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lekoue

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sous-différentiel d'une fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

Bonjour à tous, j'ai un souci avec le sous-différntiel d'une fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ en un point $x_0\in\mathbb{R}$ définit par:
$$\partial f(x_0) = \{v\in\mathbb{R}:f(x)\ge f(x_0)+v(x-x_0);\forall x\in\mathbb{R}\}.$$
En effet, lorsqu'on a en face de soi une fonction
- $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ convexe, on démontre facilement que son  sous-différentiel en un point quelconque $x_0$ de $\mathbb{R}$ est donné par
$\partial f(x_0) = [f'_g(x_0),f'_d(x_0)]$, où $f'_g$ et $f'_d$ sont respectivement les dérivées à gauche et à droite de $f$ en $x_0$.
- $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ convexe et dérivable en un point $x_0\in\mathbb{R}$, on démontre egalement que $\partial f(x_0) = \{f'(x_0)\}.$
j'aimerais savoir svp s'il existe une proprièté pour des fonctions $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ concave (respectivement concave dérivable); par exemple,
lorsque j'essaie de déterminer le sous-différentiel (en $0$) de la fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ définie par $f(x) = -x^2$, dérivable et concave j'abouti à un resultat que moi même je ne trouve pas du tout juste bien que le raisonnement me semble logique;
En effet, on a:
\begin{eqnarray*}
\partial f(0)&=&\{v\in\mathbb{R}:-x^2\ge vx;\forall x\in\mathbb{R}\}\\
&=&\{v\in\mathbb{R}:x^2+vx\le 0;\forall x\in\mathbb{R}\}\\
&=&\begin{cases}
[0,-v] \text{ si } v\le 0\cr
[-v,0] \text{ si } v\ge 0
\end{cases}
\end{eqnarray*}
Svp je voudrais donc savoir ce qu'il y a de floue à mon resultat et comment remédier à cela et si possible un lien concernant un cours qui pourra m'aider.
Merci!

Fred

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Re : sous-différentiel d'une fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

Bonjour,

  Il y a une erreur dans ta dernière égalité. Il n'y a aucun $v$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, $x^2+vx\leq 0$ : fais tendre $x$ vers $+\infty$.

F.

lekoue

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Re : sous-différentiel d'une fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

Bonjour Fred et merci. Moi même ce truc m'étais floue algébriquement. en fait ce resultat que j'ai donné est un peu une demarche géométrique (que j'aurais peut-être mal interpreté). parceque quand je trace la fonction $f(x) = x^2+vx $ pour des $v\le 0$, cette fonction est $\le 0$ sur le segment $[0,-v]$ et pour $v\ge 0$ elle est $\le 0$ sur le segment $[-v,0].$