Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 17-12-2018 22:00:39

fabcai
Membre
Inscription : 17-12-2018
Messages : 1

Dimensionner un rectangle dans un rectangle

Bonjour,
Dans un rectangle aux longueurs et largeurs connues, je cherche la longueur d'un autre rectangle positionné comme dans l'image.
Mes trois seules valeurs connues sont A, B et C. Je recherche donc X.
Le point d'intersection des diagonales des 2 rectangles est le même, mais à partir de là je pêche...
Merci par avance pour votre aide.

croquis rectangle inclus

Hors ligne

#2 18-12-2018 13:26:41

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 91

Re : Dimensionner un rectangle dans un rectangle

Bonjour,

Je crois qu'il ne manque qu'une seule donnée, celle de l'angle représentant l'inclinaison du grand côté du rectangle interne par rapport à celui du cadre.

Cet angle se retrouve en quatre points, et un calcul d'aire devrait conduire sans trop de difficultés au résultat cherché.

181220073849859780.png

Dernière modification par Wiwaxia (20-12-2018 06:48:57)

Hors ligne

#3 18-12-2018 16:42:22

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 989

Re : Dimensionner un rectangle dans un rectangle

salut.

Si  L est la longueur cherchée : X = L  afin de ne pas trop mélanger les x 

Ainsi les côtés du rectangle inscrit deviennent  C & L

Il faut trouver la projection x  de C sur A  afin de trouver  sin t = x/C  .

x' est la projection de L sur A  . Et x + x' = A

de même que cos t = x'/L  . Donc  sin²t + cos²t = 1 =  x²/C² + x'²/L²  = x²/C² + (A-x)²/L²  .

Lorsqu'on aura trouvé x  , on le reportera dans l'équation ci dessus et on aura la valeur de L  :



[tex] L = \frac{C.(A - x)}{\sqrt{C² - x²}} [/tex]  . (1)



La projection x de C sur la longueur A  s'obtient en résolvant cette équation de degré 4  .

Cette équation ne possède qu'une seule racine réelle positive .



[tex]  4x^4 -  4A.x^3 + (A^2 + B^2 - 4C^2).x^2 + 2A.C^2.x + C^4 - B^2.C^2 = 0 [/tex]  .



On trouve L avec la formule (1) 

Si on prend A =100 , B = 75 &  C = 30  , on obtient x = 14.982679... avec la résolution de l'équation de degré 4

et enfin avec (1)  :  L = 98.1290... sauf erreur .

Hors ligne

#4 19-12-2018 20:50:05

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 91

Re : Dimensionner un rectangle dans un rectangle

Bonsoir,

J'ai repris la figure telle qu'elle était donnée, en ne modifiant que la notation (X) - changée en (D).

181219075123504746.png

Il vient à partir des termes introduits:

# u = C.Sin(t) ,
   v = C.Cos(t) , d'où: C = (u2 + v2)1/2 ;

# u' = D.Sin(t) ,
   v' = D.Cos(t) , d'où:  D = (u'2 + v'2)1/2 ;

# u' = B - v ,
   v' = A - u , d'où compte tenu des relations précédentes: Tan(t) = u/v = (B - v)/(A - u)
et finalement: A.Sin(t) = B.Cos(t) - C.Cos(2t) ,
dont la solution (strictement comprise entre 0 et 45° si B<A) est donnée par la limite de la suite:
tk+1 = Arcsin((B.Cos(tk) - C.Cos(2tk))/A) .

En reprenant les valeurs proposées: A = 100 , B = 75 , C = 30 ,
on obtient: t = 29.961810 °
u' = B - C.Cos(t) = 49.009246
v' = A - C.Sin(t) = 85.017320
D = (u'2 + v'2)1/2 = 98.131804 .

Les résultats numériques confirment ceux de la solution précédente (u = 14.982680), réserve faite de la dérive concernant le dernier résultat.

Dernière modification par Wiwaxia (20-12-2018 06:26:27)

Hors ligne

#5 19-12-2018 22:11:21

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 91

Re : Dimensionner un rectangle dans un rectangle

Une variante consistant toujours à introduire un paramètre sans dimension, ici le rapport du grand côté au petit, pour le rectangle inscrit (IJKL): r = D/C .
La similitude des triangles rectangles se traduit par la série d'égalités:
u'/u = v'/v = D/C = r ;
par ailleurs, l'aire du grand rectangle est égale à la somme de celles du rectangle inscrit, et des quatre triangles adjacents, d'où:
A.B = C.D + (2/2)(u.v) + (2/2)(u'.v') ,
ce qui conduit à
r.C2 = A.B - u.v(1 + r2) .

En tenant compte de ce que l'on a par ailleurs:
A = u + r.v , B = v + r.u ,
il vient : u(1 - r2) = A - r.B , v(1 - r2) = B - r.A ,
ainsi que l'équation finale correspondant à un polynôme de degré 5:
C2.r = A.B - (A - r.B)(B - r.A)(1 + r2)/(1 - r2)2 .

La résolution par un processus itératif semblable au précédent conduit à r = 3.271060 13 ; la convergence est cependant beaucoup plus lente.
On obtient à partir de là: D = r.C = 98.131804 ,
et pour vérification de l'accord avec la première solution proposée (#3):
u = (A - r.B)/(1 - r2) = 14.982680 .

Pour comparaison, on trouve en exploitant au maximum les possibilités de la calculatrice:
D#4 = 98.131 803 899 202 ,
D#5 = 98.131 803 899 199 .

Dernière modification par Wiwaxia (20-12-2018 14:58:46)

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt deux moins cinquante
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums