Forum de mathématiques - Bibm@th.net

eldou

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Trigonométrie

Salut,

Et un exercice de plus qui me cause du fil à retordre :

Prouver que [tex]cos (A) + cos (B) + cos (C) = 1 + 4 [/tex] [tex]sin (\frac {1}{2} A). sin (\frac {1}{2} B). sin (\frac {1}{2} C)[/tex]

Etant donné que je n'ai pas encore entamé le chapitre sur les identités somme-à-produit, ainsi que produit-à-somme, je souhaiterais développer au moyen des formules somme-différence, double angle ou demi-angle.

J'ai tenté à partir de ce raisonnement :

[tex] cos (A) + cos (B) + cos (180° - [A+B]) = cos (A) + cos (B) + cos (180°).cos(A+B)+sin(180°).sin(A+B) [/tex]
[tex] cos (A) + cos (B) + cos (180°).cos(A+B)+sin(180°).sin(A+B)  = cos (A) + cos (B) + (-1).cos(A+B)+(0).sin(A+B) [/tex]

Donc,
[tex] cos (A) + cos (B) + cos (180°).cos(A+B)+sin(180°).sin(A+B)  = cos (A) + cos (B) - cos(A+B) [/tex]

Et,
[tex] cos (A) + cos (B) - cos(A+B) = cos(A) + cos(B) - [cos(A).cos(B) - sin(A).sin(B)] [/tex]

Et, là je bloque ...

Merci d'avance.

Dernière modification par eldou (21-05-2018 22:17:58)

D_john

Invité

Re : Trigonométrie

Salut,

En géométrie, quand je vois A/2, je pense immédiatement à bi...
A+

eldou

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Re : Trigonométrie

Salut D_John,

Ok, pour la bissectrice.
Mais honnêtement, cela peut paraître stupide, ça ne m'avance pas.

J'ai beau jongler entre ces formules(*), à partir de la dernière phase (1er poste)  : [tex] sin (\alpha \pm \beta)[/tex], [tex] cos (\alpha \pm \beta)[/tex],  [tex] sin (\frac {\theta}{2})[/tex], [tex] cos (\frac {\theta}{2})[/tex], [tex] sin (2\theta)[/tex],  [tex] cos (2\theta)[/tex]

(*) Formules à partir desquelles je dois me débrouiller ...

Merci.

SELL

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Re : Trigonométrie

[\SELL]
Bonjour
Je suppose que A,B,C sont les mesures des angles d'un triangle. Donc A+B+C=180
On a
COS(A)=1-2sin^2(A/2) et Cos(B)+Cos(C)=2Cos((B+C)/2)Cos((B-C)/2).
Cos(A)+Cos(B)+Cos(C)=1-2Sin(A/2)(Sin(A/2)+Cos((B+C)/2))
                                  =1-2Sin(A/2)[Sin((180-B-C)/2)+Cos((B+C)/2))
                                  =1-2Sin(A/2)[Cos((B+C)/2)+Cos((B+C)/2))
                                  =1+4Sin(A/2)Sin(B/2)Sin(C/2)

SELL

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Re : Trigonométrie

[SELL]
Bonjour
j'ai constater une erreur de saisi au massage que je vient d'envoyer.
Donc je rectifie ma saisi
COS(A)=1-2sin^2(A/2) et Cos(B)+Cos(C)=2Cos((B+C)/2)Cos((B-C)/2).
Cos(A)+Cos(B)+Cos(C)=1-2Sin(A/2)(Sin(A/2)+Cos((B-C)/2))
                                  =1-2Sin(A/2)[Sin((180-B-C)/2)+Cos((B-C)/2))
                                  =1-2Sin(A/2)[Cos((B+C)/2)+Cos((B-C)/2))
                                  =1+4Sin(A/2)Sin(B/2)Sin(C/2)

                                                              Merci

D_john

Invité

Re : Trigonométrie

Hello,

... bien vu SELL et désolé pour eldou : j'avais complètement oublié que par les temps qui courent, la géométrie naïve n'aide plus personne. Pardon si je t'ai fait perdre du temps.

eldou

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Re : Trigonométrie

Salut SELL,

Ok, c'est mignon ... Or, il me faudrait aboutir au résultat sans passer par une identité somme-à-produit, telle que vous démontrez, à la 1ère étape, en :

[tex] Cos(B)+Cos(C)= 2.Cos(\frac {(B+C)}{2}).Cos(\frac {(B-C)}{2})[/tex]

Car, le chapitre traitant (dans mon bouquin) les identités somme-à-produit et produit-à-somme est le suivant. Donc, je suppose qu'on l'on puisse y arriver sans.

Et, c'est ce que j'aimerais débloquer.

@D_John

Tu ne me fais pas perdre du temps :-) Il faut comprendre que chacun raisonne différemment. Ce qui peut paraître évident, pour l'un, ne l'est pas forcément pour l'autre. Et, c'est ce qui fait le but d'un forum : l'entraide.

Merci à tous.

@+

eldou

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Re : Trigonométrie

[SELL]
Bonjour
j'ai constater une erreur de saisi au massage que je vient d'envoyer.
Donc je rectifie ma saisi
COS(A)=1-2sin^2(A/2) et Cos(B)+Cos(C)=2Cos((B+C)/2)Cos((B-C)/2).
Cos(A)+Cos(B)+Cos(C)=1-2Sin(A/2)(Sin(A/2)+Cos((B-C)/2))
                                  =1-2Sin(A/2)[Sin((180-B-C)/2)+Cos((B-C)/2))
                                  =1-2Sin(A/2)[Cos((B+C)/2)+Cos((B-C)/2))
                                  =1+4Sin(A/2)Sin(B/2)Sin(C/2)

                                                              Merci

Juste pour informer, certainement une erreur de frappe :

=1-2Sin(A/2)[Cos((B+C)/2)+Cos((B-C)/2))

Plutôt  : (moins à la place du plus)

=1-2Sin(A/2)[Cos((B+C)/2)-Cos((B-C)/2))

Dernière modification par eldou (22-05-2018 20:00:23)

SELL

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Re : Trigonométrie

Salut SELL,

Ok, c'est mignon ... Or, il me faudrait aboutir au résultat sans passer par une identité somme-à-produit, telle que vous démontrez, à la 1ère étape, en :

[tex] Cos(B)+Cos(C)= 2.Cos(\frac {(B+C)}{2}).Cos(\frac {(B-C)}{2})[/tex]

Car, le chapitre traitant (dans mon bouquin) les identités somme-à-produit et produit-à-somme est le suivant. Donc, je suppose qu'on l'on puisse y arriver sans.

Et, c'est ce que j'aimerais débloquer.

@D_John

Tu ne me fais pas perdre du temps :-) Il faut comprendre que chacun raisonne différemment. Ce qui peut paraître évident, pour l'un, ne l'est pas forcément pour l'autre. Et, c'est ce qui fait le but d'un forum : l'entraide.

Merci à tous.

@+

SELL

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Re : Trigonométrie

[SELL]
Bonjour
On peut ajouter les question:

    1) Résoudre  le système  (S)
                    x+y=B\\
                    x-y=C
       2) Si ( x ,y)   est la solution de  S  montrer alors que  \cos(B)+\cos(C)=-2\sin(x)\sin(y).
       3) Déduire que    \cos(B)+\cos(C)=-2\sin(\frac{B+C}{2}\sin(\frac{B-C}{2})