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#1 28-12-2018 19:02:14

Dattier
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Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Bonsoir,

Contexte : http://dattier.yoo7.com/t13-un-nouveau- … m-connu#49

Dans la géomètrie euclidenne classique il y a une diffèrence, mais dans la géométrie euclidienne moderne (R.e.v. de dim fini avec produit vectoriel) quelle diffèrence y-a-t-il ?

Bonne soirée.

Dernière modification par Dattier (28-12-2018 19:11:34)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#2 28-12-2018 19:19:00

Michel Coste
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Bonsoir,

Tu veux parler de produit scalaire et pas de produit vectoriel, je suppose ?

Ensuite, la géométrie euclidienne se passe naturellement dans un espace affine euclidien. Dans ce cadre, un point n'est pas un vecteur.

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#3 28-12-2018 19:58:23

Dattier
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Michel Coste a écrit :

1/ Tu veux parler de produit scalaire et pas de produit vectoriel, je suppose ?

2/ Ensuite, la géométrie euclidienne se passe naturellement dans un espace affine euclidien. Dans ce cadre, un point n'est pas un vecteur.

1/ Oui, tu as branché ton code correcteur... lol

2/ Oui, j'ai vu cela sur wiki, mais, un point A n'est pas autre chose que le vecteur OA avec O l'origine du repère, si c'est autre chose merci de dire quoi.


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#4 28-12-2018 22:05:00

Michel Coste
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Non, tu te trompes. Un espace affine euclidien ne vient pas avec un repère, en particulier pas avec une origine $O$. Tu devrais regarder sérieusement un cours de géométrie "moderne", plutôt que de papillioner sur le web sans en retirer des informations vraiment pertinentes.

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#5 28-12-2018 23:15:25

Dattier
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Peux-tu pour une fois répondre simplement à une question simple*, au lieu de me renvoyer à des livres, hors de prix et de plusieurs tomes ?

Si tu ne sais pas, tu dis simplement : "je ne sais pas", en laissant la possiblité à d'autres qui savent de répondre.

Je te rappelle que c'est le but d'un forum de maths : le partage des connaissances.

Merci d'en tenir compte la prochaine fois que tu voudras  me répondre.

* : quelle est la diffèrence entre un point et un vecteur dans la géométrie euclidienne moderne (un R.e.v de dim fini avec un produit scalaire) ?

Dernière modification par Dattier (28-12-2018 23:50:29)


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#6 29-12-2018 11:06:28

Dattier
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Bonjour,

J'ai eut ma réponse par wiki :

Un espace affine peut aussi être vu comme un espace vectoriel « dont on a oublié l'origine »

Merci à M.Coste pour le mot clef "espace affine"

Bonne jounrée.

Dernière modification par Dattier (29-12-2018 11:08:04)


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#7 29-12-2018 14:12:58

Michel Coste
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Bonjour,

Bien Dattier, ru progresses et tu as appris qu'en géométrie, on travaille avec des espaces affines. Je t'encourage à ne pas en rester aux slogans piochés sur internet, mais à travailler sérieusement cette notion.
Il existe de bons ouvrages, en français, à des prix raisonnables, où tu pourras apprendre de la géométrie "moderne". Par exemple "Géométrie" de Michèle Audin, que je recommandais aux agrégatifs quand je m'occupais d'une préparation à l'agrégation.

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#8 29-12-2018 14:16:55

Dattier
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Michel Coste a écrit :

Par exemple "Géométrie" de Michèle Audin, que je recommandais aux agrégatifs quand je m'occupais d'une préparation à l'agrégation.

Tu vas sûrement pas me croire, mais j'ai déjà travaillé sur ce livre, mais j'ai oublié pas mal de choses. En tout les cas merci pour le mot clef.


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#9 29-12-2018 14:37:23

Michel Coste
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Eh bien ! ... Si jamais tu as déjà travaillé sur ce livre, un bon rafraîchissement de mémoire s'impose, vu ce que tu viens de raconter dans ce fil.

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#10 29-12-2018 14:45:12

Dattier
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

La citation de wiki a révèillé une partie de mes souvenirs.

Si tu lis attentivement, tu verras que nulle part, je n'ai affirmé quelque chose de faux.


