definition convergence d'une suite

Zebulor · 25-01-2019 17:10:18

Bonjour,

On dit qu'une suite [tex](u_n)[/tex] tend vers [tex]l[/tex], si à tout nombre [tex]\varepsilon >0[/tex] on peut faire correspondre un entier [tex]N[/tex] tel que :

[tex]n \ge N[/tex] [tex]\Longrightarrow |u_n -l|\le \varepsilon[/tex].

En quoi est ce que cela implique : [tex]n \ge N[/tex] [tex]\Longrightarrow |u_n -l|\le \tfrac{\varepsilon}{2} [/tex] ?

Merci

Dernière modification par Zebulor (25-01-2019 17:32:43)

Michel Coste · 25-01-2019 18:00:39

Bonjour,

En rien. Pourquoi poses-tu cette question ?

Je crois deviner. Tu as dû rencontrer, dans une démonstration, un trux du genre.
"On suppose que la suite $u_n$ converge vers $\ell$. Soit $\epsilon >0$. Alors il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout entier naturel $n\geq N$, $|u_n-\ell| < \epsilon /2$.".

Ben c'est simplement que si pour tout $\epsilon >0$, il existe un $N$, alors pour $\epsilon/2$ on a aussi un $N$ (pas le même que celui pour $\epsilon$). Dans cette histoire, $\epsilon$ est une variable muette puisqu'elle est quantifiée.

Dernière modification par Michel Coste (25-01-2019 18:02:00)

Zebulor · 25-01-2019 18:25:56

Voilà ce que j 'ai rencontré : Dans un vieux cours de maths de J . Dixmier j'ai lu cette définition de la limite, suivie en remarque de cette deuxième implication… ce qui revient à ce que tu as écrit entre guillemets.

En fait le N(epsilon/2)>N(epsilon) si j'ai bien compris ton explication..

Michel Coste · 25-01-2019 19:50:35

"Le" $N(\epsilon)$ n'est pas défini, donc j'aurais du mal à donner du sens à ta dernière phrase. Le sens que je pourrais y donner, c'est que si un entier $N$ "marche" pour $\epsilon/2$, alors il "marche" certainement aussi pour $\epsilon$.

Zebulor · 25-01-2019 21:01:40

plus le "epsilon" de la définition est petit, plus [tex]N[/tex] doit être grand afin que l'inégalité [tex]|u_n-l|<epsilon[/tex] reste vérifiée...

Michel Coste · 26-01-2019 00:00:05

Non, tu raisonnes à l'envers.

Dernière modification par Michel Coste (26-01-2019 00:17:39)

Zebulor · 26-01-2019 00:14:05

Quelque chose m échappe .. en effet je vois sur un exemple que ce que j'écris dans mon post 5 ne marche pas systématiquement.

Dernière modification par Zebulor (26-01-2019 00:19:10)

Michel Coste · 26-01-2019 00:24:10

Quand on dit "il existe $N$ tel que $A$ " on ne dit rien de plus du $N$ que le fait qu'il vérifie la propriété $A$. .

Prends la suite $(u_n)$ constante égale à $0$. Pour tout $n$ supérieur ou égal à $10^9$, $|u_n|<1$. Pour tout $n$ supérieur ou égal à $0$, $|u_n|<1/2$. D'accord ?

Le problème, c'est que tu surinterprètes trop ce qui est écrit. Il n'est pas écrit que, par exemple, $N$ est le plus petit entier naturel tel que, pour tout $n\geq N$ , ...

Zebulor · 26-01-2019 11:27:49

C'est çà, parce que j'ai en tête l'exemple d'une suite croissante ou décroissante qui converge vers [tex]l[/tex], alors qu'on peut très bien avoir une suite qui converge vers [tex]l[/tex] sans être croissante ou décroissante; comme la suite nulle que tu cites. C'est un biais cognitif !

Merci pour cette explication qui a fini de me convaincre.. Les écritures mathématiques avec des symboles ont l'avantage d'être concises, mais encore faut il savoir les interpréter correctement...

Dernière modification par Zebulor (26-01-2019 19:49:34)

Zebulor · 26-01-2019 19:45:50

Il me vient un songe : soit a>0. En remplaçant ε>0 par ε>a dans la définition de la convergence. La suite (un) converge t elle encore vers l ?

Michel Coste · 26-01-2019 19:49:03

Sois précis et écris entièrement la définition à laquelle tu songes.

Zebulor · 26-01-2019 19:50:14

Allez finalement ca prend peu de temps et ça permet une lecture plus facile :

Soit [tex]a>0[/tex] fixé.

Pour tout [tex]\varepsilon>a[/tex], il existe [tex]N[/tex] entier tel que pour tout [tex]n>N[/tex] , [tex]|u_n-l|<\varepsilon[/tex].

La suite [tex](u_n)[/tex] converge t elle encore vers [tex]l[/tex] ?

Dernière modification par Zebulor (26-01-2019 20:10:38)

Michel Coste · 26-01-2019 20:12:52

Ce n'est pas très précis, parce que la quantification sur $a$ n'est pas claire.

