Résoudre x² = 3/2 x +10

leo0 · 18-06-2018 19:14:23

une fonction affine $ f$ est définie pour tout $x $ par $ f : x \mapsto f(x)=ax+b$ avec $a,b \in \mathbb{R}$

il n'y a pas deux cas (comme j'ai pu l'écrire ce matin.... )

je prends ma fonction $f(x) = a x + b$ et j'ignore de tout de la valeur de $a$ et $b$ donc de leurs signes.
et je cherche à savoir à quel endroit $f(x) > 0$
je ne sais pas si f est croissante ou décroissante

alors je pars de là :
$ax + b > 0 <=> ax > - b $

et là, je regarde mon enveloppe pour voir si a > 0 ou si a < 0

si $a> 0$ ( je sais que ma droite monte )
je continue à partir de $ax > -b$ <=> $x > \frac{-b}{a}$ <=> $x = -\frac{b}{a}$

si $a < 0$ ( je viens de décacheter mon enveloppe et là je découvre que c'est -a )
alors $a x > -b $<=> $-a x > -b $

Dernière modification par leo0 (18-06-2018 19:25:09)

leo0 · 18-06-2018 19:32:13

oui, ce que je veux dire par : $ax > - b <=> -ax > -b$

comme, je viens de décacheter mon enveloppe et ai trouver $-a$

Puis-je écrire : $-ax > -b$

yoshi · 18-06-2018 20:12:56

Re,

Pffffff........
Tu viens de décacheter ton enveloppe et tu trouves un papier où il est écrit a est négatif, c'est tout !
Non, tu n'as trouvé -a, tu sais que a est négatif parce que c'est écrit sur la papier : a est négatif !
Que tu voies sa valeur exacte ou pas, je t'ai écrit que : -a est l'opposé de a. Point.
Alors pourquoi remplacer a par -a ? Tu divises les deux membres par a, pas par -a...
Pourquoi vas-tu chercher midi à quatorze heures ? C'est une manie....
Sur le papier il est écrit : a est négatif, si toi tu écris -a, ce n'est plus a mais son opposé...

Tu as donc [tex]ax\geqslant -b[/tex]
Là qu'est que tu fais ?
Tu divises les deux membres par a :
[tex]\dfrac a a x \cdots \dfrac{-b}{a}[/tex]
soit
[tex] x \cdots \dfrac{-b}{a}[/tex]
MAIS
tu sais que a est négatif
et la règle dit :
la multiplication ou la division par un nombre négatif change l'ordre.
Est-ce qu'en écrivant la règle, je connais la valeur de a ? Non !
Il n'empêche que la règle dit :
la multiplication ou la division par un nombre négatif change l'ordre.
Donc je vais recommencer en remplaçant les $\cdots$.
Et tu ne va pas t'amuser à répéter tout ce qui précède, hein : ce sont juste des explications pour te permettre de comprendre ce qu'il faut faire...
Ne me ressors pas mon baratin ad nauseum comme à ton habitude...

Voilà ce qu'il faut faire :

Si a <0.
[tex]ax+b\geqslant 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]ax\geqslant -b[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
(si vraiment ça te démange trop tu peux écrire maintenant :
La division par un nombre négatif change l'ordre)
[tex]x\leqslant -\dfrac b a[/tex]

Si a>0.
[tex]ax+b\geqslant 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]ax\geqslant -b[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
(si vraiment ça te démange trop tu peux écrire maintenant :
La division par un nombre positif conserve l'ordre)
[tex]x\geqslant -\dfrac b a[/tex]
Je ne vois pas pourquoi tu tiens absolument mettre un - devant le a !
C'est l'ordre qui change : en divisant par a (négatif) je remplace le $\geqslant$ par $\leqslant$. J'ai changé l'ordre !

Exemple numérique.
Avec [tex]f(x)=-2x+3[/tex]
[tex]-2x+3 \geqslant 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]-2x \geqslant -3[/tex]
La division par le nombre négatif -2 change l'ordre :
[tex]x \leqslant \dfrac{-3}{-2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]x \leqslant \dfrac{3}{2}[/tex]

@+

leo0 · 18-06-2018 21:09:36

je te remercie pour tes explications, pour ta patience..
c'est juste que l'exemple avec l'enveloppe est assez ludique, j'ai pris ça pour un jeu

leo0 · 19-06-2018 13:35:01

Bonjour Yoshi

Serais-tu d'accord pour me proposer un exercice sur le carré ?

yoshi · 19-06-2018 13:56:28

Re,

Tu veux dire la fonction carré ?

