Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 11-03-2019 11:08:12

jejedav
Invité

Equa-Diff solution analytique ?

Bonjour je voudrais savoir si il était possible de trouver une solution analytique pour ce genre d'équation différentielle ? Dans quel cas je suis ?

m(dv/dt) = mg + k(v-f(t))2
f(t) = e-t

conditions initiales :
v0 = 0 m/s
y0 = 3000 m
t0 = 0 s

m = masse en kg
v = vitesse de la particule sur la composante y en m/s
t = temps en secondes
g = accélération m/s2
k = coefficient de frottement de l'air constant
f(t) = vélocité du vent en fonction de t
k(v-f(t)) = résistance de l'air appliqué sur la particule en prenant en compte la vélocité relative de la goutte par rapport à la vélocité du vent (ici une seule composante y il n'y a aucun vecteur).

constantes => k, m, g
variables => v, t

Sinon il y a un autre cas que je pense plus compliqué à résoudre analytiquement :

m(dv/dt) = mg + k(v-f(y))2
f(y) = e-y

Ici la fonction f(y) retournes la vélocité du vent en fonction de la position y de la particule, au lieu de f(t) qui retournais la vélocité du vent en fonction du temps.

y = position y de la particule

constantes => k, m, g
variables => v, y

Cordialement.

#2 11-03-2019 11:33:19

dsb
Banni(e)
Inscription : 02-02-2019
Messages : 111

Re : Equa-Diff solution analytique ?

Bonjour

edit mal vu

[tex]mv^{\prime}(t)=mg+k\left(v(t)-e^{-t}\right)^2[/tex]

pourquoi ne pas essayer de poser [tex]v(t) =2cosh (t)[/tex]?

Dernière modification par dsb (11-03-2019 12:04:31)

Hors ligne

#3 11-03-2019 11:44:25

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : Equa-Diff solution analytique ?

Bonjour,

La première équation s'intègre facilement, elle est de la forme $\dfrac{dv}{dt}=u(t)$, qui donne $v=U(t)+c$, où $U$ est une primitive de $u$ et $c$ est une constante qu'on détermine grâce aux conditions initiales.

Pour le deuxième cas, on a $v=\dfrac{dy}{dt}$, non ?

Hors ligne

#4 11-03-2019 22:50:19

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 409

Re : Equa-Diff solution analytique ?

Bonjour,

Je suis un peu décontenancé par la forme de l'énoncé, et la solution proposée. Mais peut-être ai-je mal lu ?

# Parlons tout de suite de la solution: l'équation différentielle à résoudre n'est pas du type dv/dt = u(t) , mais plutôt
dv/dt = u(v, t); et si l'on regarde de près l'expression de la dérivée:
(dv/dt) = g + (k/m)(v-f(t))2
les variables ne sont même pas séparables.
Je ne vois guère le moyen de la résoudre, à moins que quelque chose m'ait totalement échappé ...

# Ce qui me met beaucoup plus mal à l'aise, ce sont les anomalies physiques de l'énoncé.

1°) Le terme (v - f(t)) n'est pas homogène, parce que (v) représente une vitesse, tandis que f(t) = exp(-t) (selon l'énoncé) est un nombre sans dimension, indépendant du système d'unités choisi;
on devrait avoir: f(t) = v1.exp(-t) , la valeur de (v1) (donnée homogène à une vitesse) étant fixée pas l'énoncé.

2°) Les conditions initiales
v0 = 0 m/s
y0 = 3000 m
t0 = 0 s

font du mouvement étudié une chute libre sans vitesse initiale, dont la trajectoire est la verticale du lieu; cette chute est ralentie par la résistance de l'air, opposée à la vitesse du mobile donc dirigée vers le haut, tandis que le vecteur (v) est comme la force motrice (mg) dirigée vers le bas; les deux termes présentent donc des signes opposés, quelle que soit l'orientation choisie pour l'axe vertical (y'y): l'équation différentielle devrait ainsi s'écrire:
a) dans le cas d'un axe ascendant (v < 0): m(dv/dt) = - mg + k(v-f(t))2 ,
b) dans le cas d'un axe descendant (v > 0): m(dv/dt) = mg - k(v-f(t))2 .

