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#1 21-02-2019 17:14:56

dsb
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moy. arithmético-géométrique et quadratico-harmonique pour LCI dans R

Bonjour

En ce moment j'écris tout ce que j'ai fais au stylo au propre pour remplacer mes papiers

Comme je viens de le faire au propre je le propose ici pour le cas où ça intéresse quelqu'un

En ce qui me concerne cela me sert à accélérer certaines suites convergentes -mais pas toutes , je le précise) 

Dans ce qui suit pour tout [tex] \left(x,y\right)\in \mathbb {R}\times  \mathbb {R} [/tex] on pose
[tex]\sigma _{\alpha}=\left\lfloor\dfrac{2.\left\lfloor\dfrac{x+|x|+|y|+1}{y+|x|+|y|+1}\right\rfloor}{\left\lfloor\dfrac{x+|x|+|y|+1}{y+|x|+|y|+1}\right\rfloor +1}\right\rfloor[/tex]
[tex]\sigma _{\beta}=\left\lfloor\dfrac{2.\left\lfloor\dfrac{y+|y|+|x|+1}{x+|y|+|x|+1}\right\rfloor}{\left\lfloor\dfrac{y+|y|+|x|+1}{x+|y|+|x|+1}\right\rfloor +1}\right\rfloor[/tex]

En deux points
1. Ensemble non dénombrable de lois de composition internes dans le corps des réels à partir de la moyenne arithmético-géométrique
2. Ensemble non dénombrable de lois de composition internes dans le corps des réels à partir de la moyenne quadratico-harmonique

1.Ensemble non dénombrable de lois de composition internes dans le corps des réels à partir de la moyenne arithmético-géométrique
Soient deux réels strictement positifs [tex]a > 0[/tex] et [tex]b > 0[/tex]
On considère leur moyenne arithmético-géométrique que l'on note [tex]M\left(a,b\right)[/tex]
et pour simplifier on notera [tex]M\left(x\right)=M\left(1,x\right)[/tex]
La moyenne  arithmético-géométrique de [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] est par définiton
la limite commune de deux suites adjacentes [tex]\left(a_n\right)[/tex] et [tex]\left(b_n\right)[/tex]
quand [tex]n[/tex] tend vers l'infini
En posant [tex]a_0=a[/tex] et [tex]b_0=b[/tex]
[tex]a_{u+1}=\dfrac {a_u+b_u}{2}[/tex] et [tex]b_{u+1}=\sqrt {a_ub_u}[/tex]
On obtient [tex]M\left(a,b\right)=\underset {n\rightarrow \infty}{\text {lim}} a_n=\underset {n\rightarrow \infty}{\text {lim}} b_n[/tex]
Par symétrie si l'on pose [tex]0 < b \leq a[/tex] alors on vérifie
[tex]0 < b_u \leq b_{u+1} \leq a_{u+1} \leq a_u [/tex]
[tex]M\left(x,x\right)=x[/tex]
[tex]M\left(a,b\right)=M\left(b,a\right)[/tex]
[tex]M\left(ac,bc\right)=cM\left(a,b\right)[/tex]
[tex]M\left(a,b\right)=M\left(\dfrac {a+b}{2},\sqrt {ab}\right)[/tex]
[tex]M\left(\dfrac {1}{x}\right)=\dfrac {M\left(x\right)}{x}[/tex]

-Loi de composition interne [tex]x*y:\mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}[/tex]
[tex]x*y=M\left(\left|x-y\right|+1\right)+y\sigma _{\alpha}+x\sigma _{\beta}-x\sigma _{\alpha}\sigma _{\beta}-1[/tex]
Propriétés
[tex]\forall x\in \mathbb {R},x*x=x[/tex]
[tex]\forall x,y \in \mathbb {R},x*y=y*x[/tex] et l'équivalence [tex]\left( x > y \right)\Leftrightarrow \left( x > x*y > y \right)[/tex]
[tex]\forall x,y,z \in \mathbb {R},\left(x*y\right)+z=\left(x+z\right)*\left(y+z\right)[/tex]