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#11 29-12-2018 15:04:57

Michel Coste
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Tu as juste parlé de produit vectoriel au lieu de produit scalaire, affirmé que la géométrie euclidienne moderne c'est un espace vectoriel euclidien, ce qui est inexact et que j'ai corrigé en parlant d'espace affine euclidien, et affirmé aussi que "un point A n'est pas autre chose que le vecteur OA", ce qui est inexact et que j'ai corrigé en rappelant qu'un espace affine euclidien ne vient pas avec une origine.
À croire que je lis plus attentivement que tu n'écris.

Bref n'importe quoi, mais c'est un peu ton habitude.

À l'occasion de la nouvelle année, tu devrais prendre la bonne résolution d'être un peu plus sérieux.

Pour clore : en géométrie affine, un point n'est certainement pas un vecteur.

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#12 29-12-2018 15:12:00

Dattier
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Dattier a écrit :

Oui, tu as branché ton code correcteur... lol

Dattier a écrit :

Oui, j'ai vu cela sur wiki, mais, un point A n'est pas autre chose que le vecteur OA avec O l'origine du repère, si c'est autre chose merci de dire quoi.

Dernière modification par Dattier (29-12-2018 15:13:12)


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#13 29-12-2018 17:10:15

yoshi
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Bonjour,

Je prends le risque de me faire jeter, parce que je vais répondre en regardant par le le petit bout de ma lorgnette...
Dans le temps, et je ne sais plus si c'est toujours d'actualité, on présentait un vecteur comme une classe d'équivalence de bipoints équipollents : un bipoint(A,B) était dit équipollent à un bipoint (C,D) si [AD] et [BC] avaient le même milieu...
Ensuite, moi, j'ai toujours appris que parler d'un vecteur [tex]\overrightarrow{OA}[/tex] était donc un abus de langage, mais que, en en étant conscient, et pour ne pas se faire des nœuds à la langue (ou aux doigts), on ne dirait pas que [tex]\overrightarrow{OA}[/tex] était un représentant, d'origine O, d'un vecteur donné...
(HS ou pas ?  de même qu'on s'abstient de dire que deux segments appartiennent à la même longueur, mais qu'on dit sciemment qu'ils ont la même longueur, tout en étant conscient qu'une longueur est une classe d'équivalence de segments superposables... du moins est-ce qui figurait dans mes manuels au temps des Maths dites "modernes")
On ne peur donc pas dire qu'un point vecteur, c'est un vecteur alors que ce n'est pas le même objet...
Encore, Dattier, si tu avais dit : est-ce que le vecteur nul est un point ? la question aurait été d'un autre niveau...
Et tu aurais pu ajouter : parce qu'on a bien [tex]\overrightarrow{OO}=\overrightarrow{AA}=\cdots=\vec 0[/tex]

Wiki, c'est très bien, mais le libre-arbitre doit toujours s'exercer...
Peut être y a-t-il confusion avec le fait que, si on munit le plan d'un repère (O, I, J) ou l'espace d'un repère (O, I, K) orthonormés (je n'y ai pas réfléchi, mais peut-être le ortho est-il superflu, Michel Coste, va se faire plaisir de le dire...), et qu'on y prend un point A, les coordonnées du "vecteur" [tex]\overrightarrow{OA}[/tex] et les les coordonnées du point A sont identiques.

Mais si on considère que [tex]\overrightarrow{OA}[/tex] n'est qu'un représentant d'une classe d'équivalence nommée vecteur, la question point = vecteur ne peut plus se poser.

Personnellement, je regrette encore (même si je me suis adapté facilement) Qu'on parle maintenant de coordonnées d'un "vecteur" et non plus de composantes d'un vecteur...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#14 29-12-2018 17:40:29

Dattier
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

@Yoshi : Il me semble que dans l'approche axiomatique de Michèle Audin, le vecteur n'est pas un objet de base :

On a les points et les droites, le vecteur est assimilé à une transformation affine particulière : la translation (sauf erreur)

Avec en point d'orgue, le fameux théorème fondamentale de la géométrie affine.

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (29-12-2018 17:47:28)


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#15 29-12-2018 17:46:58

Michel Coste
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Je ne vois pas en quoi parler du vecteur $\vec{AB}$ serait un abus de langage ; pas plus en tout cas que de parler du rationnel $\dfrac32=\dfrac64$.

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#16 29-12-2018 17:57:24

Michel Coste
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

@Dattier : décidément, tu devrais relire Michèle Audin !

