dérivée n_ième

Zebulor · 14-11-2018 11:01:09

Bonjour à tous,

il s'agit de démontrer l égalité suivante : dérivée n-iéme par rapport à x de ((x^2-1)^n) = n! * (somme pour k=0 à n des C(n,k) au carré * (x-1)^k*(x+1)^k)

La formule de Leibnitz semble traîner dans les parages…

Fred · 14-11-2018 12:25:23

Hello,

Elle semble plus que trainer, non, elle saute presque aux yeux!
A ta place, je ferais cela en 3 étapes :
* je remarquerais que $(x^2-1)^n=(x-1)^n \times (x+1)^n$
* je poserais $f(x)=(x-1)^n$ et $g(x)=(x+1)^n$, puis je calculerais la dérivée k-ième de ces fonctions
* j'appliquerais enfin la formule de Leibnitz (qui est décédé il y a 302 ans exactement -> lire sa biographie).

F.

Zebulor · 14-11-2018 15:32:02

Hello Fred,

Dérivée k-ième de ces fonctions, j'y avais pas pensé. Je vais poursuivre dans cette voie

Merci!

Zebulor · 16-11-2018 11:30:35

Rebonjour,

pour la suite de mon exercice. On pose A=(x^2-1)^n = somme(k=0 à k=2n) des (a indice k) * x^k

j'ai montré que la dérivée n-ieme de A est somme (k=0 à k=n) des (n+k)!/k! * (a indice (n+k)) x^k

La question est d identifier le coefficient an..

PS : désolé pour cette écriture peu lisible...
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[EDIT]by yoshi

pour la suite de mon exercice. On pose $A=(x^2−1)^n =\sum\limits_{k=0}^{2n}\,a_k\times x^k$

j'ai montré que la dérivée n-ieme de A est [tex]\sum\limits_{k=0}^{n}\,\frac{(n+k)!}{k!}\times a_{n+k}\times x^k[/tex]

Dernière modification par yoshi (16-11-2018 12:45:16)

yoshi · 16-11-2018 12:28:59

RE,

PS : désolé pour cette écriture peu lisible...

Objection, Votre Honneur :
Code Latex !!!!

Je vais le faire, pour cette fois...

@+

Michel Coste · 16-11-2018 12:35:17

Bonjour,

Ta question est vraiment d'expliciter les coefficients du développement de [tex] (x^2- 1)^n[/tex] ? Je pense que tu connais la formule du binôme de Newton.

Zebulor · 16-11-2018 19:10:15

Je connais certes la formule du binôme de Newton appliquée a (x^2-1)^n. Une fois obtenue j'imagine qu'il faut la dériver n fois… je me retrouve avec les cas n pair ou ou impairs.. ensuite je suis perdu

Fred · 16-11-2018 21:40:46

Re

Je ne vois pas bien où la parité de n intervient...

F.

Zebulor · 16-11-2018 22:15:23

Re,

alors c'est peut être que je suis sur une mauvaise piste...

Zebulor · 16-11-2018 22:20:30

Comme la question est d'identifier an, je vais au plus simple en utilisant la formule du binôme pour développer l'expression (x^2-1)^n et je trouve an=C(n,n)*(-1)^(n-n)=1

Zebulor · 16-11-2018 22:44:17

non : lorsque n est impair an=0 et lorsque n est pair an=C(n,p)*(-1)^(n-p)

Michel Coste · 16-11-2018 22:52:55

Tu te mélanges complètement les pinceaux dans les notations. L'entier [tex]n[/tex] est la puissance de [tex]x^2-1[/tex] : [tex](x^2-1)^n[/tex]. Quand tu développes en utilisant la formule du binôme de Newton, tu auras des [tex]x^{2k}[/tex] pour [tex]k[/tex] allant de [tex]0[/tex] à [tex]n[/tex].

Zebulor · 17-11-2018 16:26:25

Oui, 25 ans sans faire de maths ça laisse des traces.

Zebulor · 17-11-2018 16:29:28

Merci pour ces précisions relatives à la formule du binôme de Newton. Une simple remarque peut parfois aider à avancer et terminer le problème.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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