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#1 18-01-2019 12:42:45

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Convergence dans $\mathcal{D}'

Bonjour
on considère la suite $f_j$ définie par
$$
f_j(x)
=
\begin{cases}
ln|x| &:|x|>1/j,\\
-\ln j &: |x| \leq 1/j
\end{cases}
$$
La question est de montrer que $f_j \to \ln|x|$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$.

Comme $f_j$ est continue sur $\mathbb{R}$, elle est $L^1_{loc}(\mathbb{R})$. Elle définit donc une distribution par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle T_{f_j},\varphi \rangle = \displaystyle\int_{|x|>1/j} \ln|x| \varphi(x) dx - \displaystyle\int_{-1/j}^{1/j} \ln(j) \varphi(x) dx.
$$
Pour étudier la convergence dans $\mathcal{D}'$, il faut calculer $\lim_{j \to +\infty}  \langle T_{f_j},\varphi \rangle$. Comment calculer $\lim_{j \to +\infty} \displaystyle\int_{-1/j}^{1/j} \ln(j) \varphi(x) dx$? Je ne sais pas par où commencer.

Bien cordialement

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