-Loi de composition interne [tex]x\overset {t}{*}y:\mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}[/tex]
On fixe un réel strictement positif de valeur non l'unité [tex]t\in \mathbb {R}_+^*-\{1\}[/tex]
[tex]x\overset {t}{*}y=z[/tex] la valeur de [tex]z[/tex] est le réel dont converge la suite [tex]\left(z_n\right)[/tex]
[tex]z_0=x+\left(y-x\right)M\left(t\right)[/tex]
[tex]z_1=x+\left(2\sigma _{\beta}-1\right)M\left(\left|x+\dfrac {y}{2}-\dfrac {3z_0}{2}\right|,\left|x-z_0\right|\right)[/tex]
pour [tex]n > 1[/tex]
[tex]z_n=x+\left(2\sigma _{\beta}-1\right)M\left(\left|x-z_{n-1}+\dfrac {z_{n-2}-z_{n-1}}{\left(n+1\right)!}\right|,\left|x-z_{n-1}\right|\right)[/tex]
Propriétés
[tex]\forall x\in \mathbb {R},x\overset {t}{*}x=x[/tex]
[tex]\forall x,y\in \mathbb {R},x+y=\left(x\overset {t}{*}y\right)+\left(y\overset {t}{*}x\right)[/tex]
[tex]\forall x,y,z\in \mathbb {R},[/tex]
[tex]\left(x\overset {t}{*}y\right)+z=\left(x+z\right)\overset {t}{*}\left(y+z\right)[/tex]
[tex]\left(x\overset {t}{*}y\right).z=\left(x.z\right)\overset {t}{*}\left(y.z\right)[/tex]
[tex]\left(x\overset {t}{*}y\right)\overset {t}{*}z=\left(x\overset {t}{*}z\right)\overset {t}{*}\left(y\overset {t}{*}z\right)[/tex]

-Lorsque [tex] 0 < t < 1 [/tex] et [tex] x < y [/tex] on vérifie [tex] x < x \overset {t}{*} y < y[/tex]
-Lorsque [tex] t > 1 [/tex] et [tex] x < y [/tex] on vérifie [tex] x < y < x \overset {t}{*} y [/tex]
-Lorsque [tex] t > 1 [/tex] et [tex] x > y [/tex] on vérifie [tex] x > y > x \overset {t}{*} y[/tex]

-Lois conjuguées
Soient cinq réels distincts deux à deux [tex]a,b,c,t,t^{\prime}[/tex] tels que
[tex]a \overset {t}{*} b = c [/tex] et [tex]a \overset {t^{\prime}}{*} c = b [/tex]
alors quels que soient deux réels [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] on vérifie
[tex]x \overset {t^{\prime}}{*} \left( x \overset {t}{*} y \right) = x  \overset {t}{*} \left( x  \overset {t^{\prime}}{*} y \right) = y[/tex]
[tex]\left( x  \overset {t}{*} y \right) \overset {t^{\prime}}{*} x = x - y + \left( x \overset {t}{*} y \right)[/tex]
[tex]\left( x  \overset {t^{\prime}}{*} y \right) \overset {t}{*} x = x - y + \left( x \overset {t^{\prime}}{*} y \right)[/tex]
On dit que les lois définies par [tex] \overset {t}{*} [/tex] et [tex] \overset {t^{\prime}}{*} [/tex] sont conjuguées

2.Ensemble non dénombrable de lois de composition internes dans le corps des réels à partir de la moyenne quadratico-harmonique
Soient deux réels strictement positifs [tex]a > 0[/tex] et [tex]b > 0[/tex]
On considère leur moyenne quadratico-harmonique que l'on note [tex]N\left(a,b\right)[/tex]
et pour simplifier on notera [tex]N\left(x\right)=N\left(1,x\right)[/tex]
La moyenne  quadratico-harmonique de [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] est par définiton
la limite commune de deux suites adjacentes [tex]\left(a_n\right)[/tex] et [tex]\left(b_n\right)[/tex]
quand [tex]n[/tex] tend vers l'infini
En posant [tex]a_0=a[/tex] et [tex]b_0=b[/tex]
[tex]a_{u+1}=\dfrac {2}{\dfrac {1}{a_u}+\dfrac {1}{b_u}}[/tex] et [tex]b_{u+1}=\sqrt {\dfrac {a_u^2+b_u^2}{2}}[/tex]
On obtient [tex]N\left(a,b\right)=\underset {n\rightarrow \infty}{\text {lim}} a_n=\underset {n\rightarrow \infty}{\text {lim}} b_n[/tex]
Par symétrie si l'on pose [tex]0 < b \leq a[/tex] alors on vérifie
[tex]0 < b_u \leq b_{u+1} \leq a_{u+1} \leq a_u [/tex]
[tex]N\left(x,x\right)=x[/tex]
[tex]N\left(a,b\right)=N\left(b,a\right)[/tex]
[tex]N\left(ac,bc\right)=cN\left(a,b\right)[/tex]
[tex]N\left(a,b\right)=N\left(\dfrac {2}{\dfrac {1}{a}+\dfrac {1}{b}},\sqrt {\dfrac {a^2+b^2}{2}}\right)[/tex]
[tex]N\left(\dfrac {1}{x}\right)=\dfrac {N\left(x\right)}{x}[/tex]

