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#1 13-10-2018 11:11:29

taillieu
Invité

exercice spé maths divisibilité 2

bonjour voici mon énoncé,
on considère l'équation (E) x²-Sx+56 =0 où S est un entier naturel
a) montrer que si l'équation a une solution entière n, alors n divise 56
b) montrer que si n est solution de l'équation, S-n l'est aussi
c) déterminer les valeurs de S pour lesquelles l'équation admet deux solutions dans IN

voilà ce que j'ai fait :
a) si n est solution alors  l'équation s'écrit :
n² -Sn +56=0
n(n-S) = -56
n(S-n) = 56

b)pareil ici si S-n est solution alors :
  (S-n)² -S(S-n) +56
= S² -2Sn +n² -S² +Sn +56
= n² -Sn +56
= n(n-S)+56
en fait sur un autre forum certains m'ont dit écrire l'équation sous cette forme et de montrer qu'il était égale à 0 or je ne vois pas pourquoi et en plus mon résultat pour moi ne pourra jamais faire 0
c) je n'ai aucune idée de ce qu'il faut faire j'ai essayé avec un delta or en faisant ça je trouve les solutions qui sont dans IR et non dans IN comme demandé
merci d'avance pour votre aide

#2 13-10-2018 11:50:07

D_john
Invité

Re : exercice spé maths divisibilité 2

Salut,

... très étrange !
Tout d'un coup tu ne sais plus te servir du discriminant ?

#3 13-10-2018 12:22:35

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : exercice spé maths divisibilité 2

Bonjour,


a) As-tu vu en cours, que [tex] x_1[/tex] et[tex] x_2[/tex] étant deux réels donnés, en posant [tex]S=x_1+x_2[/tex]  et [tex]P=x_1x_2[/tex], ils sont solutions de l'équation [tex]x^2-Sx+P=0[/tex]. Si oui, c'est aussi une façon rapide de le faire.
n(S-n) = 56
Tu ne peux pas t'arrêter là : il y aurait un déficit de justification.

b) Tu sais que n  est solution donc [tex] x^2-Sn+56=0[/tex]
S-n est-il solution ?
Pour le savoir, tu fais effectivement le calcul de (S-n)² -S(S-n) +56 et tu veux (doit) montrer que (S-n)² -S(S-n) +56 =0 (c'est comme ça qu'on traduit S-n solution.
Et tu obtiens l'égalité :  (S-n)² -S(S-n) +56 = n² -Sn +56. Ton étape suivante est inutile et ne mène à rien...
Souviens-toi que la question b) arrive toujours après la a)... J'enfonce une porte ouverte ? Pas du tout !
La question à te poser est donc : est-ce que les résultats de la question précédente peut me servir ?
Et là, illumination : tu réponds oui, bien sûr !
Vois-tu mieux ?
Ne cherche rien de compliqué, c'est tellement simple que tu ne le vois pas... Tout est déjà dans ce que je t'ai écrit (et toi aussi).

c) Là encore, si tu sais que S est la somme des racines et 56 leur produit, c'est vite fait.
Supposons que tu ne l'aies pas appris...
On va retrouver ça quand même, sans dire que c'est des formules...
En fin de a), tu es arrivée à n(S-n)=56 partant de n entier. et dans le b que S-n était aussi solution et aussi entier.
Donc tu as montré que le produit des racines n et S-n valait 56. Il ne reste plus qu'à chercher les différents diviseurs entiers de 56 quand tu en as un, n, alors l'autre est 56/n et S vaut alors ?

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#4 13-10-2018 12:33:55

D_john
Invité

Re : exercice spé maths divisibilité 2

Bon... admettons qu'il soit difficile de discuter de racines entières plutôt que réelles.

Ce que tu as fait en a et b est correct mais voici ce que j'aurais répondu :

a) montrer que si l'équation a une solution entière n, alors n divise 56
     Si n est racine, on peut écrire :
     (x-n)(x-a)=0
     Par identification :
     n.a = 56   cqfd

b) montrer que si n est solution de l'équation, S-n l'est aussi
     ce que tu as écrit en a/

c) déterminer les valeurs de S pour lesquelles l'équation admet deux solutions dans IN
     S² – 4*56 >= 0
     Or S est entier par hypothèse. Le plus petit S² est nécessairement 225 = 15²
     S = 15, 16, 17...
     A toi de voir pourquoi toutes ces solutions ne conviennent pas.
A+

#5 13-10-2018 12:48:56

Taillieu
Invité

Re : exercice spé maths divisibilité 2

comment faut-il conclure la a)
pour la b vous vous arrêtez la?
et pour la c merci beaucoup j'ai reussi

#6 13-10-2018 17:13:36

D_john
Invité

Re : exercice spé maths divisibilité 2

Désolé Taillieu, j'ai complètement vérolé ton fil avec des raccourcis qui sont limite justifiés.
Le prof, c'est Yoshi... qui a de l'expérience et est certainement plus à même que moi de te répondre en se plaçant à ton niveau. En général, les exercices proposés sont des applications directes de l'état d'avancement du cours. Il faut donc aussi que tu répondes à ses questions, sinon, comment savoir où tu en es ?

