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#1 17-09-2018 19:58:11

Superhero
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la machine infernale

De retour de vacances, Guiplane et Olnapalo se retrouvent au boulot et pendant la pause café se mettent à parler géocaching. Olnapalo lui explique que cet été il n’a pas eu trop le temps de géocacher mais avait par contre passé beaucoup de temps à fabriquer une machine ô combien diabolique.

« Je me suis bien amusé en la construisant, explique olnapalo mais je ne lui ai pas encore trouvé une seule application ; il faut dire qu’elle est plutôt curieuse. »

« Que fait-elle ? » demanda Guiplane ? « Et bien tu introduis un nombre dans la machine, tu attends un moment et il ressort un autre nombre. »

« Tu veux dire un nombre différent ? »

« En fait tout dépend de ce que tu as mis au départ, il est souvent différent mais il arrive que ce soit le même. »

« Ah ouais !», fit Guiplane.

« Je dois te dire, poursuivit Olnapalo, que la machine n’accepte pas qu’on introduise n’importe quel nombre ; ceux qu’elle accepte, je les appelle les nombres acceptables. »

« C’est la moindre des choses, fit Guiplane avec un sourire, mais je me demande quels sont les nombres acceptables, et quels sont ceux qui ne le sont pas, autrement dit, s’il y a une loi mathématique qui permette de reconnaître, avant de l’avoir introduit, si un nombre est acceptable ou non. Surtout, peux-tu déterminer à l’avance quel nombre va ressortir de la machine une fois que tu as décidé celui que tu vas introduire ? »

« Non, répondit Olnapalo, car il ne suffit pas de décider, encore faut-il véritablement l’introduire. »

« Bien sûr s’exclama Guiplane avec impatience, je veux seulement savoir si, une fois qu’un nombre a été introduit, celui qui va ressortir est parfaitement déterminé. »

« Certainement qu’il est déterminé, tu ne crois tout de même pas que la machine fonctionne au hasard ! Elle obéit à des règles très précises, d’ailleurs laisse-moi t’expliquer en quoi elles consistent. D’abord les nombres dont il s’agit sont des nombres entiers positifs ; ma machine ignore complètement les nombres négatifs et les fractions. Un nombre N s’écrit comme une succession de chiffres pris parmi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Cependant, pour des raisons techniques, la machine ne connaît que les nombres ne contenant pas le chiffre 0 ; par exemple elle connaît les nombres tels que 23 et 5492, mais elle ne sait pas quoi faire avec 502 ou 3250607. Si N et M sont deux nombres entiers, je note NM non pas le produit de N par M comme c’est l’usage, mais le nombre obtenu en écrivant dans l’ordre d’abord les chiffres de N, puis à la suite ceux de M. Par exemple, si N désigne le nombre 53, et M le nombre 728, la notation NM désigne le nombre 53728 ; de même, si N vaut 4 et M vaut 39, le nombre NM vaut 439. »

« Voilà une opération bien curieuse ! » murmura Guiplane avec étonnement.

« C’est vrai admit olnapalo, mais vois-tu, c’est l’opération que la machine comprend le mieux. A présent, je vais t’expliquer comment elle opère. Pour cela, je dirai qu’un nombre X donne un nombre Y si X est acceptable et Y ressort de la machine quand on introduit X. La machine obéit alors à 2 règles:

Règle n°1 : Pour tout nombre X le nombre noté 2X, formé du chiffre 2 suivi des chiffres de X, est acceptable, et il donne X.

Par exemple, 253 donne 53, et 27482 donne 7482. Si tu préfères, quand j’introduis le nombre 2X dans la machine, celle-ci se contente d’effacer le 2 du début, et il ressort X. »

« Jusque là, je te suis, fit Guiplane, explique moi donc la deuxième règle ».

« D’accord, mais auparavant je dois t’apprendre que les nombres de la forme X2X jouent un rôle particulièrement important ; d’ailleurs j’appellerai X2X l’associé de X. Par exemple, l’associé de 7 est 727, celui de 549 est 5492549, et ainsi de suite. Voici la deuxième règle.


Règle n°2 : Si X est un nombre acceptable qui donne Y, alors 3X est acceptable et il donne l’associé de Y.

Par exemple, 27 donne 7 d’après la première règle, donc 327 donne l’associé de 7 qui est 727 ; de la même façon, 2586 donne 586, et 32586 donne l’associé de 586 qui est 5862586. Tu vas voir. »

Alors Olnapalo introduit le nombre 32586 dans la machine, et après d’horribles grincements 5862586 finit par sortir.