@+

leo0 · 19-06-2018 14:08:53

oui

leo0 · 19-06-2018 14:10:13

si tu es d'accord, je ne veux pas te déranger .. si tu as autre chose à faire, il faut me le dire ...

yoshi · 19-06-2018 14:32:02

Re,

Je te propose ce qui suit...

ACD est un carré de cote 6.
Sur (AD), on place un point E quelconque. Pour la suite on note $AE=x$
G est le point du segment [AB] tel que AG=AE
La parallèle passant par E à (AB) coupe [BC] en F et la parallèle passant par G à (AD) coupe [CD] en F. Soit M leur point d'intersection.

1) A quel intervalle, que l'on notera l dans la suite, x appartient-il?
2) On grise les surfaces des deux quadrilatères AEMG et CFMH.
Soit f la fonction qui à tout $x$ de I associe la moitié de l'aire de la partie grisée. Démontrer que pour tout x de I, [tex]f(x)= x^2-6x+18[/tex]
3) Démontrer que pour tout x de I, [tex]f(x)=(x-3)^2+9[/tex]
4) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur [0;6] et en déduire la position du point E pour que l'aire de la partie coloriée soit minimale.
5) Construire la courbe représentative c de f dans un repère orthonormé d'unité 1 cm pour 1 unité.
6) Résoudre graphiquement f(x)=18 puis f(x)>18. On laissera apparent les traits de construction.
7. Montrer que pour tout réel x de [0;6], [tex]f(x)-13= [(x-3)^2-4].[/tex]
En déduire la résolution algébrique de l'équation [tex]f(x)=13[/tex].

J'ai trouvé ce sujet auquel la personne qui l'a posé n'a pas daigné donner suite...
En attendant que tu aies fini, je vais t'en fabriquer un avec fonction carré et valeur absolue...

@+

yoshi · 19-06-2018 15:39:48

Ave !

Et v'la celui promis..

On considère la fonction f telle que à tout $x$ de $\mathbb{R}$ on fait correspondre [tex]f(x)=x^2-4x-3[/tex]
1. Dans un repère orthonormé (O,I,J), Tracer [tex]C_f[/tex] la courbe représentative de f.
Déterminer graphiquement ses variations.
2. Déterminer graphiquement les abscisses ses points d'intersection de Cf avec la droite d'équation y =2.
3. Ecrire $f(x)$ sous sa forme canonique.
4. En déduire algébriquement les solutions de l'équation $f(x)=2$
5. Représenter graphiquement les variations de la fonction g telle que à tout $x$ de $\mathbb{R}$ on fait correspondre [tex]g(x)=|-x+1|[/tex]
6. Lire graphiquement les abscisse de l'intersection des deux demi-droites précédentes avec $C_f$
7. En utilisant la forme canonique obtenue au 3. retrouver algébriquement les solutions de l'équation [tex]f(x)=|-x+1|[/tex]

Choisis (t'as le droit de faire les deux ! ^_^)....

@+

leo0 · 19-06-2018 18:43:41

Pour la construction avec Géogebra

1 . Je cache le repère et j'affiche le quadrillage.

- Dessiner un carré de coté 6 cm et cacher le quadrillage.

2. E est un point variable tel que [AE] = $x$ et G est également un point variable.
Pour cela je place un point mobile E sur [AD] et vérifier qu'il se déplace sur le segment [AD]
pareil pour placer le point G

3. Je construis la droite passant par le point E perpendiculaire à (AB) puis passant par le point d'intersection de cette droite avec [BC] ( il faut créer aussi un point F, pour cela je passe la souris au voisinage de l'intersection et Geogebra reconnait tout de suite que je veux placer un point à cet intersection )

4. Je construis la droite passant par le point G perpendiculaire à la droite (AD) puis passant par le point d'intersection H de cette droite avec [CD]
- - > là sur l'énoncé, c'est écrit la parallèle à (AD) qui coupe [CD] en F
(j'en ai déduit qu'il s'agit du point H)
c'est écrit deux fois le point H, c'est un détail ou peut être un piège que tu m'as posé...

5. Je cache les deux droites ( d'habitude on fait un clic droit et afficher l'objet mais sur mon ordi je ne peux pas le faire, j'ai cliqué sur le petit cercle )
et en utilisant l'outil Polygone ( dessin d'une petite figure géométrique avec 3 points) je construis le quadrilatère AEMG (il est nommé poly 1 dans la fenêtre Algèbre et son aire est affichée)

puis je construis le quadrilatère CFMH ( il est également affichée dans la fenêtre algèbre sous poly 2, son aire est également affichée

il faut pas oublier de construire le point M, j'ai du revenir en arrière pour tracer mon premier polygone

Dernière modification par leo0 (19-06-2018 18:50:03)

leo0 · 19-06-2018 18:59:44

Mais il faut aussi que le point G se déplace quand je bouge E avec la souris
Il y a plusieurs façons de faire ça ..