3°) La présence du terme f(t) confère à l'équation une allure bizarre et gratuitement compliquée; l'auteur de l'énoncé initial aurait-il voulu tenir compte de ce que la résistance de l'air est proportionnelle à sa densité, laquelle est fonction exponentielle décroissante de l'altitude (si l'on convient d'un axe vertical ascendant) ?
Cela conduirait à une équation différentielle un peu modifiée:
m(dv/dt) = - mg + k(v.exp(-y/y1))2 ... dont la difficulté ne s'arrange pas !

4°) À propos du vent:
k(v-f(t)) = résistance de l'air appliqué sur la particule en prenant en compte la vélocité relative de la goutte par rapport à la vélocité du vent (ici une seule composante y il n'y a aucun vecteur).
Un mouvement unidimensionnel implique un vent vertical ... moi, je veux bien ...
La valeur de la constante (k) n'est pas donnée.

Mais il ne s'agit plus là de mathématiques, ni de physique, mais de la reconstitution hasardeuse de textes.

Dernière modification par Wiwaxia (11-03-2019 23:31:21)

Hors ligne

#5 12-03-2019 07:03:45

jejedav
Invité

Re : Equa-Diff solution analytique ?

@Wiwaxia

Concernant la forme de la solution dv/dt = u(v,t) je suis d'accord avec vous.

Ensuite, je vais rappeler l'énoncé et reformuler certains points

- Il n'y a aucun vecteurs dans l'équation, un seul axe est concerné dans le calcul, celui de la chute verticale de la particule. Donc v n'est pas un vecteur juste une valeur de vitesse sur la verticale (v sur l'énoncé écrite comme vitesse sur la composante y).
- f(t) ou exp-t est un nombre en m/s c'est une vitesse également (sur l'énoncé il était marqué vélocité) sur la composante y qui va varier en fonction du temps t sous forme exponentielle.
- v-f(t) c'est la vitesse de la particule par rapport à la vitesse du vent toujours en m/s
- k est un coefficient constant en kg/m (k le coefficient de portée de l'air, et k(v-f(t))² la force de resistance de l'air) ça vaut -0.000102 kg/m, , effectivement j'ai oublié d'énoncer son unité erreur de ma part. Mais sa valeur importe peu, dans ce cas je n'ai pas donné la valeur aussi pour m la masse de la particule et g ce sont des valeurs constantes on peux leur affecter la valeur qu'on veux tant que leur unité est bien définie, ce qui est important c'est de réussir à résoudre l'équation (si il y a une solution possible car je n'en voit pas non plus).

Par contre :
- on ne va étudier que le cas descendant mg + k(v-f(t))² sachant que k est signé (-) donc on a opposition des forces. Mais comme on a un carré (v-f(t))² il faut traiter le cas où v-f(t) est positif et le cas négatif différemment.

J'espère que c'est plus clair. N'hésitez pas à me dire si il y a un truc qui cloche.

#6 12-03-2019 10:00:47

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 409

Re : Equa-Diff solution analytique ?

Re-bonjour,

Je tente de répondre aux précisions que vous avez données.

1°) Il n'y a aucun vecteurs dans l'équation, un seul axe est concerné dans le calcul, celui de la chute verticale de la particule ...
on ne va étudier que le cas descendant mg + k(v-f(t))² sachant que k est signé (-) donc on a opposition des forces ...

J'ai bien compris que c'était un problème unidimensionnel, et que tous les vecteurs se réduisent à une composante unique; le choix d'un axe vertical orienté vers le bas conduit ainsi aux expressions:
g = g.uy ; v = v.uy ; γ = (dv/dt).uy ... etc
C'était une imprécision sans gravité.

2°) k est un coefficient constant en kg/m (k le coefficient de portée de l'air, et k(v-f(t))² la force de résistance de l'air) ça vaut -0.000102 kg/m ...
Le signe s'accorde avec la convention précédente, aux fortes valeurs de la vitesse. L'écriture de ce terme appelle cependant quelques remarques:
a) L'expression d'une loi de force fait en principe intervenir des constantes positives, à moins qu'il ne s'agisse de paramètres algébriques susceptibles d'inversion de signe; la résistance au mouvement exercée par le fluide ambiant devrait s'exprimer en fonction de la vitesse relative du mobile par une relation de la forme:
Fa = - k.│vr│vr , avec k = + 0.000102 kg/m .
b) Une chute libre d'une hauteur de 3000 m conduirait en l'absence de tout freinage à une vitesse finale

vfin = (2g.y0)1/2 = 243 m/s = 873 km/h .