-Loi de composition interne [tex]x \# y :\mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}[/tex]
[tex]x \# y=N\left(\left|x-y\right|+1\right)+y\sigma _{\alpha}+x\sigma _{\beta}-x\sigma _{\alpha}\sigma _{\beta}-1[/tex]
Propriétés
[tex]\forall x\in \mathbb {R},x \# x=x[/tex]
[tex]\forall x,y \in \mathbb {R},x \# y = y \# x[/tex] et l'équivalence [tex]\left( x > y \right)\Leftrightarrow \left( x > x \# y > y \right)[/tex]
[tex]\forall x,y,z \in \mathbb {R},\left(x \# y\right)+z=\left(x+z\right) \# \left(y+z\right)[/tex]

-Loi de composition interne [tex]x\overset {t}{\#}y:\mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}[/tex]
On fixe un réel strictement positif de valeur non l'unité [tex]t\in \mathbb {R}_+^*-\{1\}[/tex]
[tex]x\overset {t}{\#}y=z[/tex] la valeur de [tex]z[/tex] est le réel dont converge la suite [tex]\left(z_n\right)[/tex]
[tex]z_0=x+\left(y-x\right)N\left(t\right)[/tex]
[tex]z_1=x+\left(2\sigma _{\beta}-1\right)N\left(\left|x+\dfrac {y}{2}-\dfrac {3z_0}{2}\right|,\left|x-z_0\right|\right)[/tex]
pour [tex]n > 1[/tex]
[tex]z_n=x+\left(2\sigma _{\beta}-1\right)N\left(\left|x-z_{n-1}+\dfrac {z_{n-2}-z_{n-1}}{\left(n+1\right)!}\right|,\left|x-z_{n-1}\right|\right)[/tex]
Propriétés
[tex]\forall x\in \mathbb {R},x\overset {t}{\#}x=x[/tex]
[tex]\forall x,y\in \mathbb {R},x+y=\left(x\overset {t}{\#}y\right)+\left(y\overset {t}{\#}x\right)[/tex]
[tex]\forall x,y,z\in \mathbb {R},[/tex]
[tex]\left(x\overset {t}{\#}y\right)+z=\left(x+z\right)\overset {t}{\#}\left(y+z\right)[/tex]
[tex]\left(x\overset {t}{\#}y\right).z=\left(x.z\right)\overset {t}{\#}\left(y.z\right)[/tex]
[tex]\left(x\overset {t}{\#}y\right)\overset {t}{\#}z=\left(x\overset {t}{\#}z\right)\overset {t}{\#}\left(y\overset {t}{\#}z\right)[/tex]

-Lorsque [tex] 0 < t < 1 [/tex] et [tex] x < y [/tex] on vérifie [tex] x < x \overset {t}{\#} y < y[/tex]
-Lorsque [tex] t > 1 [/tex] et [tex] x < y [/tex] on vérifie [tex] x < y < x \overset {t}{\#} y [/tex]
-Lorsque [tex] t > 1 [/tex] et [tex] x > y [/tex] on vérifie [tex] x > y > x \overset {t}{\#} y[/tex]

