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Aethernalis

Invité

matrice inversible

Bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour un exercice concernant les matrices qui me semble non-trivial, le voici :

"Soit a > 0 et M une matrice réelle carré de dimension (n x n) vérifiant :

pour tout entiers i et j tels que 0<i ≠ j<n+1, on a : (M)i,j = a et (M)i,i > a

montrer que M est inversible."

je sais deja que si M est inversible, alors :

1 - l'équation MX = 0 a une unique solution
2 - l'équation MX = B a au moins une solution
3 - l'équation MX = B a au plus une solution
4 - M est équivalent par ligne à la matrice identité
5 - rg(M) = n

(et réciproquement)

j'ai l'impression que la résolution de l'exo se base la dessus, mais à part ça...

merci d'avance pour votre aide !

Michel Coste

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Re : matrice inversible

Bonsoir,

Tu peux remarquer que $M$ est une matrice symétrique. Tu peux ensuite voir si elle est définie positive.
Pour cela il peut être commode d'introduire la matrice $A$ dont tous les coefficients sont égaux à $a$ (de sorte que $M$ est égal à $A$ plus une matrice diagonale à coefficients diagonaux tous strictement positifs).

J'ai peut-être dit des gros mots dans l'indication que j'ai donnée. Mais comme je ne connais pas exactement ton niveau et ce que tu as déjà vu ....

Michel Coste

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Re : matrice inversible

Une méthode plus au ras des pâquerettes : tu sais sans doute que les opérations élémentaires sur les lignes (ou sur les colonnes) ne changent pas le rang d'une matrice ? Une première étape : soustraire la première ligne de chacune des lignes suivantes. ...

Michel Coste

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Re : matrice inversible

Oui, c'est plus direct que ce que je propose.