Soit une construction géométrique, après avoir construit la droite passant par le point E perpendiculaire à (AD) et passant par le point d'intersection avec [BC], j'utilise l'outil compas pour construire un point G tel que AG = AE
mais j'ai trouvé que c'était un peu simple...

Cet après-midi, j'ai cherché un truc (moins simple) en utilisant les vecteurs
j'ai d'abord tapé dans la barre de saisie : D = E - vecteur [A,G]
forcément cela n'a pas marché car les vecteurs n'ont pas la même direction, le vecteur AG a une certaine direction et je ne peux pas l'utiliser dans le sens AD
peut être avec une relation de Chasles ?
je cherche ...

Dernière modification par leo0 (19-06-2018 19:03:49)

yoshi · 19-06-2018 19:05:01

Re,

Corrigé sur [CD], c'est bien H. J'ai récrit l'énoncé existant (avec figure dans ma tête) et je ne me suis pas relu...
Toutes mes excuses...
Non je ne tends pas de pièges...
En plus ce n'était pas un piège, mais une incohérence !

@+

leo0 · 19-06-2018 19:10:26

pas grave..
c'était à moi de trouver

yoshi · 19-06-2018 21:13:25

Bonsoir,

Cet après-midi, j'ai cherché un truc (moins simple) en utilisant les vecteurs
j'ai d'abord tapé dans la barre de saisie : D = E - vecteur [A,G]
forcément cela n'a pas marché car les vecteurs n'ont pas la même direction, le vecteur AG a une certaine direction et je ne peux pas l'utiliser dans le sens AD
peut être avec une relation de Chasles ?
je cherche ...

Il te faut définir d'abord un curseur a variant de 0 à 6.
Puis de placer (par ex) A=(2,1) ; B=(8,1) ; C=(8,7) et D (2,7).

Puis E(2,1+a) et la // passant par E; puis F au bout de la parallèle, G(2+a,1), puis l'autre parallèle et H au bout de l'autre parallèle et enfin le point d'intersection....

Tu as déjà fait quelque chose comme ça et tu t'étais bien emmêlé les pinceaux...
Je chercherai ça demain...

Puis utilise l'outil polygone : il te permettra de colorer la zone dite "grisée" dans l'énoncé...

@+

yoshi · 20-06-2018 10:04:29

Re,

J'ai retrouvé ici :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=10466

@+

leo0 · 20-06-2018 17:52:06

salut,

Pour choisir le nom du curseur
dans la boite de dialogue qui apparait, c'est un petit a
pas moyen de changer et de mettre x

yoshi · 20-06-2018 18:58:28

Salut,

Exact...
J'ai trouvé que x,y et z sont des lettres réservées pour les coordonnées ou les équations...

Bon, c'est pô grave....

@+

leo0 · 20-06-2018 22:29:51

Bonsoir

L'énoncé me donne $AE = x$
ainsi, j'ai crée le point E (2,1+x) et un curseur sans modifier le petit a qui est là (par défaut)
J'ai pas fait attention que c'est a et j'y comprenais plus rien : déplacer le curseur avec deux valeurs différentes, forcément aucun mouvement sur la figure ...
Vois- tu ?

Dernière modification par leo0 (20-06-2018 22:37:32)

yoshi · 21-06-2018 08:01:51

Re,

Bin oui...
C'est pourquoi j'au écrit E=(2,1+a)...

@+

leo0 · 21-06-2018 14:27:40

Bonjour

En tout, j'ai une distance AD 6cm, si AE fait x cm alors DE fait 6-x

la parallèle à (AB) passant par E coupe [BC] en F . Or ABCD est un carré
par conséquent : DE = CF

aire (CFMH) = DE * CF = (6 - x) (6 - x) = x² - 6x - 6x + 36 = x² - 12 x + 36

3) Démontrer que pour tout $x$ de I, $f(x) = (x-3)²+9$
$f(x) = x² - 6x + 18$

$x² - 6x$ est le début d'une identité remarquable $(x-3)² = x² - 6x + 9$
j'en déduis $x² - 6x = (x-3)² - 9$
Ainsi : $ f(x) = x²-6x+18 = (x-3)² + 9$

yoshi · 22-06-2018 13:04:37

Re,

Ok ! continue...

@+

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#26 18-06-2018 19:14:23

Re : Résoudre x² = 3/2 x +10

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