Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 10-03-2019 16:50:52

Jean4Logic
Invité

3=0, trouvez l'erreur!

Bonjour,

j'ai trouvé ce problème de logique sur https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM (anglais), et j'aimerais avoir votre avis:
soit (P): [tex]
x \in \mathbb{R} / x^2+x+1=0
[/tex]

Comme x n'est pas solution, on peut diviser par x, ce qui donne:
(1) [tex]x+1+\frac{1}{x}=0[/tex]

or d'après (P), [tex]x+1=-x^2[/tex]
(2) donc [tex]\frac{1}{x}-x^2=0[/tex]
(3) soit [tex]x^3=1[/tex]
(4) et donc x=1

Et en remplaçant x=1 dans (P), on obtient 3=0...

Cela dit, écrit comme cela, malgré les apparences, il n'y a pas de contradiction: on part de (P), on en déduit des choses, donc tout ce que l'on peut dire c'est que si (P) alors x=1, mais à l'évidence la réciproque n'est pas vraie.

Raisonnons donc par équivalences, i.e. prenons soin lors des transitions de bien avoir (P)=>(Q) et (Q)=>(P).

Et là, il me semble que l'équivalence est valide pour toutes les lignes, le pb, c'est que je vois bien où est la ligne de l'erreur (passage de (1)->(2) en substituant x+1 par [tex]-x^2[/tex]) mais je ne vois pas pourquoi cette manipulation n'est pas valide.
Sur les commentaires youtube, je ne suis pas plus convaincu: effectivement il y a rajout de la solution x=1 par cette transition, mais je ne vois pas pourquoi l'équivalence des propositions est brisée.
Soit:
(P1): [tex]x^2+x+1=0[/tex]
(P2): [tex]x+1+\frac{1}{x}=0[/tex]
on a (P1)<=>(P2), on peut donc utiliser (P1) et (P2) à loisir sans briser l'équivalence en écrivant:
(P3)<=>[tex]\frac{1}{x}-x^2=0[/tex]
Pourtant c'est faux...

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer, j'ai fait des maths il y a longtemps et je suis sans doute un peu rouillé...
Merci,
Jean

#2 10-03-2019 17:44:44

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 550

Re : 3=0, trouvez l'erreur!

Bonjour,

En fait, le problème (P) tel que tu l'énonces : $x\in \mathbb R ~/~ x^2+x+1 = 0$ n'a pas de solution (c'est une équation du second degré de discriminant négatif).

Le raisonnement qui suit n'a donc pas de sens puisqu'il est basé sur l'utilisation d'une telle solution.

On pourrait me dire qu'il existe des solutions dans $\mathbb C$ à la même équation $x^2+x+1 = 0$, mais dans ce cas, le résultat $x^3=1$ n'implique pas seulement $x=1$ mais il implique $x=1$ ou $x=\mathrm e^{2i \pi/3}$ ou ou $x=\mathrm e^{-2i \pi/3}$...

Roro.

Dernière modification par Roro (10-03-2019 17:45:22)

Hors ligne

#3 10-03-2019 19:27:01

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : 3=0, trouvez l'erreur!

Bonsoir,

Le raisonnement a bien le sens suivant : il montre que pour tout nombre réel $s$, si $x^2+x+1=0$ alors $3=0$. Cet énoncé est différent de l'énoncé $3=0$

Hors ligne

#4 10-03-2019 20:03:26

LAANAIYA
Invité

Re : 3=0, trouvez l'erreur!

Ce raisonnement c'est comme un raisonnement par absurde , car vous supposez que l'équation admet une solution dans R est puis vous arrivez à une contradiction:3=0

#5 10-03-2019 21:36:38

Jean4Logic
Invité

Re : 3=0, trouvez l'erreur!

