Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 25-04-2018 20:58:25

Arnaud66
Invité

Matrice de transvections

Bonjour à tous,

Soit [tex]A_1 = \begin{pmatrix} 2 & -j & -j^2 \\ -j^2 & 2 & -j \\ -j & -j^2 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3 ( \mathbb{C} )[/tex] avec : [tex]j^3 = 1[/tex] :
En appliquant la méthode du pivot de Gauss à la matrice [tex]A_1[/tex], on obtient les réductions successives suivantes :
[tex]A_1 = \begin{pmatrix} 2 & -j & -j^2 \\ -j^2 & 2 & -j \\ -j & -j^2 & 2 \end{pmatrix} \ \ \longrightarrow \ \ A_2 = \begin{pmatrix} 2 & -j & -j^2 \\ 2 & -4j & 2j^2 \\ 2 & 2j & -4j^2 \end{pmatrix}[/tex]
[tex] \ \ \longrightarrow \ \ A_3 = \begin{pmatrix} 2 & -j & -j^2 \\ 0 & 3 j & -3 j^2 \\ 0 & -3j & 3j^2 \end{pmatrix} \ \ \longrightarrow \ \ A_4 = \begin{pmatrix} 2 & -j & -j^2 \\ 0 & 3 j & -3 j^2 \\ 0 & 3j & -3j^2 \end{pmatrix}[/tex]
J'aimerais déterminer les matrices de transvections [tex]P_1, P_2[/tex] et [tex]P_3 \in \mathcal{M}_3 ( \mathbb{C} )[/tex] telles que : [tex]P_{k} A_k = A_{k+1}[/tex] avec :[tex] k = 1,2,3[/tex].

J'ai réussi à trouvé : [tex]P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2j & 0 \\ 0  & 0 & -2 j^2 \end{pmatrix}[/tex] qui est une matrice de dilatation, mais, je n'arrive pas à trouver : [tex]P_2[/tex] et [tex]P_3[/tex].

Pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

Merci d'avance.

#2 26-04-2018 12:50:20

Ostap Bender
Membre
Inscription : 23-12-2015
Messages : 242

Re : Matrice de transvections

Bonjour Arnaud.

Je n'ai rien compris à tes "réductions" et je n'ai pas très envie de jouer aux devinettes.

Tu écris que tu appliques la méthode du pivot de Gauss. Peux-tu détailler tes opérations sur les lignes qui te permettent de passer d'une matrice à l'autre ?

Ostap Bender

Hors ligne

#3 01-05-2018 20:59:16

Arnaud66
Invité

Re : Matrice de transvections

Bonjour Ostap Bender,  :-)

Les réductions ou transformations au niveau des lignes du passage suivant :
[tex]A_1 = \begin{pmatrix} 2 & -j & -j^2 \\ -j^2 & 2 & -j \\ -j & -j^2 & 2 \end{pmatrix} \ \ \longrightarrow \ \ A_2 = \begin{pmatrix} 2 & -j & -j^2 \\ 2 & -4j & 2j^2 \\ 2 & 2j & -4j^2 \end{pmatrix}[/tex]
sont :
[tex]L_2 := -2j L_2[/tex]
[tex]L_3 := -2j^2 L_3[/tex]

Les réductions ou transformations au niveau des lignes du passage suivant :
[tex]A_2 = \begin{pmatrix} 2 & -j & -j^2 \\ 2 & -4j & 2j^2 \\ 2 & 2j & -4j^2 \end{pmatrix}\ \ \longrightarrow \ \ A_3 = \begin{pmatrix} 2 & -j & -j^2 \\ 0 & 3 j & -3 j^2 \\ 0 & -3j & 3j^2 \end{pmatrix}[/tex]
sont :
[tex]L_2 := L_1 - L_2[/tex]
[tex]L_3 := L_1 - L_3[/tex]

Les réductions ou transformations au niveau des lignes du passage suivant :
[tex]A_3 = \begin{pmatrix} 2 & -j & -j^2 \\ 0 & 3 j & -3 j^2 \\ 0 & -3j & 3j^2 \end{pmatrix} \ \ \longrightarrow \ \ A_4 = \begin{pmatrix} 2 & -j & -j^2 \\ 0 & 3 j & -3 j^2 \\ 0 & 3j & -3j^2 \end{pmatrix}[/tex]
sont :
[tex]L_3 := -L_3[/tex]

Pied de page des forums