-Lois conjuguées
Soient cinq réels distincts deux à deux [tex]a,b,c,t,t^{\prime}[/tex] tels que
[tex]a \overset {t}{\#} b = c [/tex] et [tex]a \overset {t^{\prime}}{\#} c = b [/tex]
alors quels que soient deux réels [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] on vérifie
[tex]x \overset {t^{\prime}}{\#} \left( x \overset {t}{\#} y \right) = x  \overset {t}{\#} \left( x  \overset {t^{\prime}}{\#} y \right) = y[/tex]
[tex]\left( x  \overset {t}{\#} y \right) \overset {t^{\prime}}{\#} x = x - y + \left( x \overset {t}{\#} y \right)[/tex]
[tex]\left( x  \overset {t^{\prime}}{\#} y \right) \overset {t}{\#} x = x - y + \left( x \overset {t^{\prime}}{\#} y \right)[/tex]
On dit que les lois définies par [tex] \overset {t}{\#} [/tex] et [tex] \overset {t^{\prime}}{\#} [/tex] sont conjuguées

Dernière modification par dsb (22-02-2019 03:55:01)

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#2 28-02-2019 19:54:13

dsb
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Re : moy. arithmético-géométrique et quadratico-harmonique pour LCI dans R

Utilisation de ces lois de composition internes pour, par exemple, le calcul du périmètre d'une ellipse

Quand on dispose de deux suites adjacentes qui convergent très lentement, il y a un moyen de les accélérer

Ci-dessous sont écrites deux suites adjacentes (franchement inutilisables) qui convergent vraiment (vraiment) très lentement

elles vont servir de cobaye pour l'accélérateur 

Soit [tex]\Omega [/tex] une ellipse de demi grand axe [tex]a[/tex] et de demi petit axe [tex]b[/tex]
On note [tex]\Lambda [/tex] son périmètre

Alors les deux suites adjacentes [tex]\left(p_n\right)[/tex] et  [tex]\left(q_n\right)[/tex] définies par

[tex]p_0=\pi \left(a+b\right)[/tex]

[tex]p_{i+1}=p_i+\pi \left(a+b\right)\left(\dfrac {1.3.5. \  ... \ .\left(2i+1\right)}{2.4.6. \  ... \ .\left(2i+2\right)}\right)^2\left(\dfrac {1}{2i+1}\right)^2\left(\dfrac {a-b}{a+b}\right)^{2i+2}[/tex]

[tex]q_0=2\pi a[/tex]

[tex]q_{i+1}=q_i-2\pi a\left(\dfrac {1.3.5. \  ... \ .\left(2i+1\right)}{2.4.6. \  ... \ .\left(2i+2\right)}\right)^2.\dfrac {1}{2i+1}.\left(1-\dfrac {b^2}{a^2}\right)^{i+1}[/tex]

vérifient 1) et 2)
1) [tex]\  \forall i\in \mathbb {N} \ :\ \left( p_i\leq p_{i+1}\leq \Lambda \leq q_{i+1}\leq q_i \right)[/tex]
2) [tex]   \underset {i\rightarrow \infty}{\text {lim}} p_i = \Lambda \  [/tex] et [tex] \   \underset {i\rightarrow \infty}{\text {lim}} q_i = \Lambda [/tex] 

On trouve sur ce site https://www.mathsisfun.com/geometry/ell … meter.html

plusieurs moyens d'approximer le périmètre d'une ellipse
Ce site dispose d'un logiciel permettant d'effectuer les calculs d'approximation en ligne
par exemple mdhk.png

Le principal problème avec les deux suites adjacentes écrites ci-dessus
c'est qu'elles convergent très lentement, ce que je propose ici c'est d'utiliser ces lois de composition internes dans [tex]\mathbb {R}[/tex]
afin d'accélérer leurs convergences
On pourra vérifier que les calculs sont corrects en allant sur le site

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#3 28-02-2019 20:05:43

dsb
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Re : moy. arithmético-géométrique et quadratico-harmonique pour LCI dans R

NB : attention aux malentendus

l'accélération se démontre (quand je parle de cobaye c'est une façon de parler)

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#4 01-03-2019 13:30:25

dsb
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Re : moy. arithmético-géométrique et quadratico-harmonique pour LCI dans R

un autre exemple  de suites adjacentes à convergence lente ici sur le site université en ligne
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/an … 06_02.html

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#5 04-03-2019 21:16:45

dsb
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Re : moy. arithmético-géométrique et quadratico-harmonique pour LCI dans R