Bonsoir,

je suis sans doute un peu rouillé mais je n'adhère pas à l'idée du raisonnement par l'absurde pour ce cas, pour moi un tel raisonnement suppose quelque chose et on en déduit (pas forcément en raisonnant par équivalences, les implications suffisent) quelque chose que l'on sait être faux.
Ici, on en déduit x=1, ce qui est possible mais comme on a raisonné par implications et non équivalences, il convient de vérifier que le résultat obtenu fonctionne dans la proposition de départ, ce qui n'est pas le cas ici. Donc effectivement il n'y a pas de solution dans [tex]\mathbb{R}[/tex]

Ici, ce qui me chagrine, c'est qu'il me semble que chaque ligne est une équivalence logique de la ligne précédente, donc en ce cas le résultat final est strictement équivalent à la proposition d'origine (pas besoin d’effectuer une réciproque si je me souviens bien du terme employé en 1ere S).
Mais l'équivalence est brisée à la deuxième étape sans que je comprenne pourquoi.

#6 10-03-2019 22:08:08

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : 3=0, trouvez l'erreur!

Salut,

en fait, le raisonnement se casse la figure dès la première phrase puisque aucun réel n'est solution de cette équation, à l'évidence.
Du coup, on peut enchainer les équivalences et aboutir à une absurdité, une prémisse fausse ne peut pas conduire à une conclusion vraie.

Remarque : il faut écrire : "puisque x= 0 n'est pas solution, alors ..."


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#7 10-03-2019 22:08:27

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : 3=0, trouvez l'erreur!

Hum...
@Jean4logic :  Comment fais-tu pour montrer P2 à partir de P3 ?
@Freddy : le raisonnement (sans équivalence, juste des implications) est parfaitement correct. Je le répète, c'est une démonstration irréprochable de
$$\forall x \in \mathbb R\quad (x^2+x+1=0 \implies 0=3)\;.$$

Dernière modification par Michel Coste (10-03-2019 22:11:32)

Hors ligne

#8 10-03-2019 22:41:02

Jean4Logic
Invité

Re : 3=0, trouvez l'erreur!

@Michel, c'est bien là que la bât blesse, je crois que j'ai une piste:

@Jean4logic :  Comment fais-tu pour montrer P2 à partir de P3 ?

(P1): [tex]x^2+x+1=0[/tex]
(P2): x+1+[tex]\frac{1}{x}=0[/tex]
(P3):[tex]\frac{1}{x}−x^2=0[/tex]
On a: (P1)<=>(P2) (en notant que x ne peut être nul)
En remplaçant 'x+1' de (P3) en se servant du 'x+1' de (P2), en gros:
si A+B=0 et B+D=0 alors A-D=0 mais effectivement on ne peut revenir en arrière si ce n'est à faire:
((A+B=0) et (B+D=0)) <=> ((A-D=0) et (A+B)=0)
donc ici (P2)<=>((P3) et (P2)) et on aura bien une contradiction à la fin.
Mais c'est un peu tard, je verrais demain...
Merci pour vos remarques en tout cas,
Jean

#9 11-03-2019 02:35:47

Deugard
Membre
Inscription : 28-12-2018
Messages : 36

Re : 3=0, trouvez l'erreur!

Bonsoir,
La confusion consiste à considérer   [tex]x^2+x+1=0[/tex]  et   [tex]x+1+\frac{1}{x}=0[/tex]  comme une seule équation,
au lieu de les considérer comme un système à deux équations .
Ainsi, après avoir effectué la substitution de  x+1 , on obtient le système des deux équations
[tex]x^2+x+1=0[/tex]  et  [tex]x^3-1=0[/tex] ,  la première excluant la valeur 1,  ou plutôt imposant les
deux autres valeurs racines cubiques de l'unité .
Si l'on considère le système d'équations   [tex]x^2+a=0[/tex]  et  [tex]\frac{1}{x}+a=0[/tex] , on obtient , par
substitution de a :  [tex]x^2-\frac{1}{x}[/tex] , mais on perd l'information de a si on ne considère pas les deux
premières équations comme un système ; mais comme les deux équations sont équivalentes
lorsque a=x+1, cela explique la confusion .

