle rectangle comme un autre, et l'énoncé demande encore que IH =4... Donc à refaire ou compléter !
Quelques remarques.
1. J'aurais commencé par tracer une droite quelconque, puis placé un point I dessus...
2. Avec la règle graduée, je trace un diamètre de ce cercle. Tu as besoin qu'elle soit graduée la règle pour pouvoir tracer un diamètre ?

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#47 09-06-2019 11:56:48

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

1. Je trace une droite quelconque avec la règle (graduée ou pas)
et je place sur cette droite un point
2. je  note ce point I.
3.  Je prends une ouverture de compas de 7 cm et je trace un cercle de rayon 7cm
4. Je prends une ouverture de 4 cm, je place la pointe de compas sur le point I et je trace  un arc de cercle qui coupe la droite (côté gauche de I) en H

[EDIT]@yoshi
J'ai juste rajouté à la fin : en H

Dernière modification par yoshi (10-06-2019 15:23:48)

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#48 09-06-2019 12:02:21

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Re,

Oui, et après ?

@+


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#49 09-06-2019 12:22:49

yannD
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

je bloque sur la construction de [HT]

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#50 09-06-2019 13:01:13

yoshi
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Re : Montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point

Que dit l'énoncé sur (TH) ?


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