Salut

Je pense que le mieux est de clore ce sujet en proposant un calcul (il suffira de changer le code T-nspire proposé ici dans le code de son choix)

précédemment on avait fixé un [tex]t[/tex] réel strictement positif pour définir une loi de composition interne dans [tex]\mathbb {R}[/tex] notée [tex] \overset {t}{*}  [/tex]

et on posera [tex]\forall x\in \mathbb {R},\forall y\in \mathbb {R},\  \left( \    x \overset {1}{*} y = max\left(x,y\right)\right)[/tex]

ainsi à tout  [tex]t\in \mathbb {R}_+^*[/tex]  fixé correspond  une loi [tex] \overset {t}{*}  [/tex]

et on avait dit que deux lois [tex] \overset {t}{*}  [/tex] et  [tex] \overset {t^{\prime}}{*}  [/tex] sont dites conjuguées si on vérifie

[tex]\forall x\in \mathbb {R},\forall y\in \mathbb {R},\  \left( \    x \overset {t^{\prime}}{*} \left( x \overset {t}{*} y \right) = x  \overset {t}{*} \left( x  \overset {t^{\prime}}{*} y \right) = y\  \right)[/tex]
[tex]\forall x\in \mathbb {R},\forall y\in \mathbb {R},\  \left( \   \left( x  \overset {t}{*} y \right) \overset {t^{\prime}}{*} x = x - y + \left( x \overset {t}{*} y \right)\  \right)[/tex]
[tex]\forall x\in \mathbb {R},\forall y\in \mathbb {R},\  \left( \   \left( x  \overset {t^{\prime}}{*} y \right) \overset {t}{*} x = x - y + \left( x \overset {t^{\prime}}{*} y \right)\  \right)[/tex]

une propriété importante n'a pas été écrite cependant

[tex]\forall x\in \mathbb {R},\forall y\in \mathbb {R},\forall  t\in \mathbb  {R}_+^*,\  \left( \  x \overset {t}{*} y= x+\left(0 \overset {t}{*} \left(y-x\right)   \right) \ \right) [/tex]

___________________________

Soient [tex]a,b,c[/tex] trois réels et on recherche  un [tex]t [/tex] (si il existe) permettant de vérifier [tex]a \overset {t}{*} b= c[/tex] et on recherche son conjugué

des propriétés qui ont déjà étés données on voit que si [tex]a=b[/tex] et [tex]c\neq a[/tex] alors il n'existe pas de solution pour [tex]t[/tex]

et si [tex]a=b=c [/tex] alors tout [tex]  t\in \mathbb  {R}_+^*[/tex] peut convenir et son conjugué est lui même

dans tous les autres cas je propose un calcul

on se donne deux réels strictement positifs [tex]t_0 [/tex] et [tex]t_1 [/tex] tels que [tex]t_0<t<t_1[/tex]

alors il suffit d'entrer la liste [tex]\{2,t_0,t_1,c-a,b-a\}[/tex] dans l'argument de la fonction "fonci"
et pour trouver son conjugué [tex]t^{\prime}[/tex] on doit se donner deux réels strictement positifs [tex]t_0^{\prime} [/tex] et [tex]t_1^{\prime} [/tex] tels que [tex]t_0^{\prime}<t^{\prime}<t_1^{\prime}[/tex]
et d'entrer  la liste [tex]\{2,t_0^{\prime} ,t_1^{\prime} ,b-a,c-a\}[/tex] dans l'argument de la fonction "fonci"

voici les codes

v61s.png
n5d4.png
mnfb.png
h5y6.png
vwqb.png
nt54.png

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#6 06-03-2019 23:05:16

dsb
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Re : moy. arithmético-géométrique et quadratico-harmonique pour LCI dans R

NB : Ceci dit une machine à calculer programmable est inadaptée pour calculer t à partir de trois réels (et si t existe car il n'y a pas toujours de solution t pour  tous les triplets de réels )

avec le code donné ici la T-nspire met 45 secondes pour le calculer, mieux vaut utiliser un ordi

bon après en lisant le code de la fonction "fonci " on voit bien que l'on peut l'optimiser 

en optimisant au mieux la T-nspire calcule ça en 20 secondes

c'est encore trop, pour utiliser ça sur des suites ou sur des intégrales il faudrait calculer ça en moins d'une seconde

Dernière modification par dsb (07-03-2019 00:47:30)

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