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#1 10-06-2018 21:19:28
- lekoue
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Minimisation en dimension infinie
Bonjour à tous, je veux montrer que le problème d'optimisation suivant:
$$\inf\limits_{\substack{u\in c^1([-1,1])\\u(-1)=0=u(1)}}\left(\int_{-1}^{1}(1-[u'(t)]^2)^2\mathrm{d}t\right)$$ admet de solution mais seulement je n'ai pas la demarche, ni un théorème et encore moins un cours sur lequel je peux me baser pour demarrer. En effet je dispose d'un théorème (condition suffisante d'existence) d'un minimun d'un problème de minimisation en dimension finie (Soient $E$ un evn de dimension finie et $K$ un sous-ensemble fermé de $E$; Toute fonction $f$, continue et coercive sur $K$ admet un minimun dans $K$) mais seulement je ne sais pas si ce théorème est valable en dimension infinie. Et si oui lorsque les hypothèses de ce dernier ne sont pas vérifiées (i.e qu'on ne peut l'appliquer), existe t'il un autre théorème d'existence? (En dehors biensûre du premier théorème d'optimalité qui stipule que toute fonction continue sur un compact atteint ses bornes.)
Merci!
Dernière modification par lekoue (10-06-2018 21:20:44)
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#2 11-06-2018 06:12:10
- Fred
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Re : Minimisation en dimension infinie
Bonjour,
Es-tu sûr que ton problème admet une solution? Moi, j'ai plutôt l'impression que non! Si on définit une suite de fonctions $(u_n)$ avec $u_n(x)=x$ si $x\in [0,1/2-1/n]$, $u_n(x)=1-x$ si $x\in [1/2+1/n,1]$, et si on s'arrange ensuite sur l'intervalle $[1/2-1/n,1/2+1/n]$ pour que $u_n$ soit de classe $C^1$, alors la valeur de ton intégrale pourra être aussi petite que l'on veut, non????
F.
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#3 11-06-2018 08:00:17
- lekoue
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Re : Minimisation en dimension infinie
Bonjour Fred, la suite de fonction que tu considère ne devrait pas être à valeurs dans $[-1,1]$? Et puis si son integral est petite je ne comprend pas comment ça montre que le problème n'admet pas de solution.
Cordialement!
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#4 11-06-2018 08:16:02
- Fred
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Re : Minimisation en dimension infinie
Ce que je veux dire c'est que l'inf est zéro et qu'il n'est jamais atteint. Je te laisse modifier mon exemple pour qu'il fonctionne sur [-1,1]
F
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#5 11-06-2018 09:17:51
- lekoue
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Re : Minimisation en dimension infinie
Bien reçu Fred. j'ai redéfinie cette fonction et j'obtiens $\forall n\in\mathbb{N}^*$,
$$u_n(x) = \begin{cases}1+x \text{ si } x\in[-1,-\frac{1}{n}]\cr 1-\frac{1}{n} \text{ si } x\in[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]\cr 1-x \text{ si } x\in[\frac{1}{n},1]\end{cases}$$elle est bien de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[-1,1]$ et $\int_{-1}^{1}(1-[u_n(x)]^2)^2dx = \frac{2}{n}.$ Mais je ne vois pas comment conclure!
Cordialement!
Dernière modification par lekoue (11-06-2018 10:13:30)
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#6 11-06-2018 10:39:53
- Fred
- Administrateur
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Re : Minimisation en dimension infinie
Elle n'est pas vraiment de classe C1 (il faudrait la lisser un peu plus). Avec cette suite tu prouves que l'inf est égal à 0. Mais 0 n'est jamais atteint (il faut un autre argument pour le prouver)
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