Or tout se passant sur un axe unique, cela suppose l'intervention de vents verticaux qui pour avoir un effet sensible, devraient dépasser 100 km/h; c'est approximativement le seuil des plus violentes tempêtes observées sur Terre (~ 200 km/h), au sein desquelles circulent des vents horizontaux, exceptionnellement hélicoïdaux au coeur des tornades.
c) L'expression même de la vitesse relative vr = v - f(t) = v - exp-t implique pour l'air ambiant une vitesse positive, donc un vent descendant (pourquoi pas ?) au plus égal à 1 m/s, soit 3.6 km/h : est-il vraiment indispensable de maintenir ce terme, compte tenu des vitesses acquises au cours du mouvement étudié ?
La même observation vaut pour l'autre loi proposée (f(y) = e-y) .

3°) f(t) ou exp-t est un nombre en m/s c'est une vitesse également ...
L'écriture des expressions (v - e-t) , (v - e-y) est profondément choquante, parce qu'elles mêlent dans une même somme algébrique une grandeur physique (ici exprimée en m/s) à un autre terme dépourvu d'unité; et les arguments des exponentielles devraient être de même sans dimension ...
Il faut écrire, pour que cela ait un sens: (v - v1.e-t/T1) , (v - v1.e-y/y1) en précisant v1 = 1 m/s , T1 = 1 s , y1 = 1 m.
Il ne s'agit pas d'un simple point de grammaire: si l'on prend la peine d'écrire des équations homogènes, on dispose d'un moyen simple de vérification de tout ce que l'on peut en déduire: des éventuelles solutions analytiques, comme des grandeurs particulières (temps de parcours, vitesse finale, etc ...).
Il faudrait en fait reprendre tout l'énoncé, en ne faisant intervenir que des grandeurs sans dimension: c'est la démarche habituelle, pour décrire le comportement d'un système.

4°) De tout ce qui précède, on peut s'accommoder au prix de quelques corrections. Le reproche essentiel que l'on peut faire au problème posé, c'est qu'il n'a pas de sens physique, et débouche sur une équation différentielle insoluble.

Dernière modification par Wiwaxia (12-03-2019 13:45:16)

Hors ligne

#7 12-03-2019 10:16:05

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : Equa-Diff solution analytique ?

Oui, au temps pour moi, je me suis trompé et ai zappé le $v$ qui était pourtant bien là dans $(v-f(t))^2$.  Désolé !

Hors ligne

#8 12-03-2019 10:21:13

jejedav
Membre
Inscription : 12-03-2019
Messages : 1

Re : Equa-Diff solution analytique ?

Merci beaucoup d'abord pour le temps pris pour répondre aux questions.

Ensuite j'ai mieux compris ce que vous vouliez dire, effectivement ce n'était pas clair. Et si j'ai bien compris ce que vous me dites, même au prix des corrections que vous avez apporté il n'existe pas de solutions.

Pour la partie 2°b et 2°c je travailles avec des particules sphériques très fines ayant de vfin = 3 m/s ou vfin = 7 m/s
pour les plus grosses donc c'est pour cela que je ne souhaites pas négliger la vitesse du vent.

Dernière modification par jejedav (12-03-2019 10:22:36)

Hors ligne

#9 12-03-2019 13:44:33

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 409

Re : Equa-Diff solution analytique ?

Pour la partie 2°b et 2°c je travailles avec des particules sphériques très fines ayant de vfin = 3 m/s ou vfin = 7 m/s
pour les plus grosses donc c'est pour cela que je ne souhaites pas négliger la vitesse du vent.

Les ordres de grandeur apparaissent mieux appropriés, au moins pour les vitesses.
Les hauteurs de chute se ramènent à quelques mètres, au moins pour la phase initiale du mouvement (h = v2/2g).
Si la hauteur totale est réellement de 3000 m, on pourrait peut-être considérer que la vitesse d'équilibre dynamique est quasiment atteinte sur la quasi-totalité du parcours, et envisager la résolution de l'équation différentielle approchée:

mg = -k(v - f(t))2

obtenue en négligeant le terme d'inertie (m│dv/dt│max << mg et │k│(v - f(t))2) .
Ce raccourci peut choquer, mais les matheux en donneront une version présentable.

L'équation simplifiée s'intègre facilement, à vue d'oeil.
[Là, je suis contraint d'interrompre]

Dernière modification par Wiwaxia (14-03-2019 12:37:12)

Hors ligne

Pied de page des forums