Un espace affine, c'est un ensemble $E$ muni d'une action simplement transitive du groupe additif d'un espace vectoriel $\vec{\mathcal E}$. L'action se note $(A,\vec v)\mapsto A+\vec v$. La simple transitivité veut dire que $E$ est non vide et que pour tout couple $(A,B)$ de points de $E$, il existe un unique vecteur $\vec v\in \vec{\mathcal E}$ tel que $B=A+\vec v$ ; on note $\vec{AB}$ cet unique vecteur. Le fait qu'on a une action de groupe se traduit par la relation de Chasles : $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec {AC}$.

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#17 29-12-2018 18:25:35

Michel Coste
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Un petit exemple, qui vaut ce qu'il vaut : le plan affine des solutions de l'équation différentielle
$$y''-3y'+2y=\sin(x)\;.$$
Les points de ce plan affine sont les solutions de cette edo, les vecteurs de l'espace vectoriel sous-jacent à ce plan affine sont les solutions de l'équation différentielle homogène $y''-3y'+2y=0$. Un point n'est pas un vecteur.

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#18 29-12-2018 23:22:22

Dattier
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Michel Coste a écrit :

@Dattier : décidément, tu devrais relire Michèle Audin !

Tu aurais un scan, pour vérifier : merci.

En effet ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_affi … lan_affine
aucune trace de ce que tu dis (sur l'action dont tu parles), il me semble que c'est le parti pris de Audin (ne pas faire intervenir dans les axiomes les e.v).

Dernière modification par Dattier (29-12-2018 23:23:47)


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#19 30-12-2018 08:28:41

Michel Coste
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Bonjour,

Toujours pareil : ramasser des trucs disparates sur wikipedia, ce n'est pas travailler sérieusement. Ça ne fait qu'un vernis de connaissance qui sonne bien creux ! Tu prétends savoir et te rappeler, mais quand on creuse un petit peu il n'y a que du vent !

Tu peux trouver sur internet des plans de cours comme ici, qui suivent l'exposé de la géométrie affine qu'on peut trouver chez Audin, chez Tauvel, chez Berger, chez Tisseron etc...

Une petite remarque en passant : tu évoques le "théorème fondamental de la géométrie affine". C'est une appellation qui ne correspond en rien à l'importance et à l'utilité réelle de ce théorème.

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#20 30-12-2018 09:03:15

Michel Coste
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Dans l'édition anglaise du livre de M. Audin :
181230090312822548.png

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#21 30-12-2018 11:48:29

Dattier
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Bonjour,

C'est vraiment surprenant car justement ce qui m'avait plu dans le livre d'Audin (en Français il était tout rouge écrit en blanc), c'est son approche non classique (vu en prépa) des espaces affines, et là c'est exactement l'approche classique, tout en construisant une approche classique à la main (à partir de ses axiomes)

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (30-12-2018 11:51:05)


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#22 30-12-2018 11:54:10

Michel Coste
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Tu confonds peut-être avec le livre d'Emil Artin "Algèbre Géométrique" ?

181230024845408739.jpg

Tu parles d'approche classique, mais vu ce que tu écris au début de ce fil, tu n'avais pas l'air de la connaître ("j'ai vu cela sur wiki" !!).

Dernière modification par Michel Coste (30-12-2018 14:48:59)

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#23 30-12-2018 15:22:35

Dattier
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Non plus dans ce genre :

21303910.jpg

Mais le titre était Géométrie, et je me rappelle que l'auteur était une femme (c'est suffisament rare en maths pour que je l'ai retenu).


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#24 30-12-2018 15:26:53

Dattier
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Michel Coste a écrit :

Tu parles d'approche classique, mais vu ce que tu écris au début de ce fil, tu n'avais pas l'air de la connaître ("j'ai vu cela sur wiki" !!).

Oui, oui, c'est l'approche que l'on voit en prépa (L1-L2 : c'est pour cela que j'ai parlé de classique).


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#25 30-12-2018 15:36:00

Michel Coste
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Re : Quelle diffèrence y-a-t-il entre un point et un vecteur ?

Dans la collection rouge du PUF, il y a (en dehors du classique de Pierre Samuel) :
Les fondements de la géométrie — Jacqueline Lelong-Ferrand.
Initiation à la géométrie — Daniel Lehmann, Rudolf Bkouche.
Je connais bien le deuxième, pas le premier.

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