« Elle a besoin d’huile, fit remarquer Olnapalo, il vaut mieux ne pas trop s’en servir pour l’instant, mais je vais prendre plusieurs exemples pour que tu comprennes bien les règles. Si j’entre 3327, que va-t-il sortir ? Nous savons déjà que 327 donne 727; donc d’après la règle 2 le nombre 3327 donne l’associé de 727 qui est 7272727, nous venons de le voir, 33327 donne l’associé de 7272727, c'est-à-dire 727272727272727. Voici un autre exemple ; 259 donne 59 ; 3259 donne 59259 ; 33259 donne 59259259259 et enfin 333259 donne 59259259259259259259259 c’est simple non ? »
« En effet répondit Guiplane mais jusqu’à présent les nombres qui t’ont servi d’exemples commençaient tous par 2 ou 3. Que se passe-t-il avec ceux qui commencent, disons par 4 ? »

« Tu fais bien de le remarquer, fit Olnapalo, je ne te l’ai pas dit, mais les nombres acceptables commencent toujours par 2 ou 3, et même parmi tous ceux-là tous ne sont pas acceptables. En fait j’ai le projet de construire un de ces jours une machine plus perfectionnée qui accepterait davantage de nombres. »

« Alors il y a des nombres commençant par 2 ou 3 qui ne sont pas acceptables ! Pourrais-tu m’en montrer ? » demanda Guiplane. « D’abord 2 tout seul n’est pas acceptable car la machine ne sait pas lui appliquer les règles, mais c’est le seul nombre commençant par 2 à ne pas l’être. Un nombre qui ne contient que des 3 n’est pas acceptable, pas plus que 32 ou 332 et plus généralement une succession de 3 suivie du chiffre 2. Par contre, quel que soit X, les nombres 2X, 32X, 332X, 3332X, et ainsi de suite le sont. Je peux te le dire à présent, les seuls nombres acceptables sont de la forme 2X, 32X, 332X, 3332X, et plus généralement une succession de 3 suivie de 2X avec X quelconque. En fait le fonctionnement de la machine est simple car on peut dire ce que donne chacun des nombres acceptables. Ainsi le nombre 2X donne X, 32X donne l’associé de X, 332X donne l’associé de l’associé de X, que j’appellerai le deuxième associé de X, ensuite 3332X donne l’associé de l’associé de l’associé de X, que j’appellerai le troisième associé de X, et ainsi de suite. »

« J’ai bien suivi, fit Guiplane, mais maintenant j’aimerais que tu me parles des choses curieuses auxquelles tu as vaguement fait allusion en me présentant ta machine. »

« Vois-tu, elle soulève de nombreux problèmes de nature combinatoire ; je vais t’en poser quelques-uns. »

Question 1 : Il existe un nombre qui se donne lui-même ; autrement dit, quand on l’introduit, c’est lui qui ressort. Soit A ce nombre.

Question 2 : Pouvez-vous déterminer un nombre B qui donne son associé, autrement dit, quand on introduit B dans la machine, il ressort B2B ?

Question 3 : Le nombre B est-il la seule solution possible à la question n°2.

Oui : C=58
Non : C=53

Question 4 : Pouvez-vous donner un nombre D qui donne 7D, c'est-à-dire un 7 suivi de D ?

Question 5 : Pouvez-vous donner un nombre E tel que 3E donne l’associé de E ?

Question 6 : Pouvez-vous donner un nombre F qui donne l’associé de 3F ?

Question 7 : Pouvez-vous déterminer un nombre G qui donne son deuxième associé ?

Question 8 : Pouvez-vous trouver un nombre H qui donne le deuxième associé de 78H ?

Question 9 : Trouvez le nombre J tel que 3J donne 32J

Question 10 : Trouver un nombre K tel que 3K donne 3K


Saurez-vous m'aider à trouver les réponses aux 10 questions ?
A vous de jouer

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#2 18-09-2018 21:02:50

Zorglub
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Inscription : 09-02-2017
Messages : 6

Re : la machine infernale

Merci pour ce joli problème Superhero.

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  Unique (mais je ne comprend pas ce que signifie C= 58 et C = 53

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#3 30-12-2018 11:38:41

Superhero
Membre
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Messages : 27

Re : la machine infernale

Bravo Zorglub.
toutes les réponses sont correctes.
Bonnes fêtes

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