#7 13-10-2018 22:52:31

taillieu
Invité

Re : exercice spé maths divisibilité 2

nous n'avons pas du tout vu comment montrer qu'une équation a des solutions entières

#8 14-10-2018 08:32:06

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : exercice spé maths divisibilité 2

Bonjour,

nous n'avons pas du tout vu comment montrer qu'une équation a des solutions entières

C'est normal, tu n'auras jamais de cours spécifique là dessus, ni toi, ni personne...
On te demande de raisonner avec ce que tu sais...
Donc, allons-y...
a) S est un entier et n aussi. Qu'est-ce que tu penses de (S-n) ?
    On va éclaircir la situation, c'est sûrement l'écriture (S-n) qui te gêne, alors je vais appeler k le nombre S-n.
    Donc tu as k.n = 56
    Revenons à la définition : on dit qu'un nombre n est un diviseur de 56 si et seulement si il existe un entier k tel que k*n =56.
    (on pourrait aussi dire :  56 est un multiple de n si et seulement si il existe un entier k tel que k*n =56.)
   Voilà pourquoi, il était important de se savoir si S-n était entier ou pas...
   Donc ?
   Tu vois mieux ?
b) S-n est solution de x²-Sx+56 =0 si et seulement si [tex](S-n)^2-S(S-n)+56 =0[/tex]
   Tu as développé, réduit et tu es arrivé à [tex](S-n)^2-S(S-n)+56 =n^2-Sn+56[/tex]
   Et qu'as-tu écrit dans la a) ? Que si n est solution alors [tex]n^2-Sn+56=0[/tex]
   Je résume :
   [tex]\begin{cases}(S-n)^2-S(S-n)+56 &=n^2-Sn+56\\n^2-Sn+56&=0\end{cases}[/tex]
   Conclusion pour [tex](S-n)^2-S(S-n)+56[/tex] ?
   Alors ?
c)  La solution proposée par D_john me plaît bien...
    [tex]\Delta=S^2-224[/tex]
    Ton équation n'a de solution que si [tex]\Delta  \geqslant 0[/tex], soit [tex]S^2\geqslant 224[/tex]. 1er point.
    2e point. Pour que les solutions  : [tex]\dfrac{S\pm\sqrt{\Delta}}{2}[/tex] soient des entiers encore faut-il déjà que $Delta$ soit un carré.
    Le plus petit carré possible est 225 ($15^2$). Lles suivants sont 256 ($16^2$), 289 ($17^2$), 324 ($18^2$)... etc...
    Dernière condition imposée par l'énoncé : les solutions sont entières...
    Donc tu vas devoir tester les solutions  [tex]\dfrac{S\pm\sqrt{\Delta}}{2}[/tex] et éliminer les $\Delta$ ne conduisant pas à des entiers et en déduire les S possible......
    Ma solution partait de l'autre bout sans utiliser de discriminant...
    Je vais y revenir...

A suivre...


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#9 14-10-2018 08:35:47

D_john
Invité

Re : exercice spé maths divisibilité 2

Salut,

... les entiers ne sont que des réels particuliers en principe plus sympa. ne serait-ce que par leur écriture.
En quelle classe es-tu ?

#10 14-10-2018 09:18:36

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : exercice spé maths divisibilité 2

Re,

J'explicite ma solution en la simplifiant.
La première question et la 2e question ont montré que les deux solutions entières m et n sont telles que [tex]m\times n = 56[/tex]
Quels sont donc les diviseurs de 56 ?
[tex]\mathcal{D}(56)=\{1,2,4,7,8,14,28,56\}[/tex]
Je précise alors ma question : Quels sont donc les couples (m,n) de diviseurs tels que $m\times n = 56 $ ?
Réponse : [tex]\{(1,56),(2,28), (4,14), (7,8)\}[/tex].
On a montré que si n est solution  entière et S entier, alors S-n est aussi solution (entière). Or, n+(S-n) = S.
S est la somme des 2 solutions.
Et donc les S possible sont : 1+56=57, 2+28 = 30, 4+14=18, 7+8=15.
Et il n'y a aucun tâtonnement, ni essai/élimination...

@+


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