Hors ligne

#10 11-03-2019 09:17:24

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : 3=0, trouvez l'erreur!

P3 n'entraîne pas P2. La preuve, P3 est vérifiée pour x=1, pas P2.

Où est le problème ? En chassant les dénominateurs, P3 équivaut à $1-x^3=0$, c.-à-d. $(1-x)(1+x+x^2)=0$ tandis que P2 équivaut à $1+x+x^2=0$. On voit ainsi pourquoi P2 entraîne P3, et pourquoi P3 n'entraîne pas P2.

Hors ligne

#11 11-03-2019 10:10:36

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : 3=0, trouvez l'erreur!

Michel Coste a écrit :

Hum...
@Freddy : le raisonnement (sans équivalence, juste des implications) est parfaitement correct. Je le répète, c'est une démonstration irréprochable de
$$\forall x \in \mathbb R\quad (x^2+x+1=0 \implies 0=3)\;.$$

Salut,

on est bien d'accord, il est prouvé que la proposition $(F \implies F)$ est vraie !
C'est cela qui trouble nos amis !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#12 12-03-2019 12:44:43

Jean4Logic
Invité

Re : 3=0, trouvez l'erreur!

Bonjour,

@Michel Coste/Freddy:

∀x∈R(x2+x+1=0⟹0=3).

Je dirais plutôt: [tex](\exists x \in \mathbb{R} / x^2+x+1=0) \Rightarrow x=1[/tex]
d'après les implications logiques.
Mais je ne vois pas pourquoi on pourrait alors écrire: (x=1) [tex]\Rightarrow (3=0)[/tex]
Si ce n'est à remplacer x par 1 dans la proposition d'origine, or pour moi ce n'est pas valide vu que l'on a raisonné par implications et non pas par équivalences.

Le seul truc que l'on en déduise, c'est que si [tex](\exists x \in \mathbb{R} / x^2+x+1=0) alors x=1[/tex] mais comme x=1 n'est pas solution de la proposition initiale, cette equation n'a pas de solution dans [tex]\mathbb{R}[/tex].

Cela dit, j'ai ma réponse à ma question initiale, là c'est juste pour clarifier un point.

Bonne journée,
Jean

#13 12-03-2019 16:42:04

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 1 095

Re : 3=0, trouvez l'erreur!

Jean4Logic a écrit :

Je dirais plutôt: [tex](\exists x \in \mathbb{R} / x^2+x+1=0) \Rightarrow x=1[/tex]
d'après les implications logiques.

As-tu bien conscience que "ce que tu dirais plutôt" est équivalent à
$$(\exists y \in \mathbb{R}\quad y^2+y+1=0) \Rightarrow x=1$$
(le $x$ de la sous-formule quantifiée à gauche de l'implication est une variable liée, donc muette, qu'on peut remplacer par $y$ sans changer le sens; celui à droite de l'implication est une variable libre, en dehors de la portée de la quantification). Je pense que tu as une mauvaise lecture des quantifications.
Ce qu'on a effectivement c'est une démonstration de
$$\forall x \in \mathbb R\quad (x^2+x+1=0 \implies x=1)\;.$$
La démonstration en effet se déroule comme ça : soit $x$ tel que $x^2+x+1=0$ bla bla ... alors $x=1$ ; c'est le même $x$ du début à la fin. Ensuite, bien sûr, on en déduit
$$\forall x \in \mathbb R\quad (x^2+x+1=0 \implies 3=0)\;,$$
parce que $\forall x\in \mathbb R \quad\big( (x^2+x+1=0 \text{ et } x=1)\implies 3=0\big)$.

Dernière modification par Michel Coste (12-03-2019 16:44:54)

Hors ligne

Pied de page des forums