Prenons $a = 2$, $u_n=(-1)^n$ pour tout entier naturel $n$, $\ell = 0$. Ta proposition est vraie. En conclus-tu que $(-1)^n$ converge vers $0$ ?

Zebulor · 26-01-2019 20:17:26

La réponse est non pour ta question. Ça me fait un non pour ma réponse.

Mais c'est intéressant. Je ne vois pas bien ce que tu entends par "ma quantification sur [tex]a[/tex] n'est pas claire." Il me vient une autre variante de définition d'une suite convergente vers [tex]l[/tex].. qui commencerait par "soit [tex]\varepsilon \in ]0;1][/tex].."

Mais je vais quand même te laisser dîner...

Dernière modification par Zebulor (26-01-2019 20:41:03)

Michel Coste · 26-01-2019 20:40:24

Que penses-tu de :

Pour tout [tex]a>0[/tex], pour tout [tex]\varepsilon>a[/tex], il existe [tex]N[/tex] entier tel que pour tout [tex]n>N[/tex] , [tex]|u_n-l|<\varepsilon[/tex].

Zebulor · 26-01-2019 20:42:59

Je pense, après avoir été victime d'une confusion mentale momentanée, qu'on ne peut rien dire d'une suite qui vérifie la proposition de ton post 15 ..... Pour moi le "pour tout [tex]a>0[/tex] est équivalent de "pour tout [tex] a>0 fixé[/tex] quelconque."

Je dois quitter mais reviens tout à l'heure..

Dernière modification par Zebulor (26-01-2019 22:47:42)

Zebulor · 26-01-2019 22:15:37

Pour rebondir sur une de tes remarques judicieuses : Je vois des exercices qui commencent par "Soit [tex]x>0.[/tex]"... ou bien "soit [tex]x>0 [/tex] fixé quelconque."

Y aurait il une quantification plus claire que l'autre ?

Dernière modification par Zebulor (26-01-2019 22:18:34)

Michel Coste · 26-01-2019 23:11:22

Procédons dans l'ordre.

La proposition du message #15 dit exactement que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Zebulor · 26-01-2019 23:36:29

Toujours dans cette proposition du post 15 si remplaçant le "pour tout [tex]a>0[/tex] " par "pour tout [tex]a>0[/tex] fixé", il me semble qu'on ne peut alors rien dire sur la convergence de cette suite vers [tex]l[/tex] ...

Dernière modification par Zebulor (27-01-2019 10:37:45)

Michel Coste · 27-01-2019 11:32:36

"pour tout a>0 fixé" n'a pas de sens.

Zebulor · 27-01-2019 12:12:56

En relisant cette expression, pour mieux traduire ma pensée, je la remplace alors par :" Soit [tex]a>0[/tex] quelconque et fixé"

Dernière modification par Zebulor (27-01-2019 13:55:50)

Michel Coste · 27-01-2019 12:53:55

Alors tu sors la quantification sur $a$ de la proposition, et on retombe sur ta proposition précédente (où $a$ est une constante), qui n'exprime pas la convergence de la suite $(u_n)$ vers $\ell$, mais simplement le fait que la limite supérieure (limsup) de $|u_n-\ell|$ est inférieure ou égale à $a$.

Zebulor · 27-01-2019 13:26:15

Tu me confirmes dans cette conclusion....

Dans la définition d'une suite convergente donnée par J. Dixmier que je mets dans mon post #1, je comprends que la suite [tex](u_n)[/tex] converge vers [tex]l[/tex] parce que [tex]\varepsilon[/tex] peut être aussi proche de 0 qu'on veut.. C'est ce que sous entend, à mon sens, cette définition, et que j'interprète d'emblée comme tel.

Dernière modification par Zebulor (27-01-2019 13:44:42)

Michel Coste · 27-01-2019 15:03:00

Il ne manquerait plus que la définition de Dixmier ne soit pas correcte ! Bien sûr qu'elle l'est, la discussion ne porte pas là-dessus.

Mais comprends-tu que la proposition du message #15 exprime aussi (de manière alambiquée) que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ ?

Zebulor · 27-01-2019 15:39:38

Après avoir été lu et relu, on peut en effet difficilement croire que Dixmier se soit trompé..entre parenthèses il a 95 ans..ça conserve les maths.

Le message #15 est en effet alambiqué, mais c'est aussi parce qu'il l'est que son exploitation est intéressante... voilà comment je le comprends le message du post #15 :[tex]a[/tex] n'est pas fixé, donc pouvant être aussi petit qu'on veut, tout comme [tex]\varepsilon[/tex]. La convergence de la suite reste donc préservée.

A ce propos, tu me dis que la quantification "soit [tex]a>0[/tex] fixé" n'est pas claire. Pourquoi?

Je patiente car je vois par ailleurs que tu mènes un juste et bon combat sur le café mathématique ... parenthèse fermée.

Dernière modification par Zebulor (27-01-2